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Lineare Algebra » Bilinearformen&Skalarprodukte » symmetrische Bilinearform auf Unterraum ausgeartet
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Universität/Hochschule J symmetrische Bilinearform auf Unterraum ausgeartet
Talvin
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  Themenstart: 2021-06-02

Hallo lieber Matheplanet, ich habe Probleme bei der folgenden Aufgabe: \ V ist ein endlichdim. \IK-VR. Im Falle dim_\IK V >= 2 konstruiere man eine nicht-ausgeartete symmetrische Bilinearform bzw. Hermitesche Form \Phi auf V sowie einen nicht-trivialen linearen Unterraum U \subset V, sodass \Phi_(|UxU) ausgeartet ist. Mein Ansatz wäre es, über eine passende darstellende Matrix der Form zu argumentieren, denn gezeigt wurde bereits, dass eine Sesquilinearform genau dann ausgeartet ist, wenn ihre darstellende Matrix bzgl. irgendeiner Basis X Determinante 0 hat. Eine Matrix mit Determinante -1 ist z.B. $\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)$. Diese Matrix hat eingeschränkt auf das obere linke Kästchen, also gewissermaßen auf einen eindimensionalen Unterrraum, Determinante 0. Darauf kann man vielleicht aufbauen. Sei V ein n-dim. $\IK$-Vektorraum mit Basis $(x_i)_{i=1}^n,\ n\geq 2$. Wenn wir jetzt $\Phi(a,b)$ durch die darstellende Matrix $A_{\Phi,X} = \left( \begin{array}{ccccc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ & & 1 \\ & & & \ddots \\ & & & & 1 \end{array} \right)$ bezüglich X defnieren, ist die Determinante von $A_{\Phi,X}$ $= -1$, also $\Phi$ auf V nicht ausgeartet. Wenn wir nun $U := \IK x_1$ als linearen eindimensionalen Unterraum von V wählen, ist die darstellende Matrix von $\Phi_{|UxU}$ bezüglich der Basis $(x_1)$ von U doch gerade das linke obere Kästchen, also $(0)$. Das heißt $\Phi_{|UxU}$ ist ausgeartet. Ist das ein guter Ansatz? Gibt es vielleicht elegantere oder generell andere Ansätze? Lg Tim


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-02

Ja das ist ein guter Ansatz. Übrigens, der LaTeX Befehl für $U\times U$ ist U \times U, falls du das nicht gefunden hast :) LG Nico


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Talvin
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-02

Super, dankeschön👌


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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-02

Was du hier im Prinzip implizit durch die Matrix gemacht hast ist ja einfach vorzugeben, welche Werte $\Phi$ auf der Basis $(x_1,\dots,x_n)$ haben soll. Sogesehen könntest du dir die Matrix sparen und direkt einfach sagen welche Werte $\Phi(x_i,x_j)$ annehmen soll für $1\leq i,j\leq n$. Da man das aber an der Matrix sofort ablesen kann ist das im Endeffekt auch nicht weniger Arbeit. :D LG Nico


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Talvin
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Hi, da hast du Recht und es sähe in einem fertigen Beweis wahrscheinlich auch besser aus. Mir ist es nur schwer gefallen mir ein konkretes Beispiel einer Abbildung "direkt" zu überlegen und dann hab ich halt an der Matrix gebastelt, um mit der Determinante weiterzukommen. Danke nochmal👍 Lg Tim


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