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Universität/Hochschule Anzahl Möglichkeiten eine Zahl zu schreiben
Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-06-10


Guten Morgen zusammen

Ich bin unsicher bei meinem Ansatz der folgenden Frage: Wir wollen mit Hilfe von den Elementen $\{1,2,3\}$ eine 6-stellige Zahl schreiben. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn alle Elemente mindestens einmal vorkommen müssen?

Mein Ansatz war nun die gesamte Anzahl zu betrachten und die unpassenden abzuziehen.... Wir haben insgesamt also $3^6$ Möglichkeiten. Nun ist eine Zahl nur aus $1$ oder $2$ oder $3$ nicht zulässig, dabei haben wir jeweils aber die Möglichkeit von $2^6$ solche eine Zahl zu schreiben. Da die Wahl unabhängig ist, komme ich zum Schluss, dass es $3^6-3*2^6$ gibt eine solche Zahl zu schreiben.
Kann man so vorgehen oder haben ich etwas übersehen?
Vielen Dank für eure Hilfe!
Viele Grüsse
Math_user



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Nimm anstelle der Länge 6 doch mal die Länge 3. Mit ihr kann man noch leicht per Hand zählen und sieht dann, dass etwas nicht stimmt.

Der Grund ist, dass du alle Worte, die nur eine der Ziffern enthalten, sozusagen mehrmals abziehst: $111111$ ist sowohl in der Menge der Worte der Länge 6 aus $\{1,2\}$ enthalten, wie auch in der Menge der Worte der Länge 6 aus $\{1,3\}$. Man kann sich überlegen, dass diese Worte von deinem Vorgehen alle genau zweimal (negativ) gezählt werden. Zur Korrektur kann man also einen weiteren Summanden hinzunehmen, der genau diese Worte zählt.
\(\endgroup\)


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Wario
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-10


2021-06-10 09:37 - Math_user im Themenstart schreibt:
 Wir wollen mit Hilfe von den Elementen $\{1,2,3\}$ eine 6-stellige Zahl schreiben. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn alle Elemente mindestens einmal vorkommen müssen?

Mit

gelange ich zu einer
ungeordneten Stichprobe (ohne Reihenfolge), mit zurücklegen, einer 6-Auswahl aus eine 3-Menge
und berechne dafür $\dbinom{3+6-1}{6}=56$ Möglichkeiten...
€dit: ... und das ist falsch;
denn ich habe das 'mindestens einmal vorkommen müssen' ignoriert.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-10


Hallo zusammen,

@Wario: du hast das Problem nicht richtig verstanden. Dementsprechend ist das von dir angegebene Resultat falsch.

@Math_user:
Ich werfe mal noch den Begriff Siebformel in den Raum (darauf wollte tactac dich auch schon aufmerksam machen).


Gruß, Diophant



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Wario
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-10


2021-06-10 11:19 - Diophant in Beitrag No. 3 schreibt:
@Wario: du hast das Problem nicht richtig verstanden. Dementsprechend ist das von dir angegebene Resultat falsch.

Ja, ich habe das 'mindestens einmal vorkommen müssen' nicht beachtet. Dann dürften die Standard-Schemata vermutlich nicht mehr gehen.



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-10


Vielen Dank für eure Antworten. Die Siebformel ist mir bekannt. Nur sehe ich noch nicht wie diese mir weiterhelfen soll. Ich würde spontan $A=1$,$B=2$ und $C=3$ definieren und aber irgendwie sieht es dann auch wieder komisch aus.. Stehe gerade auf dem Schlauch



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-06-10


Hallo,

wie tactac schon geschrieben hat: es fehlt in deiner Rechnung nur noch ein Summand, der die zu oft abgezogenen Zahlen mit lauter gleichen Ziffern korrigiert. Dein Anfang aus dem Themenstart ist jedoch zielführend.


Gruß, Diophant



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-06-10


2021-06-10 11:46 - Math_user in Beitrag No. 5 schreibt:
Vielen Dank für eure Antworten. Die Siebformel ist mir bekannt. Nur sehe ich noch nicht wie diese mir weiterhelfen soll. Ich würde spontan $A=1$,$B=2$ und $C=3$ definieren und aber irgendwie sieht es dann auch wieder komisch aus.. Stehe gerade auf dem Schlauch

Ich nehme an, du willst \(|A\cup B\cup C|\) berechnen. A, B und C müssen dann aber Mengen und keine Ziffern sein.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-06-10


Huhu Math_user,

hier geht es alternativ auch mit \(\displaystyle T(m,n):=\sum_{\substack{m_1,\ldots,m_n\ge1\\m_1+\ldots+m_n=m}}\binom{m}{m_1,\ldots,m_n}\).

