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Universität/Hochschule J Grenzwert von x ln(x)
WagW
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-14


Hallo zusammen,

ich habe hier einen Beweis, der mir etwas suspekt erscheint, der ohne die Regel von Hospital auskommt:

Wir nehmen an, dass $\lim\limits_{x\to 0} x\ln(x)=L$, wobei auch $L=+/-\infty$ sein kann. Dann formen wir um $\lim\limits_{x\to 0} x\ln(x)=\lim\limits_{x\to 0} x^2\ln(x^2)=\left(\lim\limits_{x\to 0} 2x\right)\left(\lim\limits_{x\to 0} x\ln(x)\right)=L$.

Wenn nun $\left(\lim\limits_{x\to 0} x\ln(x)\right)$ beschränkt wäre, so würde direkt folgen, dass $L=0$ gilt. Diese Beschränktheit versuchen wir nun zu zeigen:

Sei $x=e^{-t}$ wobei $x \to 0^+$ für $t \to \infty$. Dann folgt: $L = \lim_{x \to 0} x \ln(x) = \lim_{t \to \infty} -te^{-t} = -\lim_{t \to \infty} \dfrac{t}{e^t}$. Zudem gilt $e^t \geq \dfrac{t^2}2$, weil $e^t =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^k}{k!} \geq \frac{t^2}{2}$. Also folgt weiterhin $\lim_{t \to \infty} \dfrac{t}{e^t} \leq \lim_{t \to \infty} \dfrac2t = 0$. Und damit gilt $L=0$.

Ich denke nicht, dass man so die Beschränktheit gezeigt hat, da man ja nur eine ganz bestimmte Folge an $x$-Werten betrachtet. Was meint ihr?

viele Grüße
WagW



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-14


Genauer betrachtet man hier ja eigentlich
$$ \lim_{x\to 0^+} x\ln(x),
$$ da man in $\ln$ nur positive reelle Zahlen einsetzen kann. Da man jede positive reelle Zahl $x$ in der Form $x=\exp(-t)$ mit $t\in \mathbb R$ darstellen kann, ist diese Substitution möglich.

Da der Beweis aber mit "angenommen der Limes ist $L$" beginnt, zeigt er höchstens, dass der Limes im Falle der Existenz eben dieses $L$ sein muss, aber nicht, dass der Limes auch wirklich existiert.

LG Nico



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WagW
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-15


Hallo nzimme10,

Danke der Hinweis, dass $e^{-t}$ bijektiv in die positive reellen Zahlen abbildet, hatte ich gar nicht gesehen 😁🤔, dann macht diese Substitution Sinn bzw. ich kann das dann ja verallgemeinern.

Ich würde das Ganze dann mit dem $\epsilon$-$\delta$-Kriterium für Grenzwerte von Funktionen sauber aufschreiben, also:

Für ein beliebiges $\epsilon>0$ wähle ich $\delta:=e^{-\frac{2}{ \epsilon}}$, sodass ich für alle $x\in\mathbb{R_+}$ mit $|x-0|=x<\delta$ ein $t\in\mathbb{R}$ habe mit $|e^{-t}-0|=e^{-t}<\delta$.
Weiterhin gelten $te^{-t}\leq\frac{2}{t}$ (siehe Reihenentwicklung von $e^t$) und $e^{-t}<e^{-\frac{2}{\epsilon}}\implies \frac{2}{t}<\epsilon$.

Damit folgt schließlich
$$\left|x\ln(x)-0\right|=\left|te^{-t}\right|\leq \frac{2}{t}<\epsilon.$$
Es gilt also tatsächlich $\lim\limits_{x\to 0^+}x\ln(x)=0$ (ganz ohne L'Hospital).

Würdest Du das auch so sehen?

viele Grüße
WagW



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-15


Wie kommst du auf
$$ t\exp(-t)\leq \frac 2t?
$$
LG Nico



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WagW
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-15


Mithilfe der Reihenentwicklung von $e^t$ bzw. Taylorreihe im Punkt $0$, also
$$ e^t=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{t^k}{k!}\implies e^t\geq \frac{t^2}{2}\implies e^{-t}\leq  \frac{2}{t^2}\implies te^{-t}\leq  \frac{2}{t}.
$$



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-05-15


Das gilt aber nicht für alle $t\in\mathbb R$. Du müsstest also noch ein Argument bringen, warum diese Abschätzungen für deine Werte von $t$ in Ordnung sind.

LG Nico



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WagW
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-15


Ah ok ich weiß was Du meinst, ich muss noch explizit erwähnen, dass auch alle $t$  positiv sind.

Es gilt ja $0< e^{-t}= x<e^{-\frac{2}{\epsilon}}<1$ und somit $\ln\left(e^{-t}\right)=- t< \ln(1)=0 \implies t>0$.



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-05-15


Wenn das mit dem $t$ behoben ist, sehe ich sonst keine weiteren Probleme mit der Argumentation :)

LG Nico



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