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Analysis » Integration » Integration durch Reihenentwicklung
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Universität/Hochschule Integration durch Reihenentwicklung
Pavel478
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  Themenstart: 2021-06-13

Schönen guten Abend, ich habe eine Frage zum folgenden bestimmten Integral: int(x^2*exp(-a sqrt(1+bx^2)),x,0 ,\inf ) Ich weiß, dass man die unbestimmte Form durch Reihenentwicklung lösen kann. Da gibt es dann auch schicke Programme wie Wolfram Alpha, die das gut hinbekommen. Nun versagt aber selbst dieses Programm bei der bestimmten Integralform. Nun durch Gespräche mit Kommilitonen sind Begriffe wie "modifizierte Besselfunktion" und "Kelvin Funktion" gefallen. Die kann man natürlich googeln, aber ich finde aktuell noch keine Informationen darüber, wie mir das beim bestimmten Integral helfen soll. Vielleicht kann mir hier jemand bei der Lösung des Integrals helfen. Mit freundlichen Grüßen, Pavel.


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Kuestenkind
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-14

Huhu Pavel, wenn mich nicht alles täuscht, ist \(\mathcal{I}=\frac{1}{b^{3/2}a}K_2(a)\), wobei \(K\) die modifizierte Besselfunktion zweiter Art ist. Ich habe es nur einmal an einem Paar überprüft: hier und hier. Gruß, Küstenkind


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hyperG
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-14

Ich habe mal mit Mathematica die Differenz des Integrals zu \sourceon Mathematica 1/(b^(3/2) a)*BesselK[2, a] \sourceoff anzeigen lassen: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/47407_Differenz_NIntegr_Bessel.png Vermutlich sind es die Differenzen bei a & b kleiner 0.1 die Mathematica