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Universität/Hochschule Universelle Eigenschaft von Moduln
levin_chich
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  Themenstart: 2021-05-24

Hallo, ich habe eine Frage zur universellen Eigenschaft von Moduln. Angenommen, ich habe irgendein Modul M. Wie kann ich jetzt herausfinden, dass dieses Modul eine universelle Eigenschaft erfüllt? Und wie finde ich dann den Homomorphismus da drauf? In der Vorlesung haben wir Quotentientenmodule, Direkte Summen und Produkte von Moduln betrachtet. Allerdings wurde nicht systematisch erklärt, wie man nun darauf kommt. Die Abbildungen fielen irgendwie vom Himmel. Wäre super, wenn mir das jemand erklären könnte. Und noch eine Frage: Kann man irgendwie klassifizieren oder charakterisieren genau wann ein Modul eine UAE erfüllt? Gibt es hierzu eine Theorie? Das geht wahrscheinlich über meine aktuelle Vorlesung hinaus, aber irgendwie finde ich das aktuell etwas frustrierend. Danke und schönen Abend, Levin.


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-24

\quoteonGibt es hierzu eine Theorie? \quoteoff Ja, es gibt eine Theorie dahinter, die Kategorientheorie. Speziell über universelle Eigenschaften wurden folgende Artikel hier dazu geschrieben: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1188 https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1421 https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1430 Es lohnt sich, in die Kategorientheorie einmal reinzuschauen, weil sie letztlich in fast allen mathematischen Disziplinen mittlerweile sich als sehr nützlich erwiesen hat (vor allem aber in der Algebra, der Logik, der algebraischen Topologie und der algebraischen Geometrie, kürzlich auch in der Stochastik). Du kannst auch einmal in dieses Buch reinschauen, welches sich letztlich auch aus den obigen Artikeln ergeben hat. Ansonsten kann ich auch den Klassiker "Categories for the Working Mathematician" von Mac Lane empfehlen. \quoteonAngenommen, ich habe irgendein Modul M. Wie kann ich jetzt herausfinden, dass dieses Modul eine universelle Eigenschaft erfüllt? \quoteoff Dafür gibt es keine allgemeine Antwort. Mit etwas Erfahrung sieht man aber, dass sich $M$ mit bekannten Konstruktionen aus anderen Moduln zusammensetzt, die wiederum bekannte universelle Eigenschaften erfüllen. Hast du vielleicht ein konkretes Beispiel, das du verstehen möchtest? \quoteonUnd wie finde ich dann den Homomorphismus da drauf? \quoteoff Das ist ja fast dasselbe wie die vorige Frage. Der einzige Unterschied ist, dass universelle Eigenschaften sowohl Homomorphismen auf $M$ als auch nach $M$ betreffen können. \quoteon In der Vorlesung haben wir Quotentientenmodule, Direkte Summen und Produkte von Moduln betrachtet. Allerdings wurde nicht systematisch erklärt, wie man nun darauf kommt. Die Abbildungen fielen irgendwie vom Himmel. \quoteoff Das ist eigentlich nicht verwunderlich, dass du diesen Eindruck hast. Man muss erst einmal einige Beispiele sehen, und erst etwas später kann man sich damit auseinandersetzen, welche allgemeinen Prinzipien dahinterstecken. Quotientenmoduln und direkte Summen sind Spezialfälle von Kolimites, direkte Produkte sind Spezialfälle von Limites. Limites von algebraischen Strukturen werden immer auf Basis der zugrunde liegenden Mengen konstruiert, eine noch allgemeinere Aussage kann man über die Algebren einer Monade treffen, aber das führt jetzt vermutlich zu weit. Bei Kolimites sieht das anders aus, ihre Konstruktion ist bei algebraischen Strukturen oftmals viel schwieriger. Bei Moduln ist die Angelegenheit aber noch sehr einfach. Es hilft, vorab die jeweiligen Konstruktionen für (abelsche) Gruppen verstanden zu haben. Die Kategorientheorie liefert allerdings eine Konstruktion von Kolimites, die für beliebige algebraische Strukturen funktioniert (siehe dazu das genannte Buch etwa). \quoteonUnd noch eine Frage: Kann man irgendwie klassifizieren oder charakterisieren genau wann ein Modul eine UAE erfüllt? \quoteoff Jeder Modul erfüllt eine universelle Eigenschaft (jedes Objekt einer Kategorie tut es), aber eben eine sehr langweilige im allgemeinen Fall. Das ergibt sich unmittelbar aus der Definition einer universellen Eigenschaft (siehe die verlinkten Artikel). Das ist also wahrscheinlich nicht die "richtige" Fragestellung. Das sind jetzt erst einmal relativ allgemein gehaltene Antworten. Wenn du nach dem Lesen der Artikel noch konkretere Fragen hast, immer her damit.


