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Analysis » Integration » Integral gesucht (vermutlich mit Ähnlichkeit zur Gammafunktion)
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Universität/Hochschule Integral gesucht (vermutlich mit Ähnlichkeit zur Gammafunktion)
Kugelteddy
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  Themenstart: 2021-06-12

Guten Abend zusammen, ich tüftel gerade, wie ich ein Integral folgender Form (analytisch) bestimmen kann: \(\) \[ \int_{0}^{\infty} t^C \cdot e^{A \cdot t^2 + B \cdot t} \,dt \] \(\) Leider scheint mir dabei weder die Gamma-Funktion, noch Wolfram Alpha weiterhelfen zu können ;-) Kennt jemand hierzu eine Lösung, hat eine gute Idee oder kennt eine Approximation für das Integral? Danke an alle Helfer im Voraus!


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Kuestenkind
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-12

Huhu, was sind denn \(A,B\) und \(C\)? Für beliebige Zahlen wird das Integral sicherlich nicht immer existieren. Anstatt Gammafunktion ist wohl eher die Fehlerfunktion zu betrachten. Es gilt z.B.: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/45489_Bildschirmfoto_2021-06-12_um_19.48.30.png Gruß, Küstenkind


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Kugelteddy
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-12

Danke für die Antwort! Leider ist der Exponent $k$ im ersten Faktor der Parameter meiner Funktion, d.h. \(\) f(k) = \[ \int_{0}^{\infty} t^k \cdot e^{A \cdot t^2 + B \cdot t} \,dt \] \(\) Diese nur für $k=2$ bestimmen zu können, ist leider nicht ausreichend. Falls es dich interessiert, bzw. für die Lösung eine Relevanz haben sollte: Ich versuche eine Poisson-Normalverteilung Compound Probability Distribution zu berechnen, d.h. die Ereignisrate der Poissonfunktion ist eine Zufallsvariable, die einer Normalverteilung folgt: \(\) \[ f(k) = \int_{0}^{\infty} f_{Poisson(\lambda)}(k) \cdot f_{Normal(\mu, \sigma^2)}(\lambda) \,d\lambda \] \(\)


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easymathematics
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-12

Guck mal hier. :) http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_integrals_of_Gaussian_functions


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Kugelteddy
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-12

\quoteon(2021-06-12 21:17 - easymathematics in Beitrag No. 3) Guck mal hier. :) http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_integrals_of_Gaussian_functions \quoteoff Danke für den Link! Kann ich sicherlich in Zukunft einmal gebrauchen, leider nur für das Problem nicht :-(


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easymathematics
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-12

Warum nicht? :) Du verschiebst Deine Funktion geeignet. Sicherlich lässt sich auch die Translationsinvarianz der Gauss-Funktion ausnutzen. Ich sehe im Moment kein Problem, lasse mich da aber gerne vom Gegenteil überzeugen.


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hyperG
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-06-12

\quoteon(2021-06-12 19:25 - Kugelteddy im Themenstart) ... Leider scheint mir dabei weder die Gamma-Funktion, noch Wolfram Alpha weiterhelfen zu können ;-) ... \quoteoff Doch: unter jeder Antwort von Wolfram Alpha kommt man per "Plain Text" zur kostenlosen Cloud: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/47407_Integral_Cloud.PNG Mit der universellen hypergeometrischen Funktion kann man das explizit ausdrücken, wenn man die Randbedingungen beachtet. Grüße


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Kugelteddy
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-13

\quoteon(2021-06-12 22:10 - easymathematics in Beitrag No. 5) Warum nicht? :) Du verschiebst Deine Funktion geeignet. Sicherlich lässt sich auch die Translationsinvarianz der Gauss-Funktion ausnutzen. Ich sehe im Moment kein Problem, lasse mich da aber gerne vom Gegenteil überzeugen. \quoteoff \(\) \[ f(k) = \int_{0}^{\infty} f_{Poisson(\lambda)}(k) \cdot f_{Normal(\mu, \sigma^2)}(\lambda) \,d\lambda \\ = \int_{0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} e^{-\frac{1}{2 \sigma^2} \cdot (\lambda - \mu)^2} d \lambda \\ = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2} k!} \int_{0}^{\infty} \lambda^k e^{-\lambda} \cdot e^{-\frac{1}{2 \sigma^2} \cdot (\lambda - \mu)^2} d \lambda \] \(\) Das kann ich nun umformen zu (A): \(\) \[ \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2} k!} \int_{0}^{\infty} \lambda^k e^{- \frac{1}{2 \sigma^2} \lambda^2 + (\frac{\mu}{2 \sigma^2} - 1) \lambda - \frac{\mu^2}{2 \sigma^2}} d \lambda \] \(\) oder (B) mit $\tau = \frac{\lambda - \mu}{\sigma}$: \(\) \[ \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2} k!} \int_{-\frac{\mu}{\sigma}}^{\infty} ({\sigma \tau + \mu})^k e^{-\sigma \tau - \mu} \cdot e^{- \frac{1}{2} \cdot \tau^2} d \tau \] \(\) leider hilft in beiden Fällen der Link nicht weiter, richtig?


