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  u^2 subharmonisch |
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LamyOriginal
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 |  Themenstart: 2021-06-05
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Guten Abend,
ich soll zeigen, dass wenn $u \in C^2(\Omega)$ ($u\geq 0$ in $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ offen) subharmonisch ist im Distributionssinn, dann ist auch $u^2$ subharmonisch im Distributionssinn.
Definition subharmonisch: $\int_{\Omega}\nabla u \cdot \nabla \phi \leq 0$ $\forall \phi \in C^{\infty}_C(\Omega)$ mit $\phi\geq 0$
Idee: Ich weiß ja, dass $\int_{\Omega}\nabla u \cdot \nabla \phi \leq 0$ gilt. Mit partieller Integration (da $u \in C^2(\Omega)$ und $\phi$ kompakter Träger) erhalte ich also: $\int_{\Omega} u \cdot \Delta \phi \geq 0$. Nun muss ich zeigen, dass dann auch $\int_{\Omega} u^2 \cdot \Delta \phi \geq 0$. Aber ich weiß doch, dass $u, \phi \geq 0$, insbesondere $u^2 \geq 0$. Müsste die Behauptung nicht direkt aus der Positivität der Integrale folgen, oder habe ich zu leicht gedacht?
Danke für jede Hilfe!
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Kampfpudel
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| Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-05
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Hallo LamyOriginal,
da machst du es dir in der Tat zu einfach, denn \(\Delta \phi\) muss nicht unbedingt nicht-negativ sein, nur weil es \(\phi\) ist.
Vielleicht hilft es dir ja, \(\Delta (u^2)\) zu berechnen
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LamyOriginal
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-05
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Hey, danke für deine Hilfe!
\quoteon(2021-06-05 18:41 - Kampfpudel in Beitrag No. 1)
Vielleicht hilft es dir ja, \(\Delta (u^2)\) zu berechnen \quoteoff
Es gilt mit der Produktregel $\nabla(u^2) = u\cdot \nabla u + \nabla u \cdot u = 2(u\cdot\nabla u)$. Wie hilft mir das jetzt?
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Kampfpudel
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-05
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Berechne mal ruhig auch \(\Delta (u^2)\). Du hast ja die Gleichheiten \(\int_{\Omega} \Delta (u^2) \phi = -\int_{\Omega} \nabla (u^2) \nabla \phi = \int_{\Omega} u^2 \Delta\phi\), du kannst also auch \(\int_{\Omega} \Delta (u^2) \phi \geq 0\) für alle \(\phi \in C_c^{\infty}(\Omega)\) zeigen
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LamyOriginal
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-05
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\quoteon(2021-06-05 18:59 - Kampfpudel in Beitrag No. 3)
Berechne mal ruhig auch \(\Delta (u^2)\). \quoteoff
Es gilt ja: $\Delta u^2 = \nabla (\nabla u^2)$, also: $\Delta u^2 = \Delta u\cdot u = 2((\Delta u)^2 + u\nabla u)$, oder? Mit $\Delta u^2 = \sum_{j=1}^n\frac{\partial^2 }{\partial x^2_j}u^2$.
Ich weiß, dass $(\Delta u)^2 \geq 0$ und $u \geq 0$, aber ich weiß nicht, ob $\nabla u \geq 0$, sonst würde die Aussage ja wegen der Positivität bzw Monotonie der Integrale folgen...
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Wally
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 | Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-05
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo,
es sieht so aus, als ob du bei \( 2((\Delta u)^2 + u\nabla u)\) Skalare und Vektoren addierst.
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
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LamyOriginal
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-05
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\quoteon(2021-06-05 20:03 - Wally in Beitrag No. 5)
es sieht so aus, als ob du bei \( 2((\Delta u)^2 + u\nabla u)\) Skalare und Vektoren addierst. \quoteoff
Hallo Wally, stimmt. $(\Delta u)^2$ ist ein Skalar und $u \nabla u$ ein Vektor, oder? Ich habe zwei mal die Produktregel angewandt. Ich kann ja $\nabla u$ schreiben als $\sum^n_{j=1}\frac{\partial}{\partial x_j}u$. Stimmt das? Weiter weiß ich nicht...
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Kampfpudel
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| Beitrag No.7, eingetragen 2021-06-05
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\(\nabla u\) ist ein Vektor, dessen Komponenten aus den partiellen Ableitungen von \(u\) bestehen. Das ist nicht gleich die Summe der Komponenten.
Berechne erst einmal \(\frac{\partial^2}{\partial x_j^2} u^2\), dann sehen wir weiter
Edit: ja, \( (\Delta u)^2 \)ist ein Skalar und \(u\nabla u\) ein Vektor
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LamyOriginal
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-05
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Irgendwie spinnt die Website bei mir und lädt alles nur sehr langsam...
\quoteon(2021-06-05 20:14 - Kampfpudel in Beitrag No. 7)
Berechne erst einmal \(\frac{\partial^2}{\partial x_j^2} u^2\)
\quoteoff
Leider weiß ich nicht, wie man $\frac{\partial^2}{\partial x_j^2} u^2$ berechnet... es sind ja die zweiten Ableitungen von $u^2=u\cdot u$, also die Hessematrix? Im $\mathbb{R}^1$ hätte man ja zweimal die Produktregel angewandt. Aber ich weiß ehrlich gesagt nicht, wie ich das im $\mathbb{R}^n$ mache...
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Kampfpudel
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| Beitrag No.9, eingetragen 2021-06-05
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Ja, bei mir geht gerade auch alles extrem langsam.
Nun, du kannst ja auch rechnen wir im eindimensionalen, eben weil eine partielle Ableitung ja gerade eine eindimensionale Ableitung ist. Du kannst also ganz einfach mit der normalen Produktregel rechnen
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LamyOriginal
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-05
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\quoteon(2021-06-05 21:08 - Kampfpudel in Beitrag No. 9)
Nun, du kannst ja auch rechnen wir im eindimensionalen, eben weil eine partielle Ableitung ja gerade eine eindimensionale Ableitung ist. Du kannst also ganz einfach mit der normalen Produktregel rechnen
\quoteoff
Okay, benutze ich die übliche Notation ' wie in der Schule, erhalte ich:
$(u^2)'' = ((u\cdot u)')' = (u'u + uu')' = 2u''u + 2u'u'$.
Ich kann die erste Ableitung ja als Gradient $\nabla$ schreiben, da $\nabla u = (\frac{\partial u}{\partial x_1}, ..., \frac{\partial u}{\partial x_n})$, also die Ableitung nach allen Richtungen. Wäre die zweite Ableitung nicht $\nabla^2 = \Delta$?
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Kampfpudel
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| Beitrag No.11, eingetragen 2021-06-05
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\(\nabla^2\) ist lediglich eine andere Schreibweise für \(\Delta\).
Nun, du weißt also, dass \(\frac{\partial^2}{\partial x_j^2} u^2 = 2u \frac{\partial^2}{\partial x_j^2}u + 2 (\frac{\partial}{\partial x_j} u)^2\).
Was ergibt nun \(\Delta u^2\)?
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LamyOriginal
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-05
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Erleichternd, dass es jetzt wieder schneller geht auf dieser Seite.
\quoteon(2021-06-05 21:34 - Kampfpudel in Beitrag No. 11)
Was ergibt nun \(\Delta u^2\)?
\quoteoff
Das wäre ja dann die Summation, also $\sum^n_{j=1}\frac{\partial^2}{\partial x_j^2} u^2 =\sum^n_{j=1} (2u \frac{\partial^2}{\partial x_j^2}u + 2 (\frac{\partial}{\partial x_j} u)^2)$
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Kampfpudel
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| Beitrag No.13, eingetragen 2021-06-05
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Genau, wie könnte man diesen Summenausdruck noch ausdrücken, ohne Summenzeichen zu benutzen?
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LamyOriginal
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-05
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\quoteon(2021-06-05 21:44 - Kampfpudel in Beitrag No. 13)
wie könnte man diesen Summenausdruck noch ausdrücken, ohne Summenzeichen zu benutzen?
\quoteoff
da fällt mir nur ein: $\sum^n_{j=1}\frac{\partial^2}{\partial x_j^2} u^2 =2u\cdot(\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}u+\frac{\partial^2}{\partial x_2^2}u+...+\frac{\partial^2}{\partial x_n^2}u) + 2 (\frac{\partial}{\partial x_1} u+\frac{\partial}{\partial x_2} u+...+\frac{\partial}{\partial x_n} u)^2$
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Kampfpudel
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| Beitrag No.15, eingetragen 2021-06-05
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\quoteon(2021-06-05 21:49 - LamyOriginal in Beitrag No. 14)
\quoteon(2021-06-05 21:44 - Kampfpudel in Beitrag No. 13)
wie könnte man diesen Summenausdruck noch ausdrücken, ohne Summenzeichen zu benutzen?
\quoteoff
da fällt mir nur ein: $\sum^n_{j=1}\frac{\partial^2}{\partial x_j^2} u^2 =2u\cdot(\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}u+\frac{\partial^2}{\partial x_2^2}u+...+\frac{\partial^2}{\partial x_n^2}u) + 2 (\frac{\partial}{\partial x_1} u+\frac{\partial}{\partial x_2} u+...+\frac{\partial}{\partial x_n} u)^2$
\quoteoff
Bei dem hinteren Ausdruck meinst du sicher jeweils \((\frac{\partial}{\partial x_j} u)^2\), das hoch 2 gehört an die einzelnen Summanden.
Wie kannst du denn jeweils \((\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}u+\frac{\partial^2}{\partial x_2^2}u+...+\frac{\partial^2}{\partial x_n^2}u)\) und \((\frac{\partial}{\partial x_1} u)^2+(\frac{\partial}{\partial x_2} u)^2+...+(\frac{\partial}{\partial x_n} u)^2\) noch anders ausdrücken?
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LamyOriginal
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-05
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\quoteon(2021-06-05 22:05 - Kampfpudel in Beitrag No. 15)
Bei dem hinteren Ausdruck meinst du sicher jeweils \((\frac{\partial}{\partial x_j} u)^2\), das hoch 2 gehört an die einzelnen Summanden. \quoteoff
Ja, genau, war etwas unaufmerksam von mir
\quoteon
Wie kannst du denn jeweils \((\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}u+\frac{\partial^2}{\partial x_2^2}u+...+\frac{\partial^2}{\partial x_n^2}u)\) und \((\frac{\partial}{\partial x_1} u)^2+(\frac{\partial}{\partial x_2} u)^2+...+(\frac{\partial}{\partial x_n} u)^2\) noch anders ausdrücken? \quoteoff
$\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}u+\frac{\partial^2}{\partial x_2^2}u+...+\frac{\partial^2}{\partial x_n^2}u = \Delta u$ und $(\frac{\partial}{\partial x_1} u)^2+(\frac{\partial}{\partial x_2} u)^2+...+(\frac{\partial}{\partial x_n} u)^2 = ||\nabla u||^2$?
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Kampfpudel
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| Beitrag No.17, eingetragen 2021-06-05
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Genau. Fassen wir also zusammen: wie sieht nun \(\Delta u^2\) aus?
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LamyOriginal
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| Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-05
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Zusammenfassend ist $\Delta u^2 = 2(u\Delta u + ||\nabla u||^2)$
Also gilt insgesamt $\int_{\Omega} \Delta (u^2) \phi = \int_{\Omega} 2(u\Delta u + ||\nabla u||^2) \phi$, nun muss nur noch gezeigt werden, dass es $\geq 0$ ist. Wir wissen ja, dass $\phi, u \geq 0$ und $||\nabla u||^2 \geq 0$. Fehlt nur noch, dass $\Delta u \geq 0$ sein muss. Hilft uns hier irgendwie die Subharmonität von $u$?
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Kampfpudel
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| Beitrag No.19, eingetragen 2021-06-05
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Das wäre eine Möglichkeit. Kennst du die entsprechende Version der Fundamentallemmas der Variationsrechnung? Also dass für \(v \in L^1_{loc}(\Omega)\) aus \(\int_{\Omega} v \varphi \geq 0\) für alle \(\varphi \in C_c^{\infty}(\Omega)\) mit \(\varphi \geq 0\) folgt, dass \(v \geq 0\) f.ü. in \(\Omega\)? Wenn ja, könntest du dies hier anwenden
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LamyOriginal
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| Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-05
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\quoteon(2021-06-05 22:38 - Kampfpudel in Beitrag No. 19)
Das wäre eine Möglichkeit. Kennst du die entsprechende Version der Fundamentallemmas der Variationsrechnung? Also dass für \(v \in L^1_{loc}(\Omega)\) aus \(\int_{\Omega} v \varphi \geq 0\) für alle \(\varphi \in C_c^{\infty}(\Omega)\) mit \(\varphi \geq 0\) folgt, dass \(v \geq 0\) f.ü. in \(\Omega\)? Wenn ja, könntest du dies hier anwenden
\quoteoff
Wir hatten das nur mit $...=0$, nicht $\geq 0$. Und muss man dafür zeigen, dass $\Delta u^2 \in L^1_{loc}$?
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Kampfpudel
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| Beitrag No.21, eingetragen 2021-06-05
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\quoteon(2021-06-05 22:45 - LamyOriginal in Beitrag No. 20)
Und muss man dafür zeigen, dass $\Delta u^2 \in L^1_{loc}$?
\quoteoff
Ne, das ist klar, dass das gilt.
Hmm, ne andere Möglichkeit wäre es, den Ausdruck \(\int_{\Omega} u \Delta u \phi\) umzustellen zu \(\int_{\Omega} \Delta u (\phi u)\).
Die Funktion \(\phi u\) ist nun auch \(\geq 0\), aber i.A. nicht mehr \(C_c^{\infty}(\Omega)\), sondern "nur noch" \(C_c^{2}(\Omega)\). Man müsste hier irgendwie mit einem Approximationsargument arbeiten, um zu zeigen, dass \(\int \Delta u \varphi \geq 0\) auch für alle \(\varphi \in C_c^{2}(\Omega)\) gilt
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LamyOriginal
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| Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-05
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Muss uns nicht irgendwie die Eigenschaft helfen, dass $u$ auch subharmonisch ist? Das wurde doch im Beweis noch nicht verwendet. Dann wissen wir nämlich, dass $\int_{\Omega} \Delta u \phi \geq 0$ ist mit $\phi \geq 0$
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Kampfpudel
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| Beitrag No.23, eingetragen 2021-06-05
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Ja gut, das weißt du für alle \(\phi \in C_c^{\infty}(\Omega)\). Mit einem Approximationsargument müsste man nun zeigen, dass dies auch für \(\phi \in C_c^{2}(\Omega)\) gilt (da würdest du dann auch die Voraussetzung verwenden)
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LamyOriginal
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| Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-05
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Hmm okay, ich mache dann morgen weiter, wird schon spät. Vielen Dank für deine ausführliche und geduldige Hilfe!!
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sonnenschein96
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| Beitrag No.25, eingetragen 2021-06-06
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Hallo LamyOriginal,
\quoteon(2021-06-05 22:45 - LamyOriginal in Beitrag No. 20)
Wir hatten das nur mit $...=0$, nicht $\geq 0$.
\quoteoff
Wir haben uns doch neulich hier schon überlegt, dass für \(u\in C^2(\Omega)\) aus \(\int_\Omega\Delta u(x)\phi(x)\,dx\geq0\) für alle \(\phi\in C_c^2(\Omega)\) mit \(\phi\geq0\) folgt, dass \(\Delta u\geq0\). Du musst nur überall im Beweis \(2\) durch \(\infty\) ersetzen.
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LamyOriginal
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| Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-06
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\quoteon(2021-06-06 02:30 - sonnenschein96 in Beitrag No. 25)
Wir haben uns doch neulich hier schon überlegt, dass für \(u\in C^2(\Omega)\) aus \(\int_\Omega\Delta u(x)\phi(x)\,dx\geq0\) für alle \(\phi\in C_c^2(\Omega)\) mit \(\phi\geq0\) folgt, dass \(\Delta u\geq0\).
\quoteoff
Stimmt, danke für den Hinweis!
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