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 Jordan-Inhalt |
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Strandkorb
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 17.05.2021
Mitteilungen: 540
 |  Themenstart: 2021-05-18
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Hallo Zusammen
Ich habe gerade ein wenig ein Durcheinander bezüglich der Begriffe: Jordaninhalt, quadrierbar und Jordaninhalt Null.
Ich verstehe nicht ganz wie diese zusammenspielen. Also was ich verstanden habe ist dass wenn wir eine Menge in \(\mathbb{R}^n\) zerlegen mit Zellen, dann kann man einen Inneren und äusseren Jordaninhalt definieren dies tut man indem man die Zellen immer mehr verkleinert und dann die "innere" und "äussere" Approximation immer genauer werden. Wenn nun also der innere Jordaninhalt gleich dem äusseren ist, dann ist doch die Menge quadrierbar oder? Gleichzeitig könnte man aber auch zeigen, dass die Differenz der Fläche des inneren und äusseren Jordaninhaltes gegen 0 konvergiert, dann ist das ja auch äquivalent dazu dass die Menge quadrierbar ist oder?
Nun was heisst aber wenn eine Menge Jordaninhalt 0 hat? Muss man dann zeigen dass sie quadrierbar ist und dass der Jordaninhalt gleich Null ist? Denn quadrierbarkeit alleine sagt ja nicht aus wie gross die Fläche ist.
Vielen Dank wenn ihr mir helfen könntet.
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Kampfpudel
Senior 
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 2023
| Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-19
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Hallo Strandkorb,
Was genau meinst du mit Zellen? Sind damit Vereinigungen von Mengen der Form \([a,b[\), \(a,b \in \mathbb{R}\) mit \(a \leq b\) gemeint (wobei \(a \leq b\) für \(a,b \in \mathbb{R}^n\) bedeuten soll, dass alle Komponenten von \(b-a\) nicht-negativ sind)? Also Elemente der Menge \(\mathbb{J}^n := \{ \bigcup_{k=1}^m I_k; ~ I_1,..., I_m \in J^n ~\text{paarweise diskunkt} \}\), wobei \(J^n= \{[a,b[, a,b \in \mathbb{R} ~ \text{mit} ~ a \leq b\}\)? Oder salopp gesagt: Zusammensetzungen von n-dimensionalen Rechtecken?
Dann kann ich soweit alles bestätigen, was du sagst. Denn in der Tat ist der innere Jordaninhalt einer beschränkten Menge \(A \subset \mathbb{R}^n\) definiert als
\(\underline{i^n}(A):= \sup \{\mu^n(M); ~M \in\mathbb{J}^n, ~M \subset A\}\) sowie der äußere Jordaninhalt \(\overline{i^n}(A):= \inf \{\mu^n(M); ~M \in\mathbb{J}^n, ~A \subset M\}\), wobei
\(\mu^n\) das \(n\)-dimensionale Lebesgue-Maß beschreibt.
Gilt nun \(\underline{i^n}(A)=\overline{i^n}(A)\), dann heißt \(A\) quadrierbar (oder auch Jordan-messbar) und man definiert den Jordaninhalt \(i^n(A):= \underline{i^n}(A) = \overline{i^n}(A)\).
Jordan-Nullmenge nennt man eine beschränkte Menge \(N \subset \mathbb{R}^n\), die quadrierbar ist und für die \(i^n(N)=0\) gilt.
Um von einer Menge \(N\) zu zeigen, dass der Jordan-Inhalt gleich \(0\) ist, reicht es aus zu zeigen, dass \(N\) beschränkt ist und \(\overline{i^n}(N)=0\) gilt (denn es gilt für eine beschränkte Menge \(N \subset \mathbb{R}^n\) automatisch immer \(0 \leq \underline{i^n}(N) \leq \overline{i^n}(N)\) ).
Als kleine Anspielung auf deinen anderen Thread, bei dem ich nicht so richtig wusste, wie ich darauf antworten soll, überlege dir doch mal folgendes:
Sei \(N\subset \mathbb{R}^n\) eine Jordan-Nullmenge. Dann ist \(\emptyset\) die einzige Menge in \(\mathbb{J}^n\), die in \(N\) enthalten ist.
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