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Mathematik » Topologie » Intersektion mit offener Kugel
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Beruf Intersektion mit offener Kugel
sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-18


Hallo Zusammen,

$B_{d_F}(y,r_y)=B_d(y,r_y)\cap F$.
Intuitiv schneide ich von einer Kugel $B_{d_F}$ ein beliebiges Stück ab. Da ist intuitiv nicht zu erwarten, dass wieder eine Kugel entsteht.

Ich habe die Frage bereits im Forum unserer Uni gestellt. Der  Professor meinte, dass es korrekt sei dass $B_{d_F}(y,r_y)=B_d(y,r_y)\cap F$ und dies nicht besser erklärt werden könne.

So was habe ich noch nie erlebt. An der uni nicht und auf Matheplanet schon gar nicht. Ok, aber zur Mathematik:


Ich frage mich, ob ein grundsätzliches Falschverständniss bezüglich der Restriktion einer Funktion vorliegt. Ich habe mir das auf Wiki angeschaut.

Nach meinem Kenntnissstand gilt:
Ist $d$ eine Metrik auf $E$ und $d_F$ die Restriktion von $d$ auf $F \times F$ für $F\subset E$.
Dann gilt für den Fall dass $B_{d_F}(x,r_x)\subset F$ dass $B_{d_F}(x,r_x)=B_d(x,r_x)$.
Falls aber $B_{d_F}(x,r_x)\nsubseteq F$ dann gilt $B_{d_F}(x,r_x)=\text{error}$
Daher macht in beiden Fällen $B_{d_F}(y,r_y)=B_d(y,r_y)\cap F$ keinen Sinn. Dies mein aktueller Kentnisstand, welcher offensichtlich falsch ist.


Der Reihe nach:

Sei $(E,d)$ ein metrischer Raum und $F\subset E$. Zeige dass die Topologie, welche durch $d_F$ an E assoziert wird $\tau_d$ gleich ist wie die Topologie $(\tau_d)_F$  (weiss nicht wie diese Topologie auf deutsch heisst).


Lösung:
Sei $U\subset F\in \tau_F$. Also existiert $V\in \tau_d$ sodass $U=V\cap F$. Also für jedes $x\in V$ existiert ein $r_x>0$ sodass $B_d(x,r_x)\subset V$ insbesondere für $x\in U$
$B_{d_F}(x,r_x)=B_d(x,r_x)\cap F$


Wie oben angedeutet sieht das für mich aus, als würde ich von einem Kreis etwas abschneiden und wieder einen Kreis erwarten.
Vergleiche z.B. den runden Mond. Wenn aber die Sonne einen Teil davon abdeckt, dann sehen wir einen Halbmond oder gar nichts, nie aber einen kleineren Vollmond.

Ich hoffe, es ist verständlich.

Ich gehe davon aus, dass ein Satz aus der Topologie, welchen ich gerade nicht im Kopf habe, $B_{d_F}(y,r_y)=B_d(y,r_y)\cap F$ erklärt.






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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-18


Die Frage lässt sich beantworten, indem man sich die Definition von $B_d(y,r)$ anschaut, wenn nötig mit vielen verschiedenen Metriken. Das ist nämlich mitnichten zwingend eine geometrisch glatte Murmel, sondern schlicht und einfach die Menge aller Punkte des metrischen Raumes, die von $y$ höchstens den Abstand $r$ haben. Wenn der Raum komisch geformt ist oder die Metrik ungewöhnlich ist, dann sieht diese Kugel entsprechend auch nicht mehr unbedingt wie eine Kugel aus.



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-18


hallo ligning,

Vielen Dank für die schnelle Antwort.

Ja, aber wie kommt er darauf dass $B_{d_F}(y,r_y)=B_d(y,r_y)\cap F$?



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-18


Hallo,

Vielleicht hilft es dir, wenn du dir die Definitionen der Kugeln genau aufschreibst.

Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum, $F\subseteq X$ und $y\in F$. Dann ist
$$ B_{d_F}(y,r_y)=\lbrace x\in F \mid d_F(x,y)<r_y\rbrace=\lbrace x\in F \mid d(x,y)<r_y\rbrace =\lbrace x\in X \mid d(x,y)<r_y\rbrace\cap F=B_d(y,r_y)\cap F.
$$ Bedenke dabei, dass so eine "Kugel" $B$ nicht immer "rund" sein muss, so dass die Intuition einen da schnell verlassen kann. Wie sehen zum Beispiel die "Kugeln" bezüglich der Metrik $d(x,y)=0$ falls $x=y$ und sonst $d(x,y)=1$ aus?

LG Nico

Edit: Gerade erst gesehen: Welche Rolle spielt es, dass der Professor aus Asien kommt?

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-05-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
2021-05-18 09:21 - sulky im Themenstart schreibt:
Ich habe die Frage bereits im Forum unserer Uni gestellt. Der Asiatische Professor meinte, dass es korrekt sei dass $B_{d_F}(y,r_y)=B_d(y,r_y)\cap F$ und dies nicht besser erklärt werden könne.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)

Was hat das eigentlich mit der Ethnie des Professors zu tun?!

