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Schulmathematik » Potenzen und Logarithmen » Dürfen Wurzeln negativ sein?
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Schule J Dürfen Wurzeln negativ sein?
Klamenbostelle450
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-06-12


Hey Community,

Ist es klar definiert dass Wurzeln mit ungeraden Wurzelexponenten negativ sein dürfen?

bsp:

3√-27 = -3



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-12


Huhu Klamenbostelle450,

siehe dort: de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)#Wurzeln_aus_negativen_Zahlen

Gruß,

Küstenkind



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-13


2021-06-12 20:52 - Klamenbostelle450 im Themenstart schreibt:
Hey Community,

Ist es klar definiert dass Wurzeln mit ungeraden Wurzelexponenten negativ sein dürfen?

bsp:

3√-27 = -3

In Ergänzung zu Kuestenkind's Antwort:

Wie definiert man überhaupt Wurzeln? Rein algebraisch betrachtet könnte man z.B. sagen, dass eine reelle Zahl $x$ eine $n$-te Wurzel einer anderen reellen Zahl $a$ ist, falls $x^n=a$ gilt.

Typischerweise würde man aber z.B. für $n=2$ nicht sagen, dass $-1$ eine Wurzel von $1$ ist, aber warum? Das liegt an einer anderen üblichen Definition von Wurzeln. Betrachten wir die Funktion $f\colon \mathbb R\to \mathbb R, \ f(x)=x^2$, die jeder reellen Zahl $x$ ihr Quadrat $x^2$ zuordnet. Diese Zuordnung ist nicht eindeutig (mathematisch genauer: sie ist nicht bijektiv), denn z.B. werden sowohl $-1$ als auch $1$ auf $1$ abgebildet.

Die Wurzelfunktion würde man nun aber gerne als Umkehrfunktion der Funktion $f$ definieren. Daher schränkt man sich nur auf die nichtnegativen reellen Zahlen ein, also $f\colon \mathbb R_{\geq 0}\to \mathbb R_{\geq 0}, \ x\mapsto x^2$. Diese Funktion ist bijektiv (jeder Wert wird genau einmal angenommen, also für alle $y\in \mathbb R_{\geq 0}$ gibt es genau ein $x\in \mathbb R_{\geq 0}$, so dass $f(x)=y$ gilt) und besitzt daher eine Umkehrfunktion. Diese nennen wir die Quadratwurzel und schreiben $\sqrt{\cdot}$ dafür. Man könnte sich aber ebenso auf die nichtpositiven reellen Zahlen beschränken und dann für die Wurzel einer Zahl immer den negativen (nichtpositiven) Wert nehmen. Das macht man aber deshalb nicht, weil man gerne die Multiplikativität der Wurzel haben möchte, also dass
$$ \sqrt{xy}=\sqrt x\sqrt y
$$ für alle $x,y\in \mathbb R_{\geq 0}$ gilt. Würde man für die Wurzel den negativen Wert nehmen, so hätte man z.B.
$$ \sqrt{16}=\sqrt{4}\sqrt{4}
$$ und folglich wäre dann $-4=4$, was offenbar nicht stimmt.

Für ungerade $n$ (denke z.B. an $n=3$) ist es eine typische Aufgabe in einem ersten Semester des Mathematikstudiums zu beweisen, dass die Abbildung $f\colon \mathbb R\to \mathbb R, \ x\mapsto x^n$ bijektiv ist und daher auch eine Umkehrfunktion hat. Daher müssen wir uns hier nicht nur auf positive Zahlen beschränken.

LG Nico



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Klamenbostelle450
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-13


Danke euch zwei.

