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Gewöhnliche DGL » Theorie der Gew. DGL » Existenz und Eindeutigkeit zeigen
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Kein bestimmter Bereich J Existenz und Eindeutigkeit zeigen
Reset
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-17


Hallo Zusammen,

ich versuche mich gerade ins Thema Differentialgleichungen einzuarbeiten. Ich studiere schon sehr lange nicht mehr und will mich mathematisch weiterbilden.

Ich bin mittlerweile ganz gut darin, Differentialgleichungen zu lösen. Wenn es aber darum geht zu zeigen, ob DGLn überhaupt eindeutig lösbar sind, komme ich an meine Grenzen. Ich weiß, dass es grob um Lipschitz-Stetigkeit geht (die Definition kann ich zwar lesen, aber noch nicht anwenden).

Ich versuche mich mal mit eurer Hilfe an einer Aufgabe:

fed-Code einblenden

Gehe ich recht in der Annahme, dass ich das mit Picard-Lindelöf zeigen muss?

Dafür muss die rechte Seite stetig sein in x und das ist sie doch, da sowohl der Cosinus als auch die Wurzel als auch die E-Funktion stetig sind und somit die Summe/das Produkt ebenso stetig sein muss.

Nun muss ich noch die Lipschitz-Stetigkeit zeigen. Habe ich das richtig verstanden, dass ich dafür zeigen muss, dass die partiellen Ableitungen beschränkt sind (falls man die Lipschitz-Stetigkeit nicht direkt nachrechnen kann)?

Leite ich die Rechte Seite ab, erhalte ich:

fed-Code einblenden

Kann mir jemand sagen, ob ich völlig auf dem Holzweg bin bisher, oder ob das einigermaßen Zielführend ist. Falls zweiteres, wie kann ich jetzt die Beschränktheit dieser Ableitung zeigen?

LG
Reset



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo, Reset,

1. Die rechte Seite ist stetig in \( x\), weil das gar nicht vorkommt. Du hast das mit \( y\) verwechselt.

2. Wenn eine Funktion stetig differenzierbar ist, ist sie auch lokal Lipschitz-stetig:

Auf Kompakta ist die Ableitung beschränkt, und daher sind auch Differenzenquotienten beschränkt.

Man kann sich die elende konkrete Rechnerei also sparen.

3. Ein einfaches Argument für das Existenzintervall fällt mir nicht ein - da muss man benutzen, dass die rechte Seite sich betragsmäßig durch \( a+b|y|\) abschätzen lässt, ich kenne da aber dein Vorwissen nicht.

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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Reset
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-18


Vielen Dank,

das Zeigt mir, dass Anwendung und Grundverständnis sehr weit voneinander entfernt sind :D

Dann mache ich mich mal an die Basics zu Stetigkeit und Differenzierbarkeit

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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