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Lineare Algebra » Bilinearformen&Skalarprodukte » Skalarprodukte gleiche Abbildungen
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Universität/Hochschule J Skalarprodukte gleiche Abbildungen
Walross
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-27


Guten Abend,

ich bitte um einen Tipp für die folgende Aufgabe:

Es sei $V$ ein $\mathbb{C}$-Vektorraum.
Es seien $\beta,\gamma$ skalare Produkte (positiv definite hermitesche Sesquilinearformen) von $V$.

Es gelte $\forall v\in V:~\beta(v,v)=\gamma(v,v)$

Zu zeigen:
$\forall x,y\in V:~\beta(x,y)=\gamma(x,y)$



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-27


Hallo,

sagt dir Polarisation etwas? Falls nicht, dann nutze die Eigenschaften eines komplexen Skalarprodukts und vereinfache den Ausdruck
$$ \beta(x+y,x+y)=\dots
$$ Im Falle einer symmetrischen Bilinearform $b$ hätte man nämlich
$$ b(x+y,x+y)=b(x,x+y)+b(y,x+y)=b(x,x)+2b(x,y)+b(y,y),
$$ also
$$ b(x,y)=\frac 12(b(x+y,x+y)-b(x,x)-b(y,y)).
$$ $b$ ist also bereits vollständig festgelegt, wenn man alle $b(x,x)$ (also die zugehörige quadratische Form) kennt. Im komplexen Fall gibt es eine ähnliche Formel.

LG Nico



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Walross
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-27


Hallo Nico,

vielen Dank für den Hinweis.
Nein, Polarisation haben wir noch nicht behandelt.

Mit deinem Ansatz erhalte ich für $x,y\in V$:

$\beta(x+y,x+y)=\gamma(x+y,x+y)$

$\Rightarrow \beta(x,x)+\beta(x,y)+\beta(y,x)+\beta(y,y)=\gamma(x,x)+\gamma(x,y)+\gamma(y,x)+\gamma(y,y)$

Mit $\beta(x,x)=\gamma(x,x)$ und $\beta(y,y)=\gamma(y,y)$ erhalte ich:

$\beta(x,y)+\beta(y,x)=\gamma(x,y)+\gamma(y,x)$

$\Leftrightarrow \beta(x,y)+\overline{\beta(x,y)}=\gamma(x,y)+\overline{\gamma(x,y)}$

$\Leftrightarrow \Re(\beta(x,y))=\Re(\gamma(x,y))$

Wie kann man jetzt zeigen, dass auch $\Im(\beta(x,y))=\Im(\gamma(x,y))$ gilt?



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-27


Hallo,

im komplexen Fall genügt es leider nicht (wie im Reellen) nur $\beta(x+y,x+y)$ zu betrachten um die Polarisationsformel zu erhalten. Versuche es mal zusätzlich mit $\beta(x+iy,x+iy)$.

Falls du die Konvention benutzt, dass $\beta$ im ersten Argument semilinear ist, dann solltest du
$$ \beta(x,y)=\frac 1 4 \left( \beta(x+y,x+y) - \beta(x-y,x-y) \right) - \frac i 4\left( \beta(x+iy,x+iy) - \beta(x-iy,x-iy) \right)
$$ erhalten.

LG Nico



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Walross
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-27


Herzlichen Dank! Damit hat es geklappt.



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