Zu Nico , musste teilweise echt kämpfen bei deiner Antwort um das richtig zu verstehen , weil ich noch Laie bin ^^ , aber wenn ich das richtig verstanden habe , sind negative Wurzel per Definition in erster Linie verboten weil es keine klare Zuordnung gibt (nicht bijektiv?). Das heißt falls es vom Lehrer nicht explizit angegeben ist dass der Definitionsbereich auf die negativen Werte beschränkt ist , gelten die "negative Wurzeln" verboten?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-13

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2021-06-13 17:19 - Klamenbostelle450 in Beitrag No. 3 schreibt:
Das heißt falls es vom Lehrer nicht explizit angegeben ist dass der Definitionsbereich auf die negativen Werte beschränkt ist , gelten die "negative Wurzeln" verboten?
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Achtung: der Definitionsbereich ist auf die nichtnegativen Zahlen beschränkt. Und ich bin mir eigentlich relativ sicher, dass dies auch vom Lehrer explizit angegeben wurde.

Zum Hintergrund: vor einigen Jahrzehnten (bspw. zu meiner Schulzeit) gab es das tatsächlich, dass in der Schule solche Rechnungen wie \(\sqrt[3]{-125}=-5\) gelehrt und akzeptiert wurden. Heutzutage schreibt man das anders. Wenn es bei einer Gleichungsumformung notwendig wird, dann schreibe etwa folgendes:

\[\ba
x^3&=-125\quad\Leftrightarrow\\
\\
x&=-\sqrt[3]{125}\\
\\
&=-5
\ea\]
Und schaue dir das in deinem Schulbuch nochmal an: ich bin mir sehr sicher, dass es dort auch so steht.

Die ganze Sache hat ja auch noch einen weiteren Aspekt, nämlich die Potenzfunktionen vom Typ \(f(x)=x^r\ ,\ r\in\IR\). Hier funktioniert es definitiv nur noch für \(x\ge 0\) bzw. bei negativen Exponenten dann nur noch für \(x>0\). Und da man Wurzeln bekanntlich auch in der Potenzschreibweise schreiben kann, also etwa \(\sqrt[3]{x}=x^{1/3}\), kommt es hier nicht zu unnötigen Fallunterscheidungen bzw. Widersprüchlichkeiten.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-14


2021-06-13 17:19 - Klamenbostelle450 in Beitrag No. 3 schreibt:
Danke euch zwei.

Zu Nico , musste teilweise echt kämpfen bei deiner Antwort um das richtig zu verstehen , weil ich noch Laie bin ^^ , aber wenn ich das richtig verstanden habe , sind negative Wurzel per Definition in erster Linie verboten weil es keine klare Zuordnung gibt (nicht bijektiv?). Das heißt falls es vom Lehrer nicht explizit angegeben ist dass der Definitionsbereich auf die negativen Werte beschränkt ist , gelten die "negative Wurzeln" verboten?

Hallo,

Nein das habe ich so nicht gesagt; da hast du mich falsch verstanden. Ich habe gesagt, dass man bei geraden Wurzelexponenten die Wahl hätte, ob man sich auf die nichtnegativen oder die nichtpositiven Zahlen beschränkt, da sonst die Zuordnung nicht eindeutig ist. Aus Gründen die Diophant und ich schon genannt haben beschränkt man sich aber meist auf die nichtnegativen Zahlen.

Bei ungeraden Wurzelexponenten, also z.B. bei dritten Wurzeln, sind negative Werte zugelassen: Man kann sowohl negative Zahlen in die dritte Wurzel einsetzen als auch negative Zahlen als Ergebnis erhalten.

