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| Autor |
  Projektionsproblem |
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Viereinhalbeck
Neu 
Dabei seit: 24.05.2021
Mitteilungen: 1
 |  Themenstart: 2021-05-24
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Hallo Community,
ich hab mir so ein Problem ausgedacht, dass ich irgendwie einfach nicht lösen kann.
Es gibt 3 beliebige Punkte in einem 3dimensionalen Vektorraum. Diese 3 Punkte spannen ein Dreieck auf.
Gesucht ist jetzt eine Projektionebene E, die durch 2 Vektoren aufgespannt wird, worauf die Projektion des Dreiecks gleichseitig ist.
Ich hab es durch Gleichungen versucht, die die Projektion beschreiben und in Maple eingegeben, aber diese sind wohl zu kompliziert und scheitern an der Rechenleistung des Computers.
Hat jemand einen anderen Ansatz oder eine Idee?
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 Profil
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StefanVogel
Senior 
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 4288
Wohnort: Raun
|  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-29
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Hallo Viereinhalbeck,
herzlich willkommen auf dem Matheplanet!
Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten erhalte ich. Vielleicht lassen sich deine Gleichungen noch vereinfachen.
Viele Grüße,
Stefan
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StrgAltEntf
Senior 
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8386
Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.2, eingetragen 2021-05-29
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Hallo Viereinhalbeck,
deine Frage sehe ich erst jetzt. (Du darfst gerne dran "erinnern", wenn auf eine Frage längere Zeit niemand antwortet.)
Mein Ansatz wäre folgendermaßen.
Die gesuchte Ebene E habe den Normalenvektor \(\vec n\). Dieser hat drei Koordinaten, also haben wir drei Unbekannte. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass
1) \(|\vec n|=1\)
Außerdem können wir annehmen, dass E durch den Ursprung geht, also die Gleichung \(\vec n\cdot\vec x=0\) hat.
Für einen Punkt \(P\) sei \(P'\) die Projektion auf die Ebene E. Dann gibt es ein \(\lambda\) mit \(P'=P+\lambda\vec n\). Da \(P'\) in der Ebene liegt, folgt \(\vec n\cdot(P+\lambda\vec n)=0\) und daher \(\lambda=-\frac{\vec n\cdot P}{\vec n\cdot\vec n} =-\vec n\cdot P\) bzw. \(P'=P-(\vec n\cdot P)\vec n\).
Wenn nun \(A,B,C\) die Dreiecksecken sind, dann soll gelten
2) \(|A'-B'|=|A'-C'|\)
3) \(|A'-C'|=|B'-C'|\)
Wir haben also drei Gleichungen mit drei Unbekannten.
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Viereinhalbeck hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Viereinhalbeck hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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