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Analysis » Funktionalanalysis » Gleichmäßige Konvexität
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Universität/Hochschule Gleichmäßige Konvexität
Lupi98
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-06-12


Hallo liebe Mathe-Freunde,

ich sitze mal wieder vor meinem Funktionalanalysis Skript und da stoße ich auf eine Aussage zum "Selberüberlegen" von meinem Prof.
Wir beschäftigen uns gerade in der Vorlesung mit gleichmäßiger Konvexität und haben dazu auch schon einige Beispiele gemacht.

Unsere Definition von gleichmäßiger Konvexität im Skript ist die folgende:
(*) Ein normierter Raum X heißt gleichmäßig konvex, wenn es zu jedem ε>0 ein δ>0 gibt, s.d. für alle
x,y∈X mit ||x|| ≤1 und ||y||≤1 gilt:
||x-y|| ≥ ε  ⇒ ||(x+y)/2||≤ 1- δ

Nun behauptet mein Professor, dass diese Definition von der gleichmäßigen Konvexität äquivalent zu der abgewandelten Aussage (**) ist, in der lediglich gefordert, dass ||x||=||y||=1 (wir müssen also nicht den kompletten Einheitsball in X betrachten).
Die Richtung  (*)⇒(**) ist natürlich klar, jedoch verstehe ich nicht, wie man auf die Rückrichtung kommt.
Dazu hat unser Prof uns den Hinweis gegeben, anzunehmen, dass X nicht gleichmäßig konvex ist, und daraus entsprechend zu folgern, dass (**) nicht gilt.
Er meinte auch, dass es nützlich ist, zu bemerken, dass aus ||(x+y)/2||>1- δ folgt, dass
||x||,||y||>1- 2δ.

Ich hoffe, jemand kann mir die Augen öffnen und freue mich über eure Antworten :)

Liebe Grüße,
Lucie



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semasch
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-13


Moin Lucie,

nehmen wir an, dass es ein $\epsilon > 0$ gibt derart, dass es für alle $\delta > 0$ Punkte $x,y \in X$ mit $\|x\|, \|y\| \le 1$ und $\|x-y\| \ge \epsilon$ gibt so, dass $\|\frac{x+y}{2}\| > 1-\delta$ gilt.

Seien also ein Ausnahmewert $\epsilon > 0$ sowie $\delta > 0$ und Punkte $x,y \in X$ wie oben gewählt. Mit der Dreiecksungleichung sieht man, dass der Hinweis gilt, weil $\min(\|x\|,\|y\|) \le 1-2\delta$ im Widerspruch zu $\|\frac{x+y}{2}\| > 1-\delta$ steht.

Wir können also von $\min(\|x\|,\|y\|) > 1-2\delta$ ausgehen. Definieren wir $x' := \frac{x}{\|x\|}, y' := \frac{y}{\|y\|}$, dann gilt $\|x'\| = \|y'\| = 1$ und mit der Dreiecksungleichung nach unten
\[\|x'-y'\| = \frac{1}{\|x\|}\|x-y-(\|x\|-\|y\|)y'\| \ge \|x-y\|-|\|x\|-\|y\|| \ge \epsilon - 2\delta.\] Beschränken wir uns weiters oBdA. auf $\delta < \frac{\epsilon}{4}$, so gilt also $\|x'-y'\| \ge \frac{\epsilon}{2}$. Schließlich gilt
\[\bigg\|\frac{x'+y'}{2}\bigg\| = \frac{1}{\|x\|}\bigg\|\frac{x+y}{2}-\frac{\|y\|-\|x\|}{2}y'\bigg\| \ge \bigg\|\frac{x+y}{2}\bigg\|-\bigg|\frac{\|y\|-\|x\|}{2}\bigg| > 1-2\delta.\]
LG,
semasch



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Lupi98
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-13


Hallo semasch!
Das hat mir seehr geholfen :) Bin es gerade durchgegangen !
Eine Frage habe ich aber noch:
Warum können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass
δ<ϵ/4 ? Das liegt doch daran, dass die Ungleichung am Ende dann auch für alle δ>ϵ/4 korrekt ist, nicht wahr?
Liebe Grüße und nochmal tausend Dank,
Lucie



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semasch
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-13


Ja, genau, wenn du Punkte $x,y \in X$ gefunden hast mit $\|x-y\| \ge \frac{\epsilon}{2}$ und $\bigg\|\frac{x+y}{2}\bigg\| > 1-2\delta$, dann gilt für $\delta' > \delta$ wegen $1-2\delta > 1-2\delta'$ auch $\bigg\|\frac{x+y}{2}\bigg\| > 1-2\delta'$; die Punkte $x,y$ funktionieren also auch für jedes $\delta' > \delta$.

LG,
semasch



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Lupi98
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-13


Alles klar! Schönen Abend dir noch!
LG,
Lucie



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
semasch
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-13


Danke, wünsche einen ebensolchen.🙂

LG,
semasch



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