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Analysis » Rationale und reelle Zahlen » Dedekindscher Schnitt -Eindeutigkeitsbeweis
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Schule J Dedekindscher Schnitt -Eindeutigkeitsbeweis
Mathenico
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-17

\(\begingroup\)\(\[i:=\sqrt{-1}\]\)
Hallo zusammen,

bevor ich meine Frage stelle, kurz die Voraussetzung bzw. der Satz zum „Dedekindschen Schnitt”...

Gegeben seien zwei Zahlenmengen \(A\) und \(B\) unter den folgenden Bedingungen:

1. Die Mengen \(A\) und \(B\) sind nicht leer.
2. Mit \(a\in{A}\) und \(b\in{b}\) gelte stets \(a\leq{b}\).
3. Für eine beliebige (kleine) Zahl \(\epsilon>0\) kann stets ein Element der Menge \(A\) und der Menge \(B\) so gewählt werden, dass \(b-a<\epsilon\) ausfällt.

Satz:
Es seien zwei Mengen \(A\) und \(B\) gegegeben, die die o.g. Voraussetzungen erfüllen.
Dann gibt es genau eine reelle Zahl \(t\), genannt „Trennungszahl”, die diese Mengen voneinander trennt mit der Eigenschaft, dass für alle Elemente in \(A\) und \(B\) stets \[a\leq{t}\leq{b}\] gilt.

Soweit alles klar. Zum Beweis ist die Eindeutigkeit und die Existenz der Zahl \(t\) zu zeigen.

Zur Eindeutigkeit (nur darum geht es mir..., indirekt gezeigt):

Angenommen, es gäbe zwei nicht gleiche reelle Zahlen \(t_1\) und \(t_2\). Dann gilt, wenn ohne Beschränkung der Allgemeinheit \(t_2>t_1\) vorausgesetzt wird, \[t_2-t_1=\epsilon>0.\quad[1]\] Da die Zahlen \(t_1\) und \(t_2\) Trennungszahlen darstellen, gilt \[a\leq{t_1}\leq{b}\quad[2]\] und \[a\leq{t_2}\leq{b}.\quad[3]\] Gl. [1] umgestellt nach \(t_2\) und in Gl. [3] eingesetzt ergibt \[a\leq{\epsilon+t_1}\leq{b}.\quad[4]\]
So long... und hier stehe ich sprichwörtlich komplett auf der Leitung. Jetzt muss ich doch Gl. [4] nur noch so „hinbiegen”, als dass sie im Widerspruch zu der eingangs erwähnten Bedingung \(b-a<\epsilon\) steht und aus die Maus. Im Lernhelfer steht etwa, dass aus Gl. [4] direkt \(\epsilon+t_1\leq{b-a}\) folge – dass ist aber für mich gar nicht verständlich. (Wenn doch, wäre ich ja am Ziel....)

Also Klartext: Wie muss ich den letzten Schritt über Gl. [4] angehen, um meinen Widerspruch (zur Voraussetzung \(b-a<\epsilon\)) zu erhalten. Wahrscheinlich ganz einfach, aber irgendwo habe ich gerade einen Knoten im Hirn....


Also vielen Dank vorab für 'nen kleinen Hinweis...

Nico







\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo und willkommen hier im Forum!

In diesem Lernhelfer* folgt nicht \(b-a<\varepsilon\), sondern es wird argumentiert, dass die Existenz zweier Trennungszahlen \(t_1\), \(t_2\) im Widerspruch zu der Annahme \(b-a<\varepsilon\) steht.

Hilft dir das eventuell schon weiter?


Gruß, Diophant

* wie kann man sich das antun, da muss man ja ersteinmal Stapel von Werbung wegklicken, bis etwas vernünftiges zum Vorschein kommt?...


[Verschoben aus Forum 'Schulmathematik' in Forum 'Rationale und reelle Zahlen' von Diophant]
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Mathenico
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-18

\(\begingroup\)\(\[i:=\sqrt{-1}\]\)
Hallo Diophant,

Dank für Deine schnelle Antwort.

Es ist mir klar, dass gezeigt werden soll, dass bei der Annahme von zwei Trennungszahlen \(t_1\) und \(t_2\), diese zu einem Widerspruch hinsichtlich der Voraussetzung \(b-a<\epsilon\) führen (müssen).

Im Lernhelfer heisst es nun wörtlich:
„Aus der zweiten Ungleichung folgt dann \(a\leq{t_1+\epsilon}\leq{b}\) bzw. \(b-a>t_1+\epsilon\)...”. Genau dieses „beziehungsweise \(b-a>t_1+\epsilon\)” irritiert mich! Mit anderen Worten: Da stehe ich irgendwo auf der Leitung: Wo kommt denn dieses \(b-a>t_1+\epsilon\) her? Habe ich etwa ein Problem mit Ungleichungen...?

PS: Die nervige Werbung kam im Firefox-Browser (mein Standard...) erstaunlicherweise niemals vor. Auf Safari (soeben ausprobiert) nervt das tatsächlich ungemein – hast Recht...



Gruss

Nico
\(\endgroup\)


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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-18


\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\[i:=\sqrt{-1}\]\)2021-05-18 00:51 - Mathenico in Beitrag No. 2 schreibt:
Genau dieses „beziehungsweise \(b-a>t_1+\epsilon\)” irritiert mich!
\(\endgroup\)

Zu Recht, denn das ist ein Fehler im "Lernhelfer".

Aus der zweiten Ungleichung folgt tatsächlich erstmal $a\le t_1+\epsilon\le b$, aber daraus dann $t_1-a+\epsilon\le b-a$. Jetzt kommt die erste Ungleichung ins Spiel, denn die sagt $t_1-a\ge 0$ und liefert somit $b-a\ge\epsilon$.



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Mathenico
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-18


Hallo Zippy,

vielen Dank! Das Naheliegendste hatte ich (mal wieder) übersehen - aber jetzt ist alles klar und es wird mit dem Existenzbeweis weitergehen.

So fängt der Tag doch gut an....

Nico



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