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Mathematik » Stochastik und Statistik » Dichte zu Zufallsvariable U = XY^2 finden
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Universität/Hochschule Dichte zu Zufallsvariable U = XY^2 finden
PeterMeier123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-15


Hallo,

ich habe folgende Wahrscheinlichkeitsdichte zweier Zufallsvariablen $X$ und $Y$:

$$f_{XY}(x,y) = \left\{\begin{array}{ll}\frac{xy}{96}, & 1<y<5, 0<x<4 \\ 0, & \text{sonst.}\end{array}\right.$$
Jetzt möchte ich gerne die Dichte zur Variablen $U=XY^2$ berechnen. Meinen Ansatz möchte ich hier in den nächsten Zeilen gerne vorstellen:

$$f_U(u) = \frac{d}{du}F_U(u) = \frac{d}{du}P(U<u) = \frac{d}{du}P(XY^2<u) = \frac{d}{du}\left(1-P(XY^2>u)\right)$$
Nebenrechnung:

$$P(XY^2>u) = \int_{x=\frac{u}{25}}^{4} \int_{y=\sqrt{\frac{u}{x}}}^5 \frac{xy}{96} \, dy dx = \frac{(u-100)^2}{9600}$$
Das beschreibt meiner Meinung nach diese obere "Ecke" der Funktion... Die $u/25$ sind der Schnittpunkt der Funktion $y = \sqrt(u/x)$ mit $y=5$, was hier als Startwert für das $dx$ Intervall fungiert, bis zum Endwert $x=4$.

Weiter mit der Hauptrechnung:

$$\frac{d}{du}\left(1-P(XY^2>u)\right) = \frac{d}{du}\left(1-\frac{(u-100)^2}{9600}\right) = -\frac{-100 + u}{4800} = f_U(u) $$
Meine Frage ist nun, ob das hier richtig ist. Außerdem fällt es mir gerade schwer für $f_U(u)$ die passenden Grenzen anzugeben... Ich würde mich sehr über Beiträge freuen :)



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-15


Hallo,

$U$ nimmt Werte in den Intervall $(0,20)$. Vielleicht hilft das schon mal. Ohne es nachgerechnet zu haben, glaube ich, dass $X$ und $Y$ unabhängig sind. Dazu musst du nur die Randdichten ausrechnen.
\[
f_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm dy
\] Dann sind aber $X$ und $Y^2$ unabhängig. Du kannst also die beiden Dichten miteinander multiplizieren.



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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-05-15


2021-05-15 16:12 - PeterMeier123 im Themenstart schreibt:
Hallo,
 fungiert, bis zum Endwert $x=4$.

Weiter mit der Hauptrechnung:

$$\frac{d}{du}\left(1-P(XY^2>u)\right) = \frac{d}{du}\left(1-\frac{(u-100)^2}{9600}\right) = -\frac{-100 + u}{4800} = f_U(u) $$
Meine Frage ist nun, ob das hier richtig ist.  


Hallo Peter, was genau berechnest du eigentlich? Die Dichte kann es nicht sein, denn die ist die Ableitung von $P(U\le u)$. Wenn es doch die Dichte sein soll, dann kann das nicht stimmen, denn die Flaeche unter dieser Funktion ist nicht Eins.

(Ich widerspreche ochen nur ungern, aber $U$ nimmt Werte an in $(0,100)$.)

vg Luis

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-15


2021-05-15 17:15 - luis52 in Beitrag No. 2 schreibt:

(Ich widerspreche ochen nur ungern, aber $U$ nimmt Werte an in $(0,100)$.)

vg Luis

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Oh ja, ihr habt recht $4\cdot 5^2=100\neq 20=4\cdot 5$.



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PeterMeier123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-15


2021-05-15 17:15 - luis52 in Beitrag No. 2 schreibt:


Hallo Peter, was genau berechnest du eigentlich? Die Dichte kann es nicht sein, denn die ist die Ableitung von $P(U\le u)$. Wenn es doch die Dichte sein soll, dann kann das nicht stimmen, denn die Flaeche unter dieser Funktion ist nicht Eins.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Hi Luis und ochen, danke für eure Antworten, warum kann es keine Dichte sein, ich arbeite doch hier mit folgendem Ansatz:

$$f_U(u) = \frac{d}{du}F_U(u) = \frac{d}{du}P(U<u)$$
und stelle das entsprechend um?