LG Nico



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-06-14

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
@nzimme10:
2021-06-14 06:03 - nzimme10 in Beitrag No. 5 schreibt: .
Bei ungeraden Wurzelexponenten, also z.B. bei dritten Wurzeln, sind negative Werte zugelassen: Man kann sowohl negative Zahlen in die dritte Wurzel einsetzen als auch negative Zahlen als Ergebnis erhalten.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Das ist eben strittig und wird m.W. in der Schule heutzutage so nicht mehr gemacht. Die Umkehrfunktion von \(f(x)=x^{2n+1},\ n\in\IN,\ x\in\IR\) ist dann

\[g(x)=f^{-1}(x)=\bc \sqrt[2n+1]{x}&,\ x\ge 0 \\ -\sqrt[2n+1]{|x|}&,\ x<0 \ec\]
Wobei der Betrag bei Bedarf sofort berechnet werden darf, wie ich es in #4 gemacht habe.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-06-14


\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)2021-06-14 07:22 - Diophant in Beitrag No. 6 schreibt:
@nzimme10
2021-06-14 06:03 - nzimme10 in Beitrag No. 5 schreibt: .
Bei ungeraden Wurzelexponenten, also z.B. bei dritten Wurzeln, sind negative Werte zugelassen: Man kann sowohl negative Zahlen in die dritte Wurzel einsetzen als auch negative Zahlen als Ergebnis erhalten.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Das ist eben strittig und wird m.w. in der Schule heutzutage so nicht mehr gemacht. Die Umkehrfunktion von \(f(x)=x^{2n+1},\ n\in\IN,\ x\in\IR\) ist dann

\[g(x)=f^{-1}(x)=\bc \sqrt[2n+1]{x}&,\ x\ge 0 \\ -\sqrt[2n+1]{|x|}&,\ x<0 \ec\]
Wobei der Betrag bei Bedarf sofort berechnet werden darf, wie ich es in #4 gemacht habe.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

Okay. Meine Antwort ist auch eher in dem Sinn zu lesen was mathematisch Sinn ergibt. Es ergibt Sinn bei ungeraden Wurzeln negative Zahlen zuzulassen. Bei geraden Wurzeln macht das im reellen ja wie gesagt nicht unbedingt Sinn. Wie das in Schulen heutzutage gemacht wird weiß ich natürlich nicht^^ Als ich 2018 in BW Abitur gemacht habe war das zumindest in meiner Schule noch so gemacht worden.

Dennoch steht deine Umkehrfunktion in keinem Widerspruch zu dem was ich gesagt habe. Auch bei deiner Funktion kann man negative Zahlen einsetzen und erhält auch negative Zahlen als Ergebnis.

LG Nico



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-06-14


\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)2021-06-14 07:22 - Diophant in Beitrag No. 6 schreibt:
und wird m.w. in der Schule heutzutage so nicht mehr gemacht.
\(\endgroup\)

Wie das an der Uni gehandhabt wird, zeigen einem die zahlreichen Analysis-I-Skripte, die frei verfügbar sind. Mein Eindruck ist, dass man sich auch dort auf Wurzeln nichtnegativer Zahlen beschränkt, solange man nicht mit (mehrdeutigen) Wurzeln in $\mathbb C$ arbeitet.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-06-14


2021-06-14 07:47 - zippy in Beitrag No. 8 schreibt:
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)2021-06-14 07:22 - Diophant in Beitrag No. 6 schreibt:
und wird m.w. in der Schule heutzutage so nicht mehr gemacht.
\(\endgroup\)

Wie das an der Uni gehandhabt wird, zeigen einem die zahlreichen Analysis-I-Skripte, die frei verfügbar sind. Mein Eindruck ist, dass man sich auch dort auf Wurzeln nichtnegativer Zahlen beschränkt, solange man nicht mit (mehrdeutigen) Wurzeln in $\mathbb C$ arbeitet.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]

Da ich mich nicht mehr erinnern konnte habe ich grade nachgesehen. Auch in meiner Ana 1 Vorlesung wurde das so gehandhabt.

LG Nico



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2021-06-14

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
@nzimme10:
2021-06-14 07:45 - nzimme10 in Beitrag No. 7 schreibt:
Dennoch steht deine Umkehrfunktion in keinem Widerspruch zu dem was ich gesagt habe. Auch bei deiner Funktion kann man negative Zahlen einsetzen und erhält auch negative Zahlen als Ergebnis.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Hier muss man aber die Dinge sauber trennen. In meiner Version (bzw. der nach meiner Kenntnis heutzutage gängigen) kommen eben keine negativen Radikanden vor, egal wie der Wurzelexponent beschaffen ist.

