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 Äquivalenz mit Rang einer Matrix zeigen |
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lisa11
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 |  Themenstart: 2021-06-09
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Hallo,
ich sitze gerade an einer Aufgabe, bei der ich einfach nicht weiter komme.
Zeigen Sie, dass folgende Äquivalenz für alle \(A \in K^{m,n}\) und alle \(p \in\mathbb{N}\backslash {0}\) gilt :
\(Rang(A) \leq p \Longleftrightarrow \exists U \in K^{m,p}, V \in K^{p,n} : UV = A \)
Ich weiß momentan einfach nicht, wie ich das zeigen kann und wie ich da anfange :/
Ich freue mich über jede Hilfe
Viele Grüße
Lisa
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Triceratops
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-09
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Beweise die entsprechende Aussage über lineare Abbildungen. Das ist viel einfacher.
Übrigens gilt die Aussage (mit demselben Beweis) auch für $p=0$. Es ist keine Einschränkung auf $ p > 0$ nötig. Mehr dazu: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1906
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Nuramon
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| Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-09
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
kannst du die Aussage über Matrizen zu einer äquivalenten Aussage über lineare Abbildungen umformulieren? Das ist einfacher handzuhaben.
Benutze dann, dass sich eine lineare Abbildung $f:V\to W$ schreiben lässt als eine Verknüpfung $f=g\circ h$ von linearen Abbildungen $h:V\to \im f, g: \im f \to W$.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]\(\endgroup\)
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lisa11
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-09
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Hi,
erstmal danke für die schnellen Antworten, aber ich bin gerade etwas verwirrt, wie ihr das mit den linearen Abbildungen meint. Ich verstehe nicht so ganz, wie ich das umschreiben soll
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Nuramon
Senior
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| Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-09
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Durch Wahl von Basen kann man einer linearen Abbildung $f:V\to W$ eine darstellende Matrix $A\in K^{\dim W \times \dim V}$ zuordnen.
Die darstellende Matrix einer Verknüpfung $g\circ h$ von linearen Abbildungen $g,h$ entspricht dabei (wenn man immer die Basen einheitlich wählt) dem Produkt der darstellenden Matrizen von $g$ und $h$.
Umgekehrt kann man jeder Matrix $A\in K^{n\times m}$ die lineare Abbildung $K^m\to K^n, v\mapsto Av$ zuordnen. Bezüglich der Standardbasen ist die darstellende Matrix dieser linearen Abbildung dann gerade $A$.
Auf diese Weise lassen sich viele Aussagen über Matrizen in Aussagen über lineare Abbildungen übersetzen.\(\endgroup\)
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lisa11
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-09
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Ich verstehe jetzt aber nicht so ganz, wie ich das auf die Aufgabe übertrage. Sorry das ich mich da gerade so blöd anstelle, aber irgendwie blockiert mein Kopf bei der Aufgabe. Ich sitze da schon so lange davor und komme einfach nicht voran.
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Nuramon
Senior
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| Beitrag No.6, eingetragen 2021-06-09
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Ein Beispiel, wie so eine Übersetzung zwischen Matrizen und linearen Abbildungen aussieht:
Sei $A\in K^{n\times m}$. Dann gilt $\rg(A)=n$ genau dann, wenn es eine Matrix $B\in K^{m\times n}$ gibt mit $AB= I$, wobei $I\in K^{n\times n}$ die Einheitsmatrix ist.
Das ist äquivalent zu folgender Aussage über lineare Abbildungen:
Sei $f:V\to W$ eine lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen $K$-Vektorräumen $V,W$. Dann ist $\rg(f)=\dim W$ genau dann, wenn es eine lineare Abbildung $g:W\to V$ gibt mit $f\circ g = \id_W$.\(\endgroup\)
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nzimme10
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 | Beitrag No.7, eingetragen 2021-06-09
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Sei $f_A$ die zur Matrix $A$ zugehörige Abbildung. Erwähnenswert ist an dieser Stelle dann auch, dass $\operatorname{rg}(A)$ gerade die Dimension des Bildes von $f_A$ ist, also $\operatorname{rg}(A)=\dim(\operatorname{im}(f_A))$.
LG Nico
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lisa11
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-09
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Hm, also muss ich zeigen, dass es für
\(Rang(A)\leq p\) lineare Abbildungen \(u,v\) gibt, mit \(u\circ v=A\)? Dann natürlich in beide Richtungen.
Oder wie meinst du das sonst?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]
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lisa11
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-09
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Hallo Nico,
also \(f_A\) ist die zu \(A\) gehörige Funktion ist. Seien dann \(g_U\) die zu \(U\) gehörige Abbildung und \(h_V\), die zu \(V\). Dann soll folgen:
\(Rang(A)\leq p \Longleftrightarrow g_U\circ h_V=f_A\).
Bin ich zumindest halbwegs auf dem richtigen Weg?
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nzimme10
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| Beitrag No.10, eingetragen 2021-06-09
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\quoteon(2021-06-09 17:44 - lisa11 in Beitrag No. 9)
Hallo Nico,
also \(f_A\) ist die zu \(A\) gehörige Funktion ist. Seien dann \(g_U\) die zu \(U\) gehörige Abbildung und \(h_V\), die zu \(V\). Dann soll folgen:
\(Rang(A)\leq p \Longleftrightarrow g_U\circ h_V=f_A\).
Bin ich zumindest halbwegs auf dem richtigen Weg?
\quoteoff
Genau, wenn du noch die Definitionsbereiche und Zielbereiche der einzelnen Abbildungen bedenkst, dann ist die rechte Seite die Übersetzung der Aussage in lineare Abbildungen. Du möchtest jetzt also zeigen, dass $\operatorname{rg}(A)\leq p$ genau dann gilt, wenn es lineare Abbildungen $u\colon K^p\to K^m$ und $v\colon K^n \to K^p$ mit $f_A=u\circ v$ gibt.
Machen wir mal den Anfang mit der Rückrichtung:
Es gelte also $f_A=u\circ v$. Dann ist $\operatorname{rg}(A)=\dim(\operatorname{im}(u\circ v))$. Was kannst du über diese Dimension aussagen?
LG Nico
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lisa11
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-09
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Ah ok, also ich würde sagen:
\(dim(im(u\circ v))\leq p\), da \(u\circ v \in K^{n,p}\) ist.
Damit folgt dann also \(Rang(A)\leq p\)
Oder?
Für die andere Richtung fangen wir also an mit \(Rang(A)\leq p\). Damit folgt auch \(dim(im(u\circ v))\leq p\). Wobei, geht es nicht genau darum zu zeigen, dass \(u\) und \(v\) existieren? Da kann ich so bestimmt nicht anfangen
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nzimme10
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| Beitrag No.12, eingetragen 2021-06-09
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\quoteon(2021-06-09 19:20 - lisa11 in Beitrag No. 11)
Ah ok, also ich würde sagen:
\(dim(im(u\circ v))\leq p\), da \(u\circ v \in K^{n,p}\) ist.
Damit folgt dann also \(Rang(A)\leq p\)
Oder?
\quoteoff
$u\circ v\in K^{n\times p}$ ergibt formal keinen Sinn. $u\circ v$ ist ja eine Abbildung, keine Matrix. Die Begründung müsstest du also nochmal etwas ausführen.
\quoteon(2021-06-09 19:20 - lisa11 in Beitrag No. 11)
Für die andere Richtung fangen wir also an mit \(Rang(A)\leq p\). Damit folgt auch \(dim(im(u\circ v))\leq p\). Wobei, geht es nicht genau darum zu zeigen, dass \(u\) und \(v\) existieren? Da kann ich so bestimmt nicht anfangen
\quoteoff
Siehe den Hinweis von Nuramon in Beitrag No. 2
Noch ein Hinweis zu LaTeX: Viele der Wörter wie $\dim$ gibt es als LaTeX Befehle; einfach ein \ davor machen, also \dim für $\dim$. Andere Wörter wie "Rang" und "im" sind nicht immer schon vorhanden. Da kann man dann \operatorname{Rang} schreiben, so dass der Text nicht kursiv geschrieben wird.
LG Nico
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lisa11
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-09
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Ok für die Begründung der Rückrichtung muss ich mir dann noch was einfallen lassen. Ginge vielleicht die Argumentation: \(u\circ v=u(v(x))\) und da \(u\) auf \(K^p\) abbildet, folgt: \(\dim(im(u\circ v))\leq \dim(K^p)=p\)
Dieses Hin und Her in meinem Kopf zwischen Matritzen und linearen Abbildungen macht mich schon ganz verrückt.
Also ich muss irgendwie zeigen, dass es zwei lineare Abbildungen \(u: K^m\rightarrow K^p\) und \(v:K^p\rightarrow K^n\) gibt, mit: \(u\circ v = f_A\). Aber wie ich jetzt hier weiter vorgehe erschließt sich mir momentan gar nicht.
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nzimme10
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| Beitrag No.14, eingetragen 2021-06-10
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\quoteon(2021-06-09 19:47 - lisa11 in Beitrag No. 13)
Ok für die Begründung der Rückrichtung muss ich mir dann noch was einfallen lassen. Ginge vielleicht die Argumentation: \(u\circ v=u(v(x))\) und da \(u\) auf \(K^p\) abbildet, folgt: \(\dim(im(u\circ v))\leq \dim(K^p)=p\)
\quoteoff
Genau. Offenbar gilt $\operatorname{im}(u\circ v)\subseteq \operatorname{im}(u)$ und damit auch die Abschätzung der Dimension. Streng genommen brauchst du hier natürlich die Aussage, dass die Dimension von $\operatorname{im}(u)$ höchstens $p$ sein kann, aber das bekommst du ja unmittelbar aus der Dimensionsformel.
\quoteon(2021-06-09 19:47 - lisa11 in Beitrag No. 13)
Also ich muss irgendwie zeigen, dass es zwei lineare Abbildungen \(u: K^m\rightarrow K^p\) und \(v:K^p\rightarrow K^n\) gibt, mit: \(u\circ v = f_A\). Aber wie ich jetzt hier weiter vorgehe erschließt sich mir momentan gar nicht.
\quoteoff
Wie gesagt, Nuramon hat in Beitrag No. 2 schon gesagt wie du aus der Abbildung $f_A$ jetzt zwei Abbildungen machen kannst.
LG Nico
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nzimme10
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| Beitrag No.15, eingetragen 2021-06-10
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\quoteon(2021-06-09 19:47 - lisa11 in Beitrag No. 13)
Ok für die Begründung der Rückrichtung muss ich mir dann noch was einfallen lassen. Ginge vielleicht die Argumentation: \(u\circ v=u(v(x))\) und da \(u\) auf \(K^p\) abbildet, folgt: \(\dim(im(u\circ v))\leq \dim(K^p)=p\)
Dieses Hin und Her in meinem Kopf zwischen Matritzen und linearen Abbildungen macht mich schon ganz verrückt.
Also ich muss irgendwie zeigen, dass es zwei lineare Abbildungen \(u: K^m\rightarrow K^p\) und \(v:K^p\rightarrow K^n\) gibt, mit: \(u\circ v = f_A\). Aber wie ich jetzt hier weiter vorgehe erschließt sich mir momentan gar nicht.
\quoteoff
Habe grade erst gesehen, dass hier dein $u$ den falschen Definitionsbereich etc. hat. Beachte die Kontravarianz: Eine lineare Abbildung $K^{\color{red} n}\to K^{\color{blue} m}$ wird durch eine $\color{blue}{m}\times \color{red}{n}$-Matrix dargestellt. Die Reihenfolge von $\color{red}{n}$ und $\color{blue}{m}$ dreht sich also um. Siehe dazu auch diesen schönen Artikel.
LG Nico
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