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Lineare Algebra » Bilinearformen&Skalarprodukte » Kürzen von Vektoren
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Universität/Hochschule J Kürzen von Vektoren
Jocobes
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-26


Hallo hallo,

Ich steh gerade völlig auf der Leitung, vielleicht kann mir da jemand weiterhelfen. Angenommen ich habe einen Spaltenvektor a und einen Zeilenvektor c und ich stelle die Gleichung \(\vec{a}\vec{b}=\vec{a}\vec{b}\) auf. Dann müsste ich da doch jetzt ganz banal a oder b herauskürzen können, weil wenn die Matrizen gleich sind die da raus kommen und einer der beiden Vektoren gleich ist, muss ja auch der zweite Vektor übereinstimmen. Nur wie tut man das. Darf man das überhaupt? Bei Matrizen kenn ich das mit inverser multiplizieren und so aber ich wüsste nicht wie ich da bei Vektoren tu.
Vielleicht kann mir ja irgendjemand auf die Sprünge helfen :)



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-26


Hallo,

Was genau ist $b$? Und wie ist das Produkt zu interpretieren? Matrixprodukt, Skalarprodukt?

Abgesehen davon kannst du aber natürlich bei der Gleichung $ab=ab$ das $a$ oder das $b$ "kürzen". Denn $a=a$ und $b=b$ stimmt immer.

LG Nico



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-05-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

als Ergänzung zum bisher Gesagten:

2021-05-26 14:32 - Jocobes im Themenstart schreibt:
...und einer der beiden Vektoren gleich ist, muss ja auch der zweite Vektor übereinstimmen...
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Wieso sollte das der Fall sein? Bspw. gilt im \(\IR^3\) \(\vec{n}\cdot\vec{x}=\on{const.}\) für jeden Punkt der Ebene, die durch diese Gleichung beschrieben wird...


Gruß, Diophant



[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Bilinearformen&Skalarprodukte' von Diophant]
\(\endgroup\)


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Jocobes
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-26



Wieso sollte das der Fall sein? Bspw. gilt im \(\IR^3\) \(\vec{n}\cdot\vec{x}={const.}\) für jeden Punkt der Ebene, die durch diese Gleichung beschrieben wird...

Das stimmt natürlich, habe ich so nicht bedacht.


Abgesehen davon kannst du aber natürlich bei der Gleichung ab=ab das a oder das b "kürzen". Denn a=a und b=b stimmt immer.

Ich hätt das jetzt mal als Matrixprodukt gedacht gehabt. UNd danke für die Antwort. Aber was für eine mathematische Operation steht dann dahinter. Im eindimensionalen Fall dividiere ich einfach durch meine Skalare. Bei Matrizen multipliziere ich mit der inversen aber wie werd ich meine Vektoren los?



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-05-26


Hallo,

wenn es keine quadratischen Matrizen sind, dann gibt es auch keine echten multiplikativen Inversen Elemente (Selbst bei quadratischen Matrizen ist das auch nicht immer der Fall). In diesem Sinne kann man dann also auch nicht dividieren.

Meine Aussage war eine rein Aussagenlogische Bemerkung. (Daher auch das "kürzen" in Anführungszeichen). $ab=ab$ ist eine Tautologie und $a=a$ und $b=b$ sind es auch. Daher kann man aus $ab=ab$ natürlich $a=a$ und $b=b$ folgern.

LG Nico



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-05-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

das sind doch alles recht unterschiedliche Konstrukte.

\((\IR,+,\cdot)\) ist ein Körper, und genau diese Eigenschaft garantiert dir (bis auf die 0) die Existenz eines multiplikativ-Inversen. Was die Voraussetzung für das ist, was du hier mit 'Kürzen' bezeichnest, was aber in Wirklichkeit eben die Wirkung dieses inversen Elements ist. In \(\IR\) würde man 'Division' dazu sagen.

Bei Matrizen kann man das schon nicht mehr generalisieren, da muss ja die Matrix, die 'gekürzt' werden soll, invertierbar (und damit nebenbei insbesondere quadratisch sein). Das ist also im Prinzip ein Spezialfall, wenn es möglich ist.

Ein Skalarprodukt, hier das Standardskalarprodukt, ist eine Bilinearform. Also eine Abbildung aus einem Vektorraum in den zugrundeliegenden Körper. Wie soll da eine sinnvolle Inversen-Bildung überhaupt aussehen?

Die Frage ist ein Musterbeispiel dafür, wie wichtig es ist, sich zumindest soweit mit elementarer Algebra zu beschäftigen, dass einem die gängigen Strukturen mit ihren Axiomen/Gesetzen geläufig sind. Dann kommt man ehrlich gesagt überhaupt nicht auf eine solche Frage... 🙂


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
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Jocobes
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-26


Hm.. immer diese Körper und diese Abbildungen haha. Danke auf jeden Fall für die Erläuterungen, ich werde mir das nochmal zu Gemüte führen und versuchen eon bisschen besser zu verstehen.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-05-26


2021-05-26 15:55 - Jocobes in Beitrag No. 6 schreibt:
...immer diese Körper und diese Abbildungen haha...

MEGA-LOL. 😂


Gruß, Diophant



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-05-26


2021-05-26 16:00 - Diophant in Beitrag No. 7 schreibt:
2021-05-26 15:55 - Jocobes in Beitrag No. 6 schreibt:
...immer diese Körper und diese Abbildungen haha...
MEGA-LOL. 😂
😁



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