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Strukturen und Algebra » Gruppen » Untergruppe U nur zu sich selbst konjugiert => U Normalteiler
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Universität/Hochschule J Untergruppe U nur zu sich selbst konjugiert => U Normalteiler
HalloWelt
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-14


Hallo liebes Matheplanet-Forum,

ich habe eine Frage zu meiner Algebra Vorlesung. Folgende Situation:

G sei eine Gruppe und U eine Untergruppe von G. K sei die Menge der zu U konjugierten Untergruppen und enthalte nur 1 Element, sprich U selbst. (Denn U ist ja immer zu sich selbst konjugiert)

Daraus folgt laut Skript nun, dass U ein Normalteiler ist. Im Skript wird nicht näher darauf eingegangen, deswegen nehme ich mal an, dass das etwas sehr offensichtliches ist.
Nur leider sehe ich es gerade nicht.


Wir haben folgende (notwendige und hinreichende) Kriterien für Normalteiler:

> U ist invariant unter allen Konjugationen (mit Elementen aus G)
> Die Recht- und Linksnebenklassen von U sind gleich
> U ist Kern eines Homomorphismus

Ich habe versucht irgendwie auf Kriterium 1 oder 2 zu kommen, das ist mir aber nicht gelungen. Hat jemand eine Idee, in welche Richtung ich mich hier begeben muss?


Das ist meine erste Frage hier. Falls es Verbesserungsvorschläge zur Überschrift oder der Frage selbst gibt, könnt ihr das ja hier drunter schreiben. Mit dem Formeleditor muss ich mich noch auseinandersetzen, hier wurden ja glücklicherweise nicht viele Formeln/Zeichen gebraucht.




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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-14


Hallo und Willkommen auf dem Matheplaneten!

Das ist tatsächlich ziemlich trivial: Wenn $K = \{ gUg^{-1} \mid g\in G\}$ die Menge der zu $U$ konjugierten Untergruppen ist, dann enthält $K$ genau dann nur das Element $U$, wenn $U = gUg^{-1}$ für alle $g\in G$ ist, mit anderen Worten, wenn $U$ ein Normalteiler ist.


[Verschoben aus Forum 'Gruppen' in Forum 'Gruppen' von ligning]


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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-05-14

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
Hallo HalloWelt,

willkommen auf dem MP, das ist eine gut formulierte erste Frage. :-)

Die Normalteilereigenschaft folgt aus deinem ersten Kriterium. Wenn du $U$ konjugierst, also $gUg^{-1}$ betrachtest, dann folgt $gUg^{-1} = U$, da $gUg^{-1} \in K = \{U \}$.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei
\(\endgroup\)


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HalloWelt
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-14


Danke euch beiden für die sehr schnelle Antwort. Jetzt habe ich das verstanden!
Dieses unangenehme, aber sehr vertraute Gefühl, an etwas so Offensichtlichem vorbeizulaufen... 🙃



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