Das bezahlt man dann eben mit dem Preis, dass man die Umkehrfunktion der Potenzfunktion im Fall von ungeraden Exponenten abschnittsweise definieren muss. Da sieht man manchmal die Variante mit dem Betragszeichen unter der Wurzel für negative \(x\), aber durchaus auch einfach ein Minuszeichen unter der Wurzel. Das kommt ja (inkl. der früheren Version mit negativen Radikanden) alles auf das gleiche heraus und das muss es ja auch.

Es ist nicht mein Anliegen, diese Vorgehensweise zu 'verteidigen', denn ich habe es einst auch anders gelernt... 😉

2021-06-14 07:45 - nzimme10 in Beitrag No. 7 schreibt:
Als ich 2018 in BW Abitur gemacht habe war das zumindest in meiner Schule noch so gemacht worden.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Das verwundert mich nun etwas. Ich habe mehr als zwanzig Jahre lang in großem Umfang Mathenachhilfe gegeben (bis 2017). Und zwar in Baden-Württemberg. Wenn ich fragen darf: war das bei dir ein staatliches Gymnasium oder eine Privatschule (denn da gibt es teilweise ja Beispiele, wo man es noch mit den ganz alten Zöpfen hat...)?

Und falls ersteres der Fall war: stand das auch so in den Schulbüchern?

In beiden Lambacher-Schweizer-Büchern aus Baden-Württemberg, die ich noch besitze, wird die Wurzel zwar nicht definiert (da es sich jeweils um Bücher für die Kursstufe handelt), aber jedenfalls werden Wurzeln nur im Kontext mit nichtnegativen Definitonsbereichen verwendet. Das noch zum Hintergrund meiner erneuten Rückfrage.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2021-06-14


2021-06-14 10:50 - Diophant in Beitrag No. 10 schreibt:
Das verwundert mich nun etwas. Ich habe mehr als zwanzig Jahre lang in großem Umfang Mathenachhilfe gegeben (bis 2017). Und zwar in Baden-Württemberg. Wenn ich fragen darf: war das bei dir ein staatliches Gymnasium oder eine Privatschule (denn da gibt es teilweise ja Beispiele, wo man es noch mit den ganz alten Zöpfen hat...)?

Und falls ersteres der Fall war: stand das auch so in den Schulbüchern?

In beiden Lambacher-Schweizer-Büchern aus Baden-Württemberg, die ich noch besitze, wird die Wurzel zwar nicht definiert (da es sich jeweils um Bücher für die Kursstufe handelt), aber jedenfalls werden Wurzeln nur im Kontext mit nichtnegativen Definitonsbereichen verwendet. Das noch zum Hintergrund meiner erneuten Rückfrage.

Ich denke nicht, dass das so im Lambacher-Schweizer zu finden war, denn für die Autoren ist das Wort "Definition" sowieso ein Fremdwort. Meine Lehrerin hat uns das zumindest so gezeigt damals🙂

Edit: Ich war auf einem staatlichen Gymnasium in der Nähe von Reutlingen.

LG Nico



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2021-06-14

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
Das ist doch einfach Geschmackssache, welche Konvention man wählt. Ich meine, dass wir es in der Schule (Abi 2017) auch mal so und mal so gehandhabt haben (weiß es aber nicht mehr genau), und die Schulbücher sind sowieso - sagen wir - nicht die besten Mathebücher.

In meiner Analysis 1 wurde gar keine $n$-te Wurzelfunktion definiert. Im Königsberger wird es für nicht-negative Zahlen definiert und in Amann-Escher werden auch negative Zahlen zugelassen.

