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Universität/Hochschule Lösung einer Differentialgleichung
servus1991
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 17.06.2020
Mitteilungen: 15
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-24


Hallo ,
hat man Ahnung, wie wir die allgemine Lösung (alsodie letzte Gleichung ) bekommen haben ?

vielen Dank vorab.



$$ \begin{aligned}
\dot{x} &=v \\
\dot{v} &=-T^{-1} V x=: \quad-A x
\end{aligned}
$$ oder
$$ \frac{d}{d t}\left(\begin{array}{l}
x \\
v
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
0 & I d \\
-A & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x \\
v
\end{array}\right)
$$ $\mathrm{mit}$
$$ A:=T^{-1} V \in \mathbb{R}^{n \times n}
$$ Da nach Annahme die Matrix $A$ nicht von der Zeit $t$ abhängt, ist die allgemeine Lösung von
(21) gegeben durch
$$ \left(\begin{array}{l}
x_{t} \\
v_{t}
\end{array}\right)=\exp \left\{t\left(\begin{array}{cc}
0 & I d \\
-A & 0
\end{array}\right)\right\}\left(\begin{array}{l}
x_{0} \\
v_{0}
\end{array}\right)
$$ Nun gilt das folgende



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nzimme10
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 618
Wohnort: Köln
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-24


Hallo,

das liegt daran, dass die Spalten der Matrix $\exp(tB)$ eine Basis des Lösungsraumes der linearen homogenen Differentialgleichung $Z'=BZ$ bilden. Man sagt auch "Fundamentalsystem" dazu. Sagen dir diese Begriffe etwas?

LG Nico



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