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levin_chich
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-25

Also nochmal, um die Begriffe genauer zu klären. Ein Objekt \((M, \varphi)\) bestehend aus einem Modul und einem Modulhomomorphimus \(\varphi\) erfüllt eine universelle Eigenschaft genau dann wenn es sich in einer bestimmten Weise zu anderen Modulen in Beziehung setzen lässt. Und diese Beziehung ist der Umstand, dass ein bestimmtes Diagramm kommutiert. Hilfreich ist das erfüllen einer universellen Eigenschaft deshalb, weil ein weiteres Objekt \((\overline{M},\overline{\varphi})\), das die gleiche Eigenschaft erfüllt, also die Kommutativität des Diagramms stiftet, isomorph zu M sein muss. Ist das richtig? \quoteon Dafür gibt es keine allgemeine Antwort. Mit etwas Erfahrung sieht man aber, dass sich M mit bekannten Konstruktionen aus anderen Moduln zusammensetzt, die wiederum bekannte universelle Eigenschaften erfüllen. Hast du vielleicht ein konkretes Beispiel, das du verstehen möchtest? \quoteoff Wie sieht es zum Beispiel mit dem Modul \(X=M\otimes N\) mit zwei Moduln M, N aus? Oder den Modulen \(Y=X\oplus M^{n}\)? Wir haben in der Vorlesung die UAE der direkten Summe bewiesen. Das Resultat als solches habe ich auch nachvollziehen können. Als es dann aber um das Produkt ging, sagte man uns, man müsse die Pfeile umdrehen. Irgendwie fehlt mir da die Systematik. Wahrscheinlich steht die Antwort in den von dir verlinkten Quelle (Danke dafür), aber nochmal kurz: gibt es einen konstruktiven Weg den Homomorphismus \(\varphi\) zu finden? Insbesondere hängt damit ja auch die Frage zusammen, woher ich weiß, in welche Richtungen meine Pfeile zeigen sollen. Vielen Dank für deine hilfreichen Antworten. Besser als jede Vorlesung. Gruß Levin. PS: Ich werde jetzt zunächst mal die Artikel und das Buch lesen. Und dann mich wieder melden.


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Triceratops
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-26

Die von dir skizzierte Definition mit dem $\varphi$ ist leider unpräzise (von wo nach wo geht $\varphi$, und was für Beziehungen sind gemeint?) und entspricht auch nicht der üblichen Definition. Eine universelle Eigenschaft von einem Objekt $X \in \mathcal{C}$ ist einfach ein Funktor $F : \mathcal{C} \to \mathbf{Set}$ mit einem Isomorphismus $\alpha : \mathrm{Hom}(X,-) \to F$. Äquivalent (wegen Yoneda): man hat ein Element $u \in F(X)$, sodass es für jedes Objekt $Y$ und jedes Element $v \in F(Y)$ genau einen Morphismus $f : X \to Y$ gibt mit $v = F(f)(u)$. Man nennt $u$ ein universelles Element. Weil man immer $F := \mathrm{Hom}(X,-)$ und $\alpha = \mathrm{id}$ nehmen kann, hat jedes Objekt eine universelle Eigenschaft. Stelle dir vor, dass $F(Y)$ die Menge der Daten ist, die man einem Objekt $Y$ im Rahmen einer universellen Eigenschaft zuordnet, und $(X,u)$ ist dann das universelle Beispiel für diese Daten.