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Kugelteddy
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-13

Falls ich zusätzlich für (A) und (B) annehme, dass Mittelwert gleich 0 und Varianz gleich 1 ist, d.h. $\mu=0, \sigma^2=1$, werden die Ausdrücke natürlich leichter (und nehmen die gleiche Form an), aber dennoch nicht integrierbar. \(\) \[ \frac{1}{\sqrt{2 \pi } k!} \int_{0}^{\infty} \lambda^k e^{- \frac{1}{2} \lambda^2 - \lambda} d \lambda \] \(\)


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Kugelteddy
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-13

\quoteon(2021-06-12 23:42 - hyperG in Beitrag No. 6) Doch: unter jeder Antwort von Wolfram Alpha kommt man per "Plain Text" zur kostenlosen Cloud: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/47407_Integral_Cloud.PNG Mit der universellen hypergeometrischen Funktion kann man das explizit ausdrücken, wenn man die Randbedingungen beachtet. Grüße \quoteoff Danke für den Hinweis! Der ist sicherlich auch für viele andere interessant. Leider zeigt mir die Cloud nach Ausführen der Zelle nur folgendes an (siehe Screenshot unten) und nicht das, was ich bei dir sehe. Bist du dir sicher, dass du keine Pro-Version hast? Ansonsten wäre ich (und einige andere) dir sehr dankbar, wenn du kurz erklärst, wie du den Output erzeugt hast. https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/39103_Screen_Shot_2021-06-13_at_10.22.11.png


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hyperG
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  Beitrag No.10, eingetragen 2021-06-13

Hallo Kugelteddy, zuerst dachte ich, dass der Unterschied meiner E^(...) zu Deiner Exp[...] was ausmachen könnte, aber bei mir antwortet er richtig: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/47407_Integral_Cloud_Exp.PNG Ich habe zwar auf einem anderen Rechner Mathematica, aber selbst dann hätte ich dafür hier dazu angemeldet sein müssen (siehe oben links "unnamed" und "experimental"). Was oft wichtig ist: Browser: Google Chrome Ich editiere meist und starte Berechnung mit "Shift ENTER" (die große ENTER Taste in der Mitte nicht die kleine unten rechts). Wenn man k=2 setzt, und A & B negativ, vereinfachen sich Gamma & Hypergeometric zu Erfc: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/47407_Integral_Cloud_2_erfc.PNG Grüße P.S.: die kostenlose Online-Version ändert sich ständig! Wenn man zu lange zu oft was berechnen lässt (oder zu viele andere auch rechnen), merken die das und antworten dann vereinfacht.


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hyperG
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  Beitrag No.11, eingetragen 2021-06-13

Hier noch 3 Zusammenhänge von Erfc und hyperg...: \sourceon Mathematica Erfc[z] == (z/Sqrt[z^2]) ((1/(E^z^2 Sqrt[Pi])) HypergeometricU[1/2, 1/2, z^2] - 1) + 1 HypergeometricU[a, b, z] == (Gamma[1 - b]/Gamma[a - b + 1]) Hypergeometric1F1[a, b, z] + (Gamma[b - 1]/Gamma[a]) z^(1 - b) Hypergeometric1F1[a - b + 1, 2 - b, z] Erfc[z] == 1 - ((2 z)/Sqrt[Pi]) HypergeometricPFQ[{1/2}, {3/2}, -z^2] (* HypergeometricPFQ ist nur die universellere Form: hier mit 3 Parametern hyperg1F1 *) \sourceoff


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