Wie man es macht, ist nicht so wichtig. Mir fällt gerade auch kein wirkliches Argument aus der höheren Mathematik für eine der beiden Konventionen ein.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]


-----------------
The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei
\(\endgroup\)


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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2021-06-14


Meine Intention war es jetzt auch gar nicht zu diskutieren welche Konvention "besser" ist. Ich wollte nur darauf hinweisen warum man überhaupt bei geraden Wurzeln aufpassen muss und warum man dort in der Regel keine negativen Zahlen zulässt.

LG Nico



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2021-06-14


2021-06-14 10:59 - nzimme10 in Beitrag No. 11 schreibt:
Ich denke nicht, dass das so im Lambacher-Schweizer zu finden war, denn für die Autoren ist das Wort "Definition" sowieso ein Fremdwort. Meine Lehrerin hat uns das zumindest so gezeigt damals🙂

So etwas dachte ich mir. Ich kann dir aber versichern, dass ich in der ganzen Zeit (zwischen 1995 und 2017) in unzähligen Schulbüchern und Regelheften von Schüler:innen die 'moderne' Version gesehen habe.

Wenn Lehrer:innen solche Freiheiten nutzen, ist das ja prinzipiell begrüßenswert. Man sollte aber mit so etwas ein wenig aufpassen. Zweit- und ggf- Drittkorrektoren bei Abiturprüfungen verstehen in solchen Dingen manchmal gar keinen Spaß.

Ich hatte Anfang der 2000er Jahre einen Schüler aus Stuttgart, in dessen Abiklasse es im Mathe-Abi (Leistungskurs) zwischen Erst- und Zweitkorrektur zu massiven Abweichungen kam. Der Extremfall war eine 1 vom eigenen Lehrer und eine 4 vom Zweitkorrektor (das war damals den beiden Stuttgarter Tageszeitungen sogar eine Meldung im Lokalteil wert...). Dieser Lehrer (es war ein ganz normales Gymnasium) hatte sich auch eher wenig an gängige Konventionen gehalten und war selbst mit seinen Schreibweisen sehr 'nonchalant'. Das war ein sehr guter Mathelehrer wolgemerkt, und bei den SuS beliebt. Aber diejenigen, die sich diese Nachlässigkeiten aus dem Unterricht dann angewöhnt hatten, waren eben genau von diesen Abweichungen bei der Korrektur ihrer Abiprüfungen betroffen.

Und so etwas sollten wir im Schulmathe-Bereich hier IMO schon auch berücksichtigen.



Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]



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Danke für eure Antworten . Echt schade dass das nicht einheitlich definiert ist , so könnte man sich Kontroversen und Unklarheiten sparen.

Wenn ich das nun richtig verstanden hab.

Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten sind je nach Definitionsbereich für sowohl negative als auch für positive werte zulässig , jedoch beschränkt man sich da meist auf die positiven.

Wurzel mit ungeraden Wurzelexponenten dürfen negativ sein und diese ist auch zulässig. Jedoch wird es in der Praxis meist mit einem "-" vor der Wurzel umgeschrieben.

Mal ne andere Frage : Wieso verwendet ihr folgende Begriffe "nichtnegative" und "nichtpositive" anstelle von " positiv" und " negativ" , steckt dahinter ein tieferer Sinn ?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2021-06-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2021-06-15 05:34 - Klamenbostelle450 in Beitrag No. 15 schreibt:
Danke für eure Antworten . Echt schade dass das nicht einheitlich definiert ist , so könnte man sich Kontroversen und Unklarheiten sparen.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Die kann man sich auch so ersparen: indem das einfach zwischen allen Beteiligten klar geregelt ist. Und wie gesagt: nach meiner Kenntnis ist es das im Bereich der Schulmathematik.