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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-05-26

\quoteon(2021-05-25 14:51 - levin_chich in Beitrag No. 2) Hilfreich ist das erfüllen einer universellen Eigenschaft deshalb, weil ein weiteres Objekt \((\overline{M},\overline{\varphi})\), das die gleiche Eigenschaft erfüllt, also die Kommutativität des Diagramms stiftet, isomorph zu M sein muss. Ist das richtig? \quoteoff Genauer: Wenn (mit der obigen Notation) $u' \in F(X')$ ein weiteres universelles Element für $F$ ist, dann gibt es genau einen isomorphismus $f : X \to X'$ mit $F(f)(u)=u'$. Das würde ich aber nicht als "hilfreich" bezeichnen, weil es eher ein Feature ist, nicht die gewünschte Anwendung. \quoteonWie sieht es zum Beispiel mit dem Modul \(X=M\otimes N\) mit zwei Moduln M, N aus? Oder den Modulen \(Y=X\oplus M^{n}\)? \quoteoff Was möchtest du dazu jetzt genau wissen? Bitte formuliere die Frage so präzise wie möglich (und auch, was du dir dazu schon überlegt hast). Was das Tensorprodukt sein soll, kannst du zum Beispiel hier nachlesen: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1515 \quoteonWir haben in der Vorlesung die UAE der direkten Summe bewiesen. Das Resultat als solches habe ich auch nachvollziehen können. Als es dann aber um das Produkt ging, sagte man uns, man müsse die Pfeile umdrehen. Irgendwie fehlt mir da die Systematik. \quoteoff Das ist etwas irreführend, weil man das Konzept einer Kategorie braucht, insbesondere die duale Kategorie einer Kategorie, um das wirklich zu formalisieren, und es ja keineswegs so ist, dass man die duale Kategorie der Kategorie der $R$-Moduln mit einer Kategorie von $R'$-Moduln mit einem Ring $R'$ identifizieren kann. Daraus folgt, dass man die Konstruktion von Produkten von $R$-Moduln nicht auf die Konstruktion von Koprodukten zurückführen kann, oder umgekehrt. \quoteongibt es einen konstruktiven Weg den Homomorphismus \(\varphi\) zu finden? \quoteoff Wie gesagt erfüllt jedes Objekt eine universelle Eigenschaft mit der richtigen Definition oben (nicht mit dem $\varphi$). \quoteonInsbesondere hängt damit ja auch die Frage zusammen, woher ich weiß, in welche Richtungen meine Pfeile zeigen sollen. \quoteoff Das erfolgt im Zusammenhang mit der Mustererkennung, aus welchen Konstruktionen sich ein Objekt zusammensetzt. Bei Kolimites (und auch bei Tensorprodukten, allgemeiner bei Koenden) geht es immer darum, die Morphismen auf einem Objekt zu verstehen. Bei Limites (und allgemeiner bei Enden) ist es anders herum. Es kann allerdings auch zu Mischungen kommen, was dann die universelle Eigenschaft quasi zerstört. Betrachten wir zum Beispiel für eine doppelt-indiziete Familie abelscher Gruppen $(A_{i,j})_{i \in I, j \in J}$ (mit zwei unendlichen Mengen $I,J$) die beiden Objekte $X := \bigoplus_{i \in I} \prod_{j \in J} A_{i,j}$ $Y := \prod_{j \in J} \bigoplus_{i \in I} A_{i,j}$ Man kann mit den universellen Eigenschaften von Produkt und Koprodukt (=direkte Summe hier) leicht einen injektiven Homomorphismus $X \to Y$ konstruieren, der aber i. A. kein Isomorphismus ist, und außerdem ist unklar, wie $\hom(X,-)$ in Abhängigkeit von den $\hom(A_{i,j},-)$ und entsprechend $\hom(-,X)$ in Abhängigkeit von den $\hom(-,A_{i,j})$ aussieht.


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