Das Problem ist ja wohl eher die Definition der Objekte. Wenn $d_F$ nur auf $F$ definiert ist, dann wird $B_{d_F}$ per definitionem wohl in $F$ leben und $B_d$ in $E$.

2021-05-18 09:21 - sulky im Themenstart schreibt:
Falls aber $B_{d_F}(x,r_x)\nsubseteq F$ dann gilt $B_{d_F}(x,r_x)=\text{error}$
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)

Sowas wie "error" gibt es nicht in der Mathematik, aber wie du richtig erkennst, würde die Definition gar keinen Sinn ergeben. Deshalb wird $B_{d_F}$ definiert wie etwa nzimme10 erklärt.


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei
\(\endgroup\)


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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-18


Hallo nzimme und Kezer,

Ich möchte mich an dieser stelle dafür entschuldigen, dass ich die Herkunft des Professors genannt habe. Nun habe ich das im Startbeitrag abgeändert.

Hmmm...es geht mir nicht auf. Auch bei Wikipedia (Offene Menge) gibt es einen Abschnitt über die offene Kugel.
Dort steht nichts über die Anforderungen an den Raum sodass eine Kugel definiert werden kann.

Ich kann einfach nicht mit der Theorie in Einklang bringen dass
$B_{d_F}(x,r_x)=\{y\in F|d_F(x,y)<r_x\}$


Die Funktion $d_F$ ist nicht auf ganz $E$ definiert. Somit ergibt für $x\in F^c$:  $d_F(x,y)=\text{error}$ und auch die Abschätzung $\text{error<r_x}$ ist nicht definiert.

Ich sehe die mathematische Begründung nicht, weshalb man von Beginn an $\{x\in X\cap F...$ schreiben darf um die unerlaubte Funktionsauswertung zu vermeiden...



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-05-18


Eine Kugel ergibt nur im Zusammenhang mit einem bestimmten metrischen Raum $(X,d)$ Sinn. Sie ist definiert durch $B(x_0, r) := \{ x\in X\mid d(x,x_0) < r \}$. Das ist _alles_ was man zur Beantwortung dieser Frage wissen muss. Deine Schwierigkeiten kommen daher, dass du das nicht akzeptierst und dir irgendwoandersher Anschauungen und Rechtfertigungen holst, ohne sie mit der Definition abzustimmen.

Du betrachtest einmal den metrischen Raum $(E,d)$ und dort die Kugel $B_d(y,r)$, und einmal den metrischen Raum $(F, d_F)$ (welcher ein Teilraum des erstgenannten ist) und dort die Kugel $B_{d_F}(y,r)$.

Setze die Definitionen ein, dann siehst du auch den Zusammenhang.



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-05-18


Ich möchte dir hier nochmal die Antworten meiner Vorredner genauer erläutern. Die Situation ist die Folgende:

Man betrachtet eine nichtleere Menge $X$ und auf $X$ hat man eine Metrik $d\colon X\times X\to \mathbb R_{\geq 0}$, die den Abstand zwischen zwei Punkten $x,y\in X$ angibt. Das muss wie bereits erwähnt nicht der anschauliche Abstand sein. Wir nennen jede Abbildung dieser Art eine Metrik, die folgende Eigenschaften erfüllt:
       (i) $d(x,y)=0 \ \Longleftrightarrow \ x=y$
       (ii) $d(x,y)=d(y,x)$
       (iii) $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$
für alle $x,y,z\in X$. Das Paar $(X,d)$ nennt man dann einen metrischen Raum. Für eine positive Zahl $r>0$ und einen Punkt $x\in X$ definieren wir nun die Kugel vom Radius $r$ um $x$, als die Menge aller Punkte $y\in X$ mit Abstand kleiner als $r$ zu $x$. Formal also
$$ B(x,r):=\lbrace y\in X\mid d(x,y)<r\rbrace.
$$ Wie bereits erwähnt muss das überhaupt nicht wie eine anschauliche Kugel aussehen, sondern ist zunächst rein der Definition nach zu interpretieren. Falls wir nun eine Teilmenge $F$ von $X$ betrachten, so überlegt man sich leicht, dass $(F,d_F)$ mit $d_F:=d|_{F\times F}$ ebenfalls ein metrischer Raum ist. Auf diesem metrischen Raum sind also ebenfalls Kugeln erklärt und zwar mit der selben Definition: Für ein $r>0$ und einen Punkt $x\in F$ setzen wir
$$ B_F(x,r):=\lbrace y\in F\mid d_F(x,y)<r\rbrace.
$$ Nun für $x,y\in F$ gilt aber nach Definition $d_F(x,y)=d(x,y)$. Daher kann man nun erneut die folgenden Umformungen betrachten:
$$ B_{F}(y,r)=\lbrace x\in F \mid d_F(x,y)<r\rbrace=\lbrace x\in F \mid d(x,y)<r\rbrace =\lbrace x\in X \mid d(x,y)<r\rbrace\cap F=B(y,r)\cap F.
$$ Ich hoffe dir ist es nun etwas klarer geworden.

LG Nico



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