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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-05-15


Hallo,

berechne zuerst die Randdichten.
Es ist
\[
f_X(x)=\int_{1}^5\frac{xy}{96}\,\mathrm dy
\] und
\[
f_Y(y)=\int_{0}^4\frac{xy}{96}\,\mathrm dx
\]



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PeterMeier123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-15


2021-05-15 17:42 - ochen in Beitrag No. 5 schreibt:
Hallo,

berechne zuerst die Randdichten.
Es ist
\[
f_X(x)=\int_{1}^5\frac{xy}{96}\,\mathrm dy
\] und
\[
f_Y(y)=\int_{0}^4\frac{xy}{96}\,\mathrm dx
\]

Danke für deine Antwort, deine Idee ist wahrscheinlich, die Unabhängigkeit auszunutzen, richtig?

Aber was genau ist an meinem ersten Ansatz falsch? Das sehe ich noch nicht?



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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-05-15


2021-05-15 17:39 - PeterMeier123 in Beitrag No. 4 schreibt:
2021-05-15 17:15 - luis52 in Beitrag No. 2 schreibt:


Hallo Peter, was genau berechnest du eigentlich? Die Dichte kann es nicht sein, denn die ist die Ableitung von $P(U\le u)$. Wenn es doch die Dichte sein soll, dann kann das nicht stimmen, denn die Flaeche unter dieser Funktion ist nicht Eins.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Hi Luis und ochen, danke für eure Antworten, warum kann es keine Dichte sein, ich arbeite doch hier mit folgendem Ansatz:

$$f_U(u) = \frac{d}{du}F_U(u) = \frac{d}{du}P(U<u)$$
und stelle das entsprechend um?



Stimmt, aber trotzdem ist die Flaeche nicht Eins.

vg Luis



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PeterMeier123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-15


@luis52, ok kannst du mir dann vielleicht sagen, wie ich diese hier berechnen kann oder wo mein Fehler ist, fehlt das Intervall für $f_U(u)$?

Ich habe mich hieran orientiert HIER, das müsste sich ja sehr ähnlich zu dem verhalten, was ich habe?!

------------

Edit:

Ich würde es vielleicht nochmal mit einem anderen Ansatz versuchen und zwar:

$$F_U(u) = P(U<u) = P(XY^2<u) = P(X<u/Y^2) = F_X(u/Y^2)$$
$$f_U(u) = \frac{d}{du}F_U(u) = \frac{d}{du}F_X(u/Y^2) = \int_1^5 \frac{d}{du} \int_0^{u/Y^2} f(x,y) dx dy$$
Was sagt Ihr hierzu?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-05-15


Hallo,

es tut mir leid, dass ich so auf der Unabhängigkeit herumreite, aber ich glaube, es macht das viel einfacher. Du kannst danach den Ansatz von der Seite immer noch nutzen.

Wir berechnen zuerst die Randdichten:
\[
f_X(x)=\mathbf{1}_{(0,4)}(x)\cdot \frac{x}{8},\quad
f_Y(y)=\mathbf{1}_{(1,5)}(y)\cdot \frac{y}{12}.\] Es gilt insbesondere tatsächlich $f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)$.
Somit folgt
\[
F_Y(y)=\begin{cases}0,&y\leq 1\\
\frac{y^2-1}{24},&1<y< 5\\
1,&y\geq 5
\end{cases}.
\] Dann setzen wir $Z=Y^2$ und erhalten
\[
F_Z(z)=\mathbb P(Z\leq z)=\mathbb P(Y^2\leq z)=\mathbb P(Y\leq\sqrt z) =F_Y(\sqrt z).
\] Somit folgt
\[
F_Z(z)=\begin{cases}0,&z\leq 1\\
\frac{z-1}{24},&1<z< 25\\
1,&z\geq 25
\end{cases}.
\] Welche Dichte hat $Z$? Dann kannst du mit deinem Link die Dichte von $XZ$ berechnen.



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PeterMeier123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-15


Hey ochen,

danke für deine Hilfe! Das du mit der Unabhängigkeit arbeitest, ist glaube ich auch das einzig richtige hier... Kurzer Einwurf, wäre dieser Fall nicht unabhängig, wäre mein Ansatz dann korrekt?