Du suchst \(T(6,3)=3\binom{6}{1,1,4}+3!\binom{6}{1,2,3}+\binom{6}{2,2,2}=\ldots\)

Du kannst auch das \(T\)-Dreieck nutzen, da für die Zahlen die Beziehung \(T(m,n)=n\left(T(m-1,n-1)+T(m-1,n)\right)\) für \(1<n<m\) gilt:



Gruß,

Küstenkind



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-12


Vielen Dank für all eure Antworten. Ich habe mal die ersten Ansätze mit der Siebformel weiterverfolgt.@Kuestenkind ich werde diesen Ansatz später anschauen.

Mit der Siebformel nehme ich an, wir sollten folgende Menge definieren:

$A$ ist die Menge aller $1$ mit $\vert A \vert = 6$.
$B$ ist die Menge aller $2$ mit $\vert B \vert = 6$.
$C$ ist die Menge aller $3$ mit $\vert C \vert = 6$.

Somit kann man nun die Siebformel

$$A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C$$
anwenden mit dem Wissen, dass $A \cap B \cap C= 3^6$ und $ A \cap B= B \cap C = A \cap C = 2^6$.





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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2021-06-12

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

hm. Ich glaube, die Mengen stellst du dir hier noch falsch vor. Die \(3^6\) ist ja die Anzahl aller möglichen Zahlen, also die Menge von Zahlen, in denen alle drei Ziffern vorkommen dürfen. Die \(2^6\) steht für die Menge an Zahlen, in denen nur zwei von drei Ziffern vorkommen dürfen. Diese hast du völlig richtig dreimal subtrahiert. Jetzt muss man nur noch eine geeignete Anzahl von \(1^6=1\) für diejenigen Mengen hinzuaddieren, in denen nur einen Ziffer vorkommen darf.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2021-06-12


2021-06-12 13:09 - Math_user in Beitrag No. 9 schreibt:
$A$ ist die Menge aller $1$ mit $\vert A \vert = 6$.
$B$ ist die Menge aller $2$ mit $\vert B \vert = 6$.
$C$ ist die Menge aller $3$ mit $\vert C \vert = 6$.

Somit kann man nun die Siebformel

$$A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C$$
anwenden mit dem Wissen, dass $A \cap B \cap C= 3^6$ und $ A \cap B= B \cap C = A \cap C = 2^6$.

Da kann etwas nicht stimmen 🤔

Wie soll $|A \cap B \cap C|= 3^6$ und $|A \cap B|=|B \cap C| = |A \cap C| = 2^6$ gelten?! \(A \cap B \cap C\) ist doch im allgemeinen kleiner (und niemals größer) als \(A \cap B\).

Außerdem ist "$A$ ist die Menge aller $1$ mit $\vert A \vert = 6$" keine vernünftige Definition. Bitte präzisiere das.



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2021-06-12


Huhu Math_user,

2021-06-12 13:09 - Math_user in Beitrag No. 9 schreibt:
@Kuestenkind ich werde diesen Ansatz später anschauen.

tu das! Wenn du ihn nicht nur anschauen, sondern auch nochmal üben möchtest, kannst du z. B. folgende zwei Aufgaben sicherlich problemlos bearbeiten:

(1) Find the number of five-letter words that use letters from the set \(\{A,B,C,D,E\}\) and contain exactly three different letters.

(2) A card is selected at random from a standard 52-card deck. The suit (H, S, D, or C) is recorded and the card is replaced in the deck. This is done a total of seven times. Find the probability that all four suits occur among the cards selected.

Ich bin gerade zu faul zu übersetzen - aber das sollte wohl auch auf Englisch verständlich sein.

Gruß (und ein schönes Wochenende wünscht),

Küstenkind



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-12


Ah ja klar, ich schiebe es mal auf die Impfung, die ich gestern hatte ^^
Okay also nochmals seriöser:
Wir wollen die Siebformel benützen:

$$ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C |$$
Weiter würde ich instinktiv meinen, dass ich noch $3$ mal eine $1$ addieren muss, damit meine Lösung stimmt. Gut versuchen wir es mal formaler auszuschreiben:
Wir suchen: $|A \cup B \cup C|$ (laut dem Beitrag von StrgAltEntf nr. 7).
Also die Schnittmenge der $3$ Mengen. Wie kann ich nun diese Menge definieren?
Irgendwie stehe ich da auf dem Schlauch..

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2021-06-12


2021-06-12 14:59 - Math_user in Beitrag No. 13 schreibt:
Wir suchen: $|A \cup B \cup C|$ (laut dem Beitrag von StrgAltEntf nr. 7).
Also die Schnittmenge der $3$ Mengen. Wie kann ich nun diese Menge definieren?

Ich würde es über das Gegenereignis machen. (Und so hattest du ja auch schon im Themenstart begonnen.)

A = die Menge aller 6-stelligen Zahlen, die keine 1 enthalten.

Entsprechend B und C.

