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Lineare Algebra » Bilinearformen&Skalarprodukte » Sesquilinearform nicht ausgeartet
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Universität/Hochschule J Sesquilinearform nicht ausgeartet
Mathler
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  Themenstart: 2021-05-24

Hallo lieber Matheplanet, leider komme ich bei einem Unterpunkt einer Aufgabe nicht weiter. Ich soll folgendes zeigen: Eine Sesquilinearform \sigma heißt nicht ausgeartet, wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt: 1) \forall\ x\el\ V\\{0} \exists\ b \el\ V mit \sigma(x,b)!=0 2) \forall\ y\el\ V\\{0} \exists\ a \el\ V mit \sigma(a,y)!=0 Sei d_\sigma :V ->V^\* : x->\sigma(x, * ) eine semilineare Abbildung Nun soll gezeigt werden: a) 1)<=>d_\sigma ist injektiv b) 2)<=> \cut\ {x\el\ V} ker d_\sigma (x)={0} c) Wenn dim V < \inf ist jede der beiden Eigenschaften für sich zur Bijektivität von d_\sigma äquivalent. Ich habe nun schon a) , b) sowie ( 1) und und dim V<\inf )<=> d_\sigma bijektiv gezeigt. Mir fehlt also nur noch ( 2) \and\ dim V < \inf ) <=> d_\sigma ist bijektiv. Hätte hier vielleicht jemand eine Idee wie ich das zeigen könnte? LG Mathias


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semasch
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-28

Moin Mathler, ich weiß nicht, ob deine Frage für dich noch aktuell ist, da sie doch schon ein paar Tage auf dem Buckel hat, aber ich antworte trotzdem mal. Für $\dim(V) < \infty$ gilt bekanntlich $\dim(V) = \dim(V^*) = \dim(V^{**})$ sowie die kanonische Isomorphie von $V$ und $V^{**}$ vermöge der Einbettungsabbildung \[\iota: V \to V^{**}, x \mapsto (\iota(x): x^* \mapsto x^*(x)),\] die jedem $x \in V$ das zugehörige Punktauswertungsfunktional zuordnet. Man kann also $V$ und $V^{**}$ vermöge $\iota$ miteinander identifizieren. Nimmt man selbige Identifikation vor, so gilt für $x \in V$ die Beziehung \[\ker d_{\sigma}(x) = \{y \in V: d_{\sigma}(x)(y) = 0\} = \{y \in V: \iota(y)(d_{\sigma}(x)) = 0\} = d_{\sigma}(x)^°,\] und damit weiter \[\bigcap_{x \in V} \ker d_{\sigma}(x) = \bigcap_{x \in V} d_{\sigma}(x)^° = d_{\sigma}(V)^°,\] wobei für eine Teilmenge $A \subseteq V^*$ der Ausdruck $A^° \subseteq V^{**}$ wie üblich den Annullatorraum von $A$ bezeichnet. Ist $A$ sogar ein Unterraum von $V^*$, so gilt wegen $\dim(V^*) < \infty$ die Beziehung \[\dim(A^°) = \dim(V^*) - \dim(A).\] Wenn du diese Resultate nun auf den Unterraum $A := d_{\sigma}(V)$ anwendest und die bereits gezeigte Äquivalenz aus Aufgabenteil b) ausnutzt, siehst du dann vielleicht einen Weg, die dir noch fehlende Äquivalenz zu beweisen? LG, semasch


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Mathler
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-30

Hallo Semasch, erstmal danke für deine Antwort. Hab es dann doch noch so ähnlich wie du hinbekommen. Lg Mathler


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Mathler hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Mathler hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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