Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von viertel GrafZahl
Schulmathematik » Potenzen und Logarithmen » Definition: Potenzen mit rationalen Hochzahlen
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Definition: Potenzen mit rationalen Hochzahlen
All-goa-rhythmus
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 11.09.2004
Mitteilungen: 483
Wohnort: Zürich
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-14


Hallo zusammen

Ich habe eine Frage zur Definition von Potenzen mit rationalen Hochzahlen. Sehr häufig liest man dazu eine Definition der Art:

"Für Potenzen der Form \(a^{1/n}, \left(a \in \mathbb{R}^+_0, n \in \mathbb{N}^*\right)\) gilt:

\[a^{1/n}=\sqrt[n]{a}\]
Potenzen der Form \(a^{m/n}, \left(a \in \mathbb{R}^+_0, n \in \mathbb{N}^*, m \in \mathbb{Z}\right)\) sind wie folgt definiert:

\[a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m"\]
Meine Frage: Warum wird überhaupt der erste Teil der Definition (mit dem Exponenten 1/n) jeweils erwähnt? -- Ist dieser nicht implizit in der unteren Definition enthalten? Denn wenn in der unteren Definition \(m=1\) gesetzt wird, folgt die Definition sofort. Umgekehrt gilt doch:

\[a^{m/n}=a^{m\cdot 1/n}=\left(a^{m}\right)^{1/n}=\sqrt[n]{a^m}\]
Meine Vermutung: Allenfalls weil in der unteren Gleichungskette die zweite Gleichung nicht definiert ist, d.h. weil die Potenz einer Potenz für rationale Exponenten noch nicht definiert wurde, braucht es beide Definitionen.

Vielen Dank, wenn das jemand erklären kann, liebe Grüsse, Algo



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 7180
Wohnort: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-14


Hallo,

da geht es ja im wesentlichen um den Nachweis der Gültigkeit der Potenzgesetze. Denn streng genommen handelt es sich bei diesen Definitionen einfach um andere Schreibweisen für Wurzeln. Und insofern ist es bequemer, das erst für die Wurzeln, also für Potenzen mit Stammbrüchen als Exponent einzuführen und dann auf alle rationalen Exponenten auzuweiten.

Wenn man es darauf anlegen würde, könnte man das sicherlich auch in einem Aufwasch machen.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Potenzen und Logarithmen' in Forum 'Potenzen und Logarithmen' von Diophant]



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
All-goa-rhythmus
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 11.09.2004
Mitteilungen: 483
Wohnort: Zürich
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-14


Lieber Diophant

Vielen Dank, ich war einfach erstaunt, dass dies so ziemlich in allen Lehrmitteln so gemacht wird.

Beispielsweise im Lambacher Schweizer aus dem Jahre 1984:




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 7180
Wohnort: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-14

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo nochmals,

ich habe gerade meinen Band 'Analysis 1' von Wolfgang Walter befragt. Auch dort wird diese Reihenfolge eingehalten. Wobei dort die n. Wurzel definiert wird und die alternative Schreibweise \(\sqrt[n]{a}=a^{1/n}\) ohne weitere Begründung eingeführt wird. Denn es ist ja mit den Potenzgesetzen unmittelbar klar, dass das wirklich nur unterschiedliche Schreibweisen von ein und derselben Sache sind. Allgemeine rationale Potenzen werden dann wie üblich über die Funktionalgleichung \(\phi(r+s)=\phi(r)\phi(s)\)* definiert, wobei auch hier wieder sofort die Gleichheit der beiden Schreibweisen folgt.

Also wie gesagt: von der mathematischen Seite aus gesehen ist nicht \(a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}\) das Problem sondern die Frage, ob solche Potenzen mit den Potenzgesetzen für ganze Exponenten konform sind. Die ja dann sowohl im Lehrbuch als auch in der Schule zu diesem Zeitpunkt bekannt sind.

Also wie du siehst: auch in der Fachliteratur hält man diese Reihenfolge ein, weil sie im Sinne eines stringenten Aufbaus sinnvoll ist. Dennoch kann man die Frage, ob die n. Wurzel in der allgemeinen Definition enthalten ist, natürlich nur mit 'ja' beantworten. Man könnte also direkt \(a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}\) definieren und tut es eben aus unterschiedlichen Gründen nicht.

Und in der Schule, wo ja nun die Didaktik im Vordergrund stehen sollte, macht man das schon gleich zweimal nicht. Da kämpft man ja oft erst einmal damit, dass überhaupt das Konzept der n. Wurzel verstanden wird...


Gruß, Diophant

* die ja nichts anderes ist als das sog. '1. Potenzgesetz'.
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
All-goa-rhythmus
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 11.09.2004
Mitteilungen: 483
Wohnort: Zürich
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-15


Lieber Diophant

Vielen Dank für deine erneute Antwort. Es ist schon wahr, dass es insbesondere didaktisch vorteilhaft ist, die beiden Fälle explizit zu notieren.

Liebe Grüsse, Algo



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
All-goa-rhythmus hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
All-goa-rhythmus hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]