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  Homogenes System erster Ordnung (Vielfachheit von Eigenwerten) |
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Reset
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 |  Themenstart: 2021-06-03
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Hi Zusammen,
ich taste mich gerade an an das Lösen von Differentialgleichungssystemen.
ich rechne gerade folgendes System
\
y'_1=3y_1+y_2+2y_3
y'_2=3y_1+3y_2+4y_3
y'_3=-2y_1-y_2-y_3
Ich habe nun die Eigenwerte berechnet. Ein einfacher bei 1 und ein doppelter bei 2
Nun hab ich noch die Eigenvektoren bestimmt.
\
(0 -2 1)^T und (-1 -1 1)^T
und jetzt hab ich ein Problem. Ich weiß was ich machen müsste, wenn ich 3 Eigenwerte mit 3 Eigenvektoren hätte. Wie mach ich jetzt allerdings weiter, wenn ich nur 2 Eigenvektoren habe? Hat mir jemand einen Tipp? Der Fall ist in dem Skript, welches ich zur Verfügung habe, nicht behandelt worden.
LG
Reset (Ich studiere nicht, sondern versuche mir die Welt der Mathematik selbst beizubringen)
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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-03
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
hast du denn für den doppelten Eigenwert alle Eigenvektoren erwischt oder einfach nur einen ausgerechnet (ich habe nicht nachgerechnet)?
Falls es wirklich auch für \(\lambda=2\) nur einen EV gibt, dann schlage einmal den Begriff Hauptvektor und den daraus resultierenden Ansatz nach.
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Differentialgleichungen' in Forum 'Systeme von DGL' von Diophant]\(\endgroup\)
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-03
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Vielen Dank für den Tipp, das schaue ich mir genauer an. Ich bekomme eine Matrix vom Rang 2, wenn ich den doppelten Eigenwert einsetze. Das resultierende Homogene LGS hat meiner Meinung nach dann nur eine nicht-triviale Lösung (Bzw schon unendlich viele, aber eben linear abhängige)
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Diophant
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-03
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Hi,
ich habe mittlerweile nachgerechnet: das passt so alles, zwei Eigenwerte, zu jedem nur ein Eigenvektor (und die stimmen auch). Es kommt also der Ansatz mit dem Hauptvektor ins Spiel.
Gruß, Diophant
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-03
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Ok, hab ich das richtig Verstanden, dass ich bei deinem Doppelten Eigenwert einfach folgende Gleichung lösen kann, um den Hauptvektor zu bekommen?
(1,1,2;3,1,4;-2,-1,-3)*v=(-1;-1;1)
Dann wäre v in dem Fall
\
(0;-1;0)
Wäre dann die Lösung meines Systems folgendes?
\
(y_1;y_2;y_3)=(0,-1,0;-2,-1,-1;1,1,0)*(e^t;e^2t;e^2t)
Edit: Dann brauch ich vor meinen "e" vermutlich noch drei verschiedene Konstanten und in der dritten Koordinate müsste ich das e noch mit t multiplizieren. Oder bin ich komplett auf dem Holzweg?
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Diophant
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-03
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
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\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
auch hier habe ich nicht nachgerechnet. Angenommen, der berechnete Hauptvektor stimmt so. Dann lautet die Lösung des homogenen Systems folgendermaßen:
\[\vec{y}=C_1\cdot \bpm 0\\-2\\1 \epm\cdot e^x+C_2\cdot \bpm -1\\-1\\1 \epm\cdot e^{2x}+C_3\cdot\left(\bpm 0\\-1\\ 0\epm +x\cdot\bpm -1\\-1\\1 \epm\right)\cdot e^{2x}\]
In der Wronski-Matrix muss also auch die unabhängige Variable auftreten.
(Das ist ein Stück weit vergleichbar zum Fall von Mehrfachlösungen des charakteristischen Polynoms bei linearen homogenen DGLen höherer Ordnung.)
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Reset
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-03
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Ah, super. Dann war ich gar nicht so weit entfernt (außer, dass es natürlich dennoch Falsch war :D )
Vielen Dank für deine Hilfe. Muss mich besser einlesen, um die Bedeutung des Hauptvektors besser zu verstehen
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Reset hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Reset hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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