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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Produkt von charakteristischen Polynomen bzgl. f-invarianter Unterräume
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Universität/Hochschule Produkt von charakteristischen Polynomen bzgl. f-invarianter Unterräume
Andre_Hen
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 20.05.2021
Mitteilungen: 4
  Themenstart: 2021-05-20

\[\(\)\] Moin Leute, mich beschäftigt folgende Aufgabe, bei der ich leider überhaupt nicht weiterkomme. Und zwar habe ich einen endlichdimensionalen Vektorraum V mit Unterräumen U, W,f\el\ End(v), wobei U und W f-invariant sind und V=U+W gilt, g=f|U (f eingeschränkt auf U meine ich damit) und h=f|w und i=f|U\cut\ w gegeben. Jetzt soll ich zeigen, dass für die charakteristischen Polynome \chi_f*\chi_i = \chi_g*\chi_h gilt, aber ich weiß einfach nicht wie :/. Ich würde mich über jede Hilfe freuen, falls euch dazu was einfällt. Liebe Grüße

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Nuramon
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Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3738
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-20

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, betrachte im Vektorraum $U\oplus W$ (externe direkte Summe) die Abbildung $g\oplus h: U\oplus W\to U\oplus W, (u,w)\mapsto (g(u),h(w))$. Was ist das charakteristische Polynom von $g\oplus h$? Sei außerdem $I:= U\cap W$. Betrachte die Abbildung $i\oplus f: I\oplus V \to I\oplus V, (u,v)\mapsto (i(u),f(v))$. Was ist das charakteristische Polynom dieser Abbildung? Schließlich ist $U\oplus W$ als Vektorraum isomorph zu $I\oplus V$: Kannst du einen geeigneten Isomorphismus angeben und mit diesem eine Beziehung zwischen den charakteristischen Polynomen von $g\oplus h$ und $i\oplus f$ herstellen? \(\endgroup\)

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