2021-06-15 05:34 - Klamenbostelle450 in Beitrag No. 15 schreibt:
Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten sind je nach Definitionsbereich für sowohl negative als auch für positive werte zulässig , jedoch beschränkt man sich da meist auf die positiven.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Kennst du die komplexen Zahlen? Falls ja, so wirst du mir Recht geben, dass sie in der Schule so gut wie gar nicht behandelt werden (leider!). Man bleibt also im Reellen. Und das ist der Grund dafür, warum geradzahlige Wurzeln nur für nichtnegative Zahlen definiert sind.

2021-06-15 05:34 - Klamenbostelle450 in Beitrag No. 15 schreibt:
Wurzel mit ungeraden Wurzelexponenten dürfen negativ sein und diese ist auch zulässig. Jedoch wird es in der Praxis meist mit einem "-" vor der Wurzel umgeschrieben.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Nein, auch hier muss eine Definition vereinbart sein. Und an die muss man sich halten, sonst kommt es zu Missverständnissen. Wie es auch im wirklichen Leben mit Vereinbarungen so ist...

2021-06-15 05:34 - Klamenbostelle450 in Beitrag No. 15 schreibt:
Mal ne andere Frage : Wieso verwendet ihr folgende Begriffe "nichtnegative" und "nichtpositive" anstelle von " positiv" und " negativ" , steckt dahinter ein tieferer Sinn ?
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

In der Mathematik steckt hinter jedem Begriff ein tieferer Sinn. Wenn eine Zahl x positiv ist, dann gilt ja sicherlich \(x>0\). Ist sie hingegen nichtnegativ, dann gilt \(x\ge 0\).

Siehst du den Unterschied?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Klamenbostelle450
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Kennst du die komplexen Zahlen? Falls ja, so wirst du mir Recht geben, dass sie in der Schule so gut wie gar nicht behandelt werden (leider!). Man bleibt also im Reellen. Und das ist der Grund dafür, warum geradzahlige Wurzeln nur für nichtnegative Zahlen definiert sind.

Ja komplexe Zahlen kenne ich , und tatsächlich werden sie in der Schule nicht beigebracht .


In der Mathematik steckt hinter jedem Begriff ein tieferer Sinn. Wenn eine Zahl x positiv ist, dann gilt ja sicherlich \(x>0\). Ist sie hingegen nichtnegativ, dann gilt \(x\ge 0\).

Siehst du den Unterschied?

Ah ... die Null ist da miteingeschlossen , richtig ?



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Diophant
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2021-06-15 12:56 - Klamenbostelle450 in Beitrag No. 17 schreibt:
Ah ... die Null ist da miteingeschlossen , richtig ?

Genau. Eine positive Zahl ist größer als Null, eine nichtnegative Zahl ist Null oder größer. Bei negativen und nichtpositiven Zahlen ist es entsprechend umgekehrt.


Gruß, Diophant



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2021-06-15 12:56 - Klamenbostelle450 in Beitrag No. 17 schreibt:
Kennst du die komplexen Zahlen? Falls ja, so wirst du mir Recht geben, dass sie in der Schule so gut wie gar nicht behandelt werden (leider!). Man bleibt also im Reellen. Und das ist der Grund dafür, warum geradzahlige Wurzeln nur für nichtnegative Zahlen definiert sind.

Ja komplexe Zahlen kenne ich , und tatsächlich werden sie in der Schule nicht beigebracht .


In der Mathematik steckt hinter jedem Begriff ein tieferer Sinn. Wenn eine Zahl x positiv ist, dann gilt ja sicherlich \(x>0\). Ist sie hingegen nichtnegativ, dann gilt \(x\ge 0\).

Siehst du den Unterschied?

Ah ... die Null ist da miteingeschlossen , richtig ?
Genau. Die nichtnegativen reellen Zahlen sind die positiven reellen Zahlen und die Null. Wenn man nur von positiven Zahlen spricht, dann ist also die Null ausgeschlossen.

LG Nico

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.17 begonnen.]



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Klamenbostelle450
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Danke vielmals.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.18 begonnen.]



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