| |
| Autor |
  Stetigkeit einer mehrdimensionalen Funktion |
|
linuuus_g
Neu 
Dabei seit: 09.06.2021
Mitteilungen: 3
Wohnort: München
 |  Themenstart: 2021-06-09
|
Hallo,
wir haben letzens in meinem Tutorium an der Uni eine Aufgabe gerechnet und nachdem ich nun etwa zwei Wochen später nochmal die Aufgaben durchgegangen bin, scheitere ich an der wohl vermeindlich einfachsten Teilaufgabe.
Untersuchen Sie die Funktion:
f(x,y)=cases(xy*(x^2-y^2)/(x^2+y^2),(x,y)!=(0,0);0,(x,y)=(0,0))
auf Stetigkeit im Nullpunkt.
Ich hatte überlegt mit Hilfe einer Folge zu untersuchen ob mit \((x,y)\rightarrow (0,0)\), also beispielsweise \(\lim\limits_{n\to \infty}(\frac{1}{n},\frac{1}{n})=(0,0)\) auch \(f(x,y)\rightarrow 0\) folgt. So in die Richtung war meine Idee, aber ich kann gerade gar nicht einschätzen, ob ich überhaupt auf dem richtigen Weg bin.
Wenn mir jemand dabei auf die Sprünge helfen könnte, wäre das super.
Viele Grüße
Linus
|
 Profil
|
nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 1288
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-09
|
Hallo und willkommen :)
Mit dem Folgenkriterium die Stetigkeit zu zeigen ist eigentlich fast immer (Edit: sagen wir lieber öfters) sehr schwer bis de facto unmöglich. Die Stetigkeit zu widerlegen kann man damit jedoch machen.
Wenn du eine Nullfolge findest, so dass die Bildfolge nicht gegen $0$ konvergiert so hast du die Stetigkeit widerlegt.
Möchtest du die Stetigkeit in $0$ zeigen, dann musst du das aber für alle Nullfolgen nachweisen! Nicht nur für manche. (Und das gestaltet sich fast immer sehr schwierig.)
Bei dieser konkreten Funktion würde ich die Stetigkeit in $0$ mittels $\varepsilon$-$\delta$-Definition nachweisen.
LG Nico
|
Profil
|
Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 9121
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-09
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo und willkommen hier auf dem Matheplaneten!
Ich möchte zusätzlich einen gangbaren Weg per Folgenkriterium skizzieren. Man kann hier (es ist dazu aber eine Fallunterscheidung \(x^2>y^2\) bzw. \(x^2\le y^2\) nötig) den Betrag des Bruchs \(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\) gegen 1 abschätzen. Damit wäre eine Argumentation per Folgenkriterium dann offensichtlich.
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Stetigkeit' von Diophant]\(\endgroup\)
|
Profil
|
linuuus_g
Neu 
Dabei seit: 09.06.2021
Mitteilungen: 3
Wohnort: München
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-09
|
Hallo Nico, hallo Diopant
danke erstmal für die schnelle Antwort.
Ich habe erstmal mit dem Epsilon-Delta-Stetigkeit rumprobiert und hatte bisher nur so semi Erfolg.
Darum würde ich mich nun erstmal Diophants Weg widmen:
Wenn ich es richtig verstanden habe müsste es so aussehen:
0<=abs(xy*(x^2-y^2)/(x^2+y^2))=abs(xy)*abs((x^2-y^2)/(x^2+y^2))<=abs(xy)
Seien nun (x_n) und (y_n) Nullfolgen, dann folgt:
lim(n->\inf,(x_n, y_n))=(0,0) und lim(n->\inf,abs(x_n*y_n))=0
Damit folgt dann auch: lim(n->\inf,abs(x_n y_n*((x_n)^2-(y_n)^2)/((x_n)^2+(y_n)^2)))=0 und damit ist f(x,y) stetig im Nullpunkt, da dann aus lim(n->\inf,(x_n, y_n))=(0,0), lim(n->\inf,f((x_n, y_n)))=0 folgt.
Stimmt dieser Weg so?
Gruß Linus
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
|
Profil
|
nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 1288
Wohnort: Köln
| Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-09
|
Der Vollständigkeit halber hier mein vorgeschlagener Weg:
Sei $\varepsilon >0$ und $\delta:=\sqrt{\tfrac{\varepsilon}{4}}$. Für alle $(x,y)\in \mathbb R^2$ mit $\lVert (x,y)\rVert <\delta$, also insbesondere $|x|<\delta$ und $|y|<\delta$, gilt
\[
\begin{align*}
|f(x,y)-f(0,0)| &=\left|xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} \right|=\left|\frac{x^3y-xy^3}{x^2+y^2} \right|\leq
\frac{|x^3y|+|xy^3|}{x^2+y^2} \\
&\leq \frac{|x^3y|}{x^2}+\frac{|xy^3|}{y^2}=2|xy|\leq (|x|+|y|)^2\leq 4\delta^2 \leq \varepsilon.
\end{align*}
\]
LG Nico
|
Profil
|
Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 9121
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-09
|
Hallo,
\quoteon(2021-06-09 12:26 - linuuus_g in Beitrag No. 3)
Stimmt dieser Weg so?
\quoteoff
Das ist der Plan. 🙂
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
|
Profil
|
linuuus_g
Neu
Dabei seit: 09.06.2021
Mitteilungen: 3
Wohnort: München
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-09
|
Super, vielen Dank euch beiden 😃
Viele Grüße
Linus
|
Profil
|
linuuus_g hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Das Thema wurde von einem Senior oder Moderator abgehakt. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