Die gesuchte Anzahl ist dann \(3^6-|A\cup B\cup C|\).



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2021-06-12

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
2021-06-12 14:59 - Math_user in Beitrag No. 13 schreibt:
Weiter würde ich instinktiv meinen, dass ich noch $3$ mal eine $1$ addieren muss, damit meine Lösung stimmt.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Genau so ist es. 👍


Gruß, Diophant



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.13 begonnen.]
\(\endgroup\)


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2021-06-12 15:11 - StrgAltEntf in Beitrag No. 14 schreibt:

Ich würde es über das Gegenereignis machen. (Und so hattest du ja auch schon im Themenstart begonnen.)

A = die Menge aller 6-stelligen Zahlen, die keine 1 enthalten.

Entsprechend B und C.

Die gesuchte Anzahl ist dann \(3^6-|A\cup B\cup C|\).

Natürlich, dies ergibt nun Sinn. Aber ich bin noch nicht ganz über dem Hügel. Wir suchen \(3^6-|A\cup B\cup C|\). Dabei ist $|A|=|B|=|C|=2^6$... Aber was ist nun mit $ |A \cap B|$? Es ist die per Definition die Menge aller 6-stelligen Zahlen, die weder $1$ noch $2$ enthalten - also nur $3$ und somit $1^6=1$. Die Lösung ist also: $$3^6-3*2^6+3$$ (da ja die letzten Schnittmenge der 3 Mengen leer ist).



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2021-06-12 15:27 - Math_user in Beitrag No. 16 schreibt:
Natürlich, dies ergibt nun Sinn. Aber ich bin noch nicht ganz über dem Hügel. Wir suchen \(3^6-|A\cup B\cup C|\). Dabei ist $|A|=|B|=|C|=2^6$... Aber was ist nun mit $ |A \cap B|$? Es ist die per Definition die Menge aller 6-stelligen Zahlen, die weder $1$ noch $2$ enthalten - also nur $3$ und somit $1^6=1$. Die Lösung ist also: $$3^6-3*2^6+3$$ (da ja die letzten Schnittmenge der 3 Mengen leer ist).

👍

Vergleiche das am besten noch mal mit T(6,3) aus #8.



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Math_user
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2021-06-10 15:24 - Kuestenkind in Beitrag No. 8 schreibt:
Huhu Math_user,

hier geht es alternativ auch mit \(\displaystyle T(m,n):=\sum_{\substack{m_1,\ldots,m_n\ge1\\m_1+\ldots+m_n=m}}\binom{m}{m_1,\ldots,m_n}\).

Du suchst \(T(6,3)=3\binom{6}{1,1,4}+3!\binom{6}{1,2,3}+\binom{6}{2,2,2}=\ldots\)

Ich beschäftige mich nun mit diesem Fall und scheitere schon am Verständnis der Formel und deiner Umsetzung, weshalb haben wir einmal $3$ und einmal $3!$ als Vorfaktor?



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Math_user
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Irgendwie scheitere ich auch das Häckchen zu entfernen....



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Hallo,

google doch mal den Begriff 'Multinomialkoeffizient'.

2021-06-15 09:42 - Math_user in Beitrag No. 19 schreibt:
Irgendwie scheitere ich auch das Häckchen zu entfernen....

Warum? Das ist in dem Moment wieder weg, wenn du oder ein anderes Mitglied einen weiteren Beitrag verfasst. In deinem Fall (also weil du der Themenstarter bist) wird dann wieder das Fragezeichen angezeigt.


Gruß, Diophant



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philippw
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2021-06-15 09:40 - Math_user in Beitrag No. 18 schreibt:
2021-06-10 15:24 - Kuestenkind in Beitrag No. 8 schreibt:
Huhu Math_user,

hier geht es alternativ auch mit \(\displaystyle T(m,n):=\sum_{\substack{m_1,\ldots,m_n\ge1\\m_1+\ldots+m_n=m}}\binom{m}{m_1,\ldots,m_n}\).

Du suchst \(T(6,3)=3\binom{6}{1,1,4}+3!\binom{6}{1,2,3}+\binom{6}{2,2,2}=\ldots\)

Ich beschäftige mich nun mit diesem Fall und scheitere schon am Verständnis der Formel und deiner Umsetzung, weshalb haben wir einmal $3$ und einmal $3!$ als Vorfaktor?

Beim Multinomialkoeffizient können die unteren Zahlen vertauscht werden, und der Gesamtwert bleibt gleich. (1,1,4) kommt also dreimal in der Summe vor (als 114, 141 und 411), (1,2,3) hingegen 3! mal (123,132,213,231,312,321).


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"Eine Wissenschaft ist erst dann als voll entwickelt anzusehen, wenn sie dahin gelangt ist, sich der Mathematik bedienen zu können."
Karl Marx



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