Zweitens für die Dichte von $Z$, um auf deine Frage zu antworten, würde ich $F_Z(z)$ nach $z$ ableiten und erhalte 1/24 für $1 < z < 25$, richtig? Aber wie hilft mir da mein Link weiter (das sehe ich gerade nicht)?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2021-05-15


2021-05-15 19:36 - PeterMeier123 in Beitrag No. 10 schreibt:
Hey ochen,

danke für deine Hilfe! Das du mit der Unabhängigkeit arbeitest, ist glaube ich auch das einzig richtige hier... Kurzer Einwurf, wäre dieser Fall nicht unabhängig, wäre mein Ansatz dann korrekt?
Dein Ansatz ist bestimmt auch in deinem Fall korrekt (also auch wenn sie wie hier unabhängig sind). Leider ist es aber nicht so einfach alle Schritte im Detail nachzuvollziehen.


Zweitens für die Dichte von $Z$, um auf deine Frage zu antworten, würde ich $F_Z(z)$ nach $z$ ableiten und erhalte 1/24 für $1 < z < 25$, richtig? Aber wie hilft mir da mein Link weiter (das sehe ich gerade nicht)?
Ja, das ist richtig. Wir erhalten also
\[
f_X(x)=\mathbf{1}_{(0,4)}(x)\cdot \frac{x}{8},\quad
f_Z(z)=\mathbf{1}_{(1,25)}(z)\cdot \frac{1}{24}.
\] Die gemeinsame Dichte ist
\[
f_{X,Z}(x,z)=\mathbf{1}_{(0,4)}(x)\cdot\mathbf{1}_{(1,25)}(z)\cdot \frac{x}{192}
\] Mit Hilfe deines Links bekommen wir
\[
\begin{align*}
\mathbb{P}(XZ\leq t)&=\iint_{\mathbb R^2}\mathbf{1}_{(0,t]}(x\cdot z) \cdot \mathbf{1}_{(0,4)}(x)\cdot\mathbf{1}_{(1,25)}(z)\cdot \frac{x}{192} dzdx\\
&=\int_0^4\int_1^{\max(\min(t/x,25),1)}\frac{x}{192}dzdx
\end{align*}
\]



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PeterMeier123
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Hey ochen,

Danke für die tolle Hilfe! Also ich verstehe deinen Ansatz, das sieht auch für mich richtig aus.

Eine weitere Frage, in deinem Doppelintegral am Ende verwendest du diesen $min()$ Operator, wie wird das hier genau gehandhabt? Ich mache sowas eigentlich immer über eine kleine Skizze, hier komme ich aber gerade nicht wirklich weiter...

-----------
Ergänzung:

Wenn ich meinen Ansatz hier nochmal nutze:

$$F_U(u) = P(U<u) = P(XY^2<u) = P(X<u/Y^2) = F_X(u/Y^2)$$
$$f_U(u) = \frac{d}{du}F_U(u)= ... = \frac{d}{du}F_X(u/Y^2) = f_X(u/Y^2)$$
unter Verwendung von:

$$f_X(x) =\int_{1}^5\frac{xy}{96}\,\mathrm dy = \frac{x}{8}$$
ist das hier dann doch die Lösung?! $f_U(u) = f_X(u/Y^2) = \frac{u/Y^2}{8} $



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PeterMeier123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-17


Hallo zusammen,

ich bin leider noch kein Stück weitergekommen, kann jemand meinen letzten Ansatz bestätigen oder widerlegen?



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luis52
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2021-05-17 11:09 - PeterMeier123 in Beitrag No. 13 schreibt:
Hallo zusammen,

ich bin leider noch kein Stück weitergekommen, kann jemand meinen letzten Ansatz bestätigen oder widerlegen?

Lieber Peter, was soll denn das fuer eine Dichte sein, die von $Y^2$ abhaengt? Wie genau sieht $f_U:\IR\to\IR$, $u\mapsto f_U(u)$ aus?

vg Luis



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PeterMeier123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-17


Hey luis, genau das ist der Punkt, der mich auch stört :) jedoch weiß ich nicht, wo ich in meiner Umformung einen Fehler gemacht habe...



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ochen
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$Y^2$ ist keine Konstante...

Das ist zwar nicht in deinem Sinn, aber wir können auch hier weitermachen:
\[
\begin{align*}
\mathbb{P}(XZ\leq t)&=\iint_{\mathbb R^2}\mathbf{1}_{(0,t]}(x\cdot z) \cdot \mathbf{1}_{(0,4)}(x)\cdot\mathbf{1}_{(1,25)}(z)\cdot \frac{x}{192} dzdx\\
&=\int_0^4\int_1^{\max(\min(t/x,25),1)}\frac{x}{192}dzdx\\
&=\int_0^4 \left(\max(\min(t/x,25),1)-1\right)\cdot
\frac{x}{192}\,dx
\end{align*}
\] Der Integrand lässt sich vereinfachen. Wie?


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.13 begonnen.]



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PeterMeier123
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Hallo ochen :) von mir aus können wir auch gerne an deinem Ansatz weiterarbeiten :)

Ich wüsste jetzt nicht, wie ich das ohne Zeichnung vereinfachen könnte. Wenn ich hier nochmal auf den Link zurückgreife, dann wurde dort auch mit dieser min() Eigenschaft gearbeitet, ich kann mir das jedoch immer nur anhand einer Skizze veranschaulichen...



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ochen
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\[
\begin{align*}
\mathbb{P}(XZ\leq t)&=\iint_{\mathbb R^2}\mathbf{1}_{(0,t]}(x\cdot z) \cdot \mathbf{1}_{(0,4)}(x)\cdot\mathbf{1}_{(1,25)}(z)\cdot \frac{x}{192} dzdx\\
&=\int_0^4\int_1^{\max(\min(t/x,25),1)}\frac{x}{192}dzdx\\
&=\int_0^4 \left(\max(\min(t/x,25),1)-1\right)\cdot
\frac{x}{192}\,dx\\
&=\int_0^4
\max(\min(t/x-1,24),0))\cdot \frac{x}{192}\,dx\\
&= \int_0^4
\max\left(\min\left(\frac{t}{192}
-\frac{x}{192}
,\frac{24x}{192}
\right),0\right)\,dx
\end{align*}
\] Der Integrand ist eine stückweise (affin-)lineare Funktion.



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PeterMeier123
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Hey ochen, also du hast den Integranden etwas umgeschrieben und das mit x/192 verrechnet (in die Funktion geholt).

Wie berechnet man denn das Maximum, bzw. Minimum eines Integrals ?! Das hab ich vorher noch nicht gesehen :) Macht man das über den Limes?



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schlauuu
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Versuche doch mal Fallunterscheidung je nachdem welchen Wert t hat



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PeterMeier123
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Genau, das ist der passende Hinweis, ich hab hier gerade im Forum einen Beitrag dazu gefunden, den ich lese. Ich denke damit sollte ich das schaffen...

-----

Edit: Ich glaube, dass ich's jetzt habe...

$$P(XZ<t) = \begin{cases}1, &t> 100 \\ \frac{t^2}{400}, &0<t<4 \\ \frac{-t^2+200t-400}{9600}, &4<t<100\end{cases}$$
zumindest sieht das "richtiger" aus, als vorherige "Lösungen" :)

Mit dem Doppelintegral bin ich auch noch zu dieser Lösung gekommen...

Passt das?



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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2021-05-17


2021-05-17 13:02 - PeterMeier123 in Beitrag No. 21 schreibt:
Passt das?

Das sieht ganz prima aus und ich habe es zur Haelfte auch so. Fuer $t\in(0,4)$ verrechne ich mich aber dauernd (Unstetigkeit in $t=4$!). Ich mache es mal konkret, fuer $t\in(0,4)$ rechne ich so:

\[P(XY^2\le t) = \int_{t/25}^{t} \int_{1}^{\sqrt{t/x}} \frac{xy}{96} \, dy\, dx = \frac{3t^2}{1250}\ne\frac{t^2}{400}.\]
Ich zerbreche mir den Kopf, wo mein Fehler liegt.

Kannst du bitte hier mal deinen Loesungsweg aufschreiben? Auch fuer die Nachwelt ...

vg Luis




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PeterMeier123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-17


Hey luis,

ich hab meinen Ansatz erstmal nur handschriftlich parat. Aber wenn ich mir dein Integral ansehe, dann würde ich behaupten, sind die Grenzen falsch. Bei mir sieht das so aus:

$$\int_{1}^{5}\int_{0}^{t/y^2} \frac{xy}{96} \, dx dy = \frac{t^2}{400}$$
Das ist der Fall, wenn die Funktion komplett in das "Support Set" "hineingefahren wird".



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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, eingetragen 2021-05-18


Moin allerseits, nach Peters Beitrag 23 ist mir klar geworden, wo mein Fehler lag. Vielen Dank dafuer.

Ich stelle hier mal meine Loesung vor. Die Aufgabe lautet:

Gegeben sind die Zufallsvariablen $X$ und $Y$ mit gemeinsamer Dichte
\[f_{XY}(x,y) = \left\{\begin{array}{ll}\dfrac{xy}{96}, & 1<y<5, 0<x<4 \\ 0, & \text{sonst.}\end{array}\right.=xy\mathbf{1}_{(0,4)}(x)\mathbf{1}_{(1,5)}(y)\] Man bestimme die Dichte von $U=XY^2$.

Dazu bestimme ich die Verteilungsfunktion $F_U(u)=P(U\le u)$, die ich dann ableite. Es gilt $F_U(u)=0$ fuer $u\le0$ und $F_U(u)=1$ fuer $u\ge100$, da $U$  Werte annimmt im Intervall $(0,100)$. Ist $0<u<100$, so gilt

\[P(U\le u)=P(XY^2\le u)=P(Y\le \sqrt{u/X})=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f_{XY}(x,y)\,dy\,dx=(*)\].

Ich unterscheide zwei Faelle, wobei ich mich an der Skizze unten orientiere. (Leider sehr gross, kann man das verkleinern?):

$0<u<4$: Das Integral (*) wird ueber zwei Bereichen berechnet, naemlich ueber  $(0,u/25)\times(1,5)$ und ueber $(u/25,u)\times(1,\{\sqrt{u/x}\mid x\in\IR\,, u/25<x<u\})$.

Also ist

\[F_U(u)=\frac{1}{96}\int_{0}^{u/25}\int_{1}^{5}xy\,dy\,dx+\frac{1}{96}\int_{u/25}^{u}\int_{1}^{\sqrt{u/x}}xy\,dy\,dx=\frac{u^2}{400}\]

$4\le u<100$: Auch hier wird (*) wieder ueber zwei Bereichen berechnet, naemlich ueber  $(0,u/25)\times(1,5)$ und ueber $(u/25,4)\times(1,\{\sqrt{u/x}\mid x\in\IR\,, u/25<x<4\})$.

Also ist

\[F_U(u)=\frac{1}{96}\int_{0}^{u/25}\int_{1}^{5}xy\,dy\,dx+\frac{1}{96}\int_{u/25}^{4}\int_{1}^{\sqrt{u/x}}xy\,dy\,dx=\frac{u^2}{400}=\frac{-u^2+200 u-400}{9600}\,.\]
Es folgt

\[f_{U}(u) = \left\{\begin{array}{ll}\dfrac{u}{200}, & 1<u<4, \\\dfrac{100-u}{4800}&4\le u<100, \\ 0, & \text{sonst.}\end{array}\right.\]
vg Luis




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luis52
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@ochen: Noch eine Anmerkung zu deinem Beitrag #1. Du schreibst Ohne es nachgerechnet zu haben, glaube ich, dass $X$ und $Y$ unabhängig sind. Spaeter bestaetigst du deine Vermutung, indem du die gemeinsame Dichte als Produnkt der Randdichten darstellst. Dieser Umweg ist zum Nachweis der Unabhaenigkeit nicht noetig. Man muss nur nachweisen, dass sich die gemeinsame Dichte als Produkt *irgendwelcher* Funktionen mit getrennten Argumenten darstellen laesst. So gilt

\[f_{XY}(x,y)= g_1(x)h_1(y)=g_2(x)h_2(y)\]
mit $g_1(x)=x\mathbf{1}_{(0,4)}(x)$, $h_1(y)=\mathbf{1}_{(1,5)}(y)/96$  $g_2(x)=x\mathbf{1}_{(0,4)}(x)/2$, $h_2(y)=\mathbf{1}_{(1,5)}(y)/48$.



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