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Mathematik » Numerik & Optimierung » Bernoulli-Polynome, Symmetrie
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Universität/Hochschule Bernoulli-Polynome, Symmetrie
FlyingCat
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  Themenstart: 2021-06-04

Guten Abend, Ich sitze momentan an folgender Aufgabe : Zeige : \(B_n(x) = (-1)^n\cdot B_n(1-x)\) für \(x\in[0,1], n\in \mathbb N\) Meine Idee war es mittels Induktion zu beweisen, komme jedoch nicht weiter: (1) \(n=0 : B_0(x) = 1, (-1)^0\cdot B_0(1-x) = 1 \) ,stimmt. (2) \(n \mapsto n+1 : B_{n+1} \stackrel{!}{=} (-1)^{n+1}B_{n+1}(1-x)\) (3) \(\displaystyle (-1)^{n+1}B_{n+1}(1-x) = (-1) \int (-1)^n\cdot (n+1) \cdot B_n(1-x) dx \) (4) (IV)\( \displaystyle = (-1) \int (n+1)\cdot B_n(x)dx = (-1) \cdot B_{n+1}(x)\)

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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-04

Versuch es mal über die erzeugende Funktion der Bernoulli Polynome: $$ \frac {t \mathrm e^{t x} } {\mathrm e^t - 1} = \sum_{k=0}^\infty \frac {{B_k} (x)} {k!} t^k $$ LG Nico

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FlyingCat
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-04

Die haben wir leider noch nicht als Definition gegeben. Gibt es sonst einen anderen weg?

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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-04

\quoteon(2021-06-04 19:17 - FlyingCat in Beitrag No. 2) Die haben wir leider noch nicht als Definition gegeben. Gibt es sonst einen anderen weg? \quoteoff Die ist sonst auch schnell hergeleitet. Finde ich jedenfalls schöner und eleganter als über Induktion. LG Nico

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nzimme10
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-04

Sonst für Induktion fällt mir noch folgendes ein: Betrachte $F_n(x):=B_n(x+1)-B_n(x)$ und zeige via Induktion, dass $F_n(x)=nx^{n-1}$ für $n\geq 1$. Zeige weiter, dass falls $P$ ein Polynom mit $P(x+1)-P(x)=nx^{n-1}$ ist, so ist $P(x)=B_n(x)+c$ für ein $c\in \mathbb R$. Daraus ergibt sich deine Aussage ebenfalls. LG Nico

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