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Universität/Hochschule Matheplanet Challenge
DominikS
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  Themenstart: 2021-06-09

Hallo, vor Jahren gab es ja die "Matheplanet Challenge". Ich wollte hiermit so eine Art fortlaufenden Thread ins Rollen bringen, in der nach und nach Probleme gestellt und gelöst werden. Um den Stein ins Rollen zu bringen, möchte ich dann gleich die erste Aufgabe stellen. Die kommenden dürfen gerne kreativer sein... Regeln möchte ich eigentlich gar nicht so genau festlegen. Aber vielleicht ein paar Richtlinien. Wenn du eine Aufgabe stellen möchtest "Berechne die Determinante dieser $3\times 3$-Matrix" warum nicht. Die Aufgaben sollten aber schon ihren Reiz haben. Der Aufgabensteller sollte die Lösung kennen, und gegebenenfalls nach einer Weile (wenn niemand löst) selber lösen und eine andere Aufgabe stellen, oder jemanden anders eine Aufgabe stellen lassen. Allerdings müssen die Probleme nicht unbedingt knüppelhart sein. Wäre nett, wenn man sie ohne größere Vorkenntnisse lösen kann, sodass möglichst viele potentiell mitmachen können. Aber wie gesagt, das dürft ihr alles selber entscheiden. Aktuelle Übungsaufgaben, oder Wettbewerbsaufgaben sollen es natürlich ebenfalls nicht sein. Eventuell die Quelle der Aufgabe angeben, wenn du kannst. Lösungen bitte im Hide-Bereich, sodass man die Chance hat noch selber darüber nachzudenken. Ein Zeitlimit wie "Lösungen erst 24 Stunden später", möchte ich nicht geben. Wenn du nach fünf Minuten lösen möchtest, dann kannst du das gerne tun. Wer löst stellt selbstverständlich das nächste Problem. :) Am besten zeitnah zur Lösung. Im gleichen Beitrag, oder in einem separaten ist natürlich egal. Die Aufgaben am besten nummerieren, um sich gegebenenfalls besser austauschen zu können. Die Aufgabenstellung bei der Lösung am besten noch einmal mit zitieren. [Aber wie gesagt, macht das am besten einfach wie ihr wollt...] Über eine Rege Teilnahme und viele schöne Aufgaben aus allen unterschiedlichen Bereichen der Mathematik freue ich mich. [Diskussion über Aufgaben oder Lösungen eventuell in einem anderen Thread]


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DominikS
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-09

Aufgabe 1 (aus The Stanford Mathematics Problem Book): Beweise, dass keine Zahl aus der Folge $11, 111, 1111, 11111, \dotso$ das Quadrat einer ganzen Zahl ist.


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pzktupel
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-09

\quoteon(2021-06-09 19:58 - DominikS in Beitrag No. 1) Aufgabe 1 (aus The Stanford Mathematics Problem Book): Beweise, dass keine Zahl aus der Folge $11, 111, 1111, 11111, \dotso$ das Quadrat einer ganzen Zahl ist. \quoteoff Formal würde ich sagen: Die Zahlen sind der Form (10^n-1)/9, die Wurzel aus der ist sqrt(10^n-1)/ 3 Fall 1: 10^n=10^(2k) kann Quadratzahl sein, aber nicht um Eins vermindert noch einmal, daher gibt es keine ganzzahlige Lösung. Fall 2: 10^n=10^(2k+1)=10^2k * 10 kann keine Quadratzahl sein,wegen Wurzel 10 und auch nicht um Eins vermindert, daher gibt es keine ganzzahlige Lösung.


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ochen
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-09

\quoteon(2021-06-09 20:05 - pzktupel in Beitrag No. 2) \quoteon(2021-06-09 19:58 - DominikS in Beitrag No. 1) Aufgabe 1 (aus The Stanford Mathematics Problem Book): Beweise, dass keine Zahl aus der Folge $11, 111, 1111, 11111, \dotso$ das Quadrat einer ganzen Zahl ist. \quoteoff Formal würde ich sagen: Die Zahlen sind der Form (10^n-1)/9, die Wurzel aus der ist (10^n-1)^0.5 / 3 10^n=10^(2k) kann Quadratzahl sein, aber nicht um Eins vermindert noch einmal, daher gibt es keine ganzzahlige Lösung. \quoteoff Was ist, wenn $n$ ungerade ist?


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pzktupel
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-09

Habe ich noch ergänzt, ist aber sehr schwammig von mir ausgearbeitet. Ich kann mich erinnern, das die Lösung zu diesem Problem mal hier aufgeführt wurde.


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ochen
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-09

Das ist kein Argument. Wenn $a$ keine Quadratzahl ist, kann $a-1$ doch trotzdem eine sein. Im Gegenteil, wenn $a>1$ eine Quadratzahl ist, dann ist $a-1$ keine, was du ja schon im ersten Fall richtig geschrieben hast. \showon Eine mögliche Begründung, warum $10^k-1$ für $k>1$ keine Quadratzahl ist Für $k>1$ gilt \[ 10^k-1\equiv -1\pmod 4 \] \showoff


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pzktupel
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-06-09

Ich weiß, aber wenn man a² hat, ist der Abstand in der Region zur vorhergehenden immer -2a+1. Zieht man von a² Eins ab, landet man nicht bei einer anderen Quadratzahl. Spezialfall ist nur die "1".


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pzktupel
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-06-09

@Ochen, das war wohl auch ein Beweisbestandteil damals.


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ochen
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-06-09

Sei nicht böse, aber das ist kein Argument, warum $10^{2k+1}-1$ keine Quadratzahl ist, da $10^{2k+1}$ ja auch keine ist. Es ist aber ein Argument dafür, dass $10^{2k}-1$ keine Qudratzahl ist. Das ist doch schon mal was. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]


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Ixx
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-06-09

Tipp: \hideon mod 4. ;-) \hideoff


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ochen
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  Beitrag No.10, eingetragen 2021-06-09

🤫 Das ist uns auch schon klar :) Danke, siehe Beitrag 5.


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Ixx
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  Beitrag No.11, eingetragen 2021-06-09

Hatte ich übersehen. :) Wer noch ein bisschen weiter Zahlentheorie üben möchte: Die folgende Aufgabe verwende ich gern in meinen Vorbereitungs- und Trainings-Seminaren: MO 501146=501345: Man entscheide, ob es eine nichtnegative ganze Zahl $n$ gibt, für die $324 + 455^n$ eine Primzahl ist.


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DominikS
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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-09

Hallo, schön, dass ihr mitmacht, aber so hatte ich es mir eigentlich nicht vorgestellt. Der Übersichtlichkeit willen, wollte ich eigentlich keine Diskussion über die Aufgaben, oder Lösungen in diesem Thread. Dazu kann man eventuell einen anderen Thread eröffnen. Außerdem sollte man nicht unbedingt Lösungsvorschläge posten, sondern schon sicher gehen, dass die Lösung korrekt ist. Man kann aber natürlich auch falsche Lösungen posten, aber sowas wie "Formal würde ich sagen" "ist aber sehr schwammig von mir ausgearbeitet" und dann die Lösung zu diskutieren, trifft den Kern nicht so ganz.


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DerEinfaeltige
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  Beitrag No.13, eingetragen 2021-06-09

Also im Binär oder Dezimalsystem ist die Aufgabe ja sehr leicht (siehe diverse vorhergehende Posts). Nur wie sieht es allgemein aus? Edit: Allgemein ist es natürlich erst ab 111 interessant. Gegenbeispiele zu 11 sind ja leicht zu konstruieren.


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xiao_shi_tou_
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  Beitrag No.14, eingetragen 2021-06-10

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\(\endgroup\)


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  Beitrag No.15, eingetragen 2021-06-10

Hi DominikS Ziemlich genau mit den von dir im Startpost beschriebenen Regeln gibt es hier auf dem Planeten schon ein ganzes Unterforum: die Knobelecke Hier können Rätsel und Knobelaufgaben gestellt werden, mit denen man andere Mitglieder gern zum Raten und Tüfteln "verleiten" möchte. Die Lösung sollte dem Aufgabensteller schon bekannt sein. Der Aufgabensteller kann wählen, ob die Aufgabe öffentlich hier im Forum diskutiert werden darf, oder ob ein kleiner Wettbewerb ausgetragen wird - in diesem Falle ist es nicht erlaubt, Lösungen oder Lösungsversuche direkt zu posten (also: zu veröffentlichen). Lösungen müssen dann an den Themensteller als private Nachricht gesendet werden und der Themensteller wird erst nach Ablauf einer (von ihm selbst gewählten) Frist die Lösungen veröffentlichen. Gruß vom ¼


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DominikS
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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-10

@Viertel: Hmm, recht hast du... Aber eigentlich war das Ziel hier ein anderes. Ich bereue es aber mittlerweile den Thread eröffnet zu haben.


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DominikS hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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