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Mathematik » Numerik & Optimierung » Zentraler Differenzenquotient 1. Ordnung
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Universität/Hochschule Zentraler Differenzenquotient 1. Ordnung
Max_Br
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  Themenstart: 2021-05-29

Hallo, Ich muss für die Approximation: f´(x)~= (f(x+h) - f(x-h))/(2h) zeigen, dass für die Wahl h = O(\epsilon^(1/3)) optimal ist und der Fehler in O(\epsilon^(2/3)) liegt. \epsilon ist dabei die Maschinengenauigkeit eines Maschinenzahlbereiches und f in \IR->\IR differenzierbar. Zuvor wurde für den Vorwärtsdifferenzenqoutienten bewiesen, dass es für die Wahl von h\el\ O(sqrt(\epsilon)) optimal ist. Dort sah der Beweis so aus: abs(f^~(x) - f(x))<= L_f \epsilon abs(f^~(x+h) - f(x+h)<= L_f \epsilon Es gilt ja laut Taylor: f´(x)=(f(x+h)-f(x))/h +O(h) => abs(f´(x) - f(x+h) - f(x)/h ) <= Ch Jetzt soll man eine Verbindung zwischen der Konstanten C und f erkennen. Daraus soll folgen: error(h) = Ch + (2L_f\epsilon/h) Der Fehler soll dann für h= sqrt(2L_f\epsilon / C) L_f /C \el\ O(1) , dann ist h \el\ O(sqrt(\epsilon)) Ich verstehe jetzt nicht ganz den Zusammenhang zwischen C und f also im Großen und Ganzen auch nicht wie ich auf meine Wahl für h komme. Wenn mir da jemand helfen kann wäre das super.

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ochen
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-29

Hallo, kannst du \[ f'(x)-\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}\in O_{h\to 0}(h^2) \] zeigen?

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Max_Br
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Mitteilungen: 88
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-30

Hallo Ochen, Ich weiß leider nicht wie man den Beweis umsetzt. Also wenn man mir erklären könnte wie man dabei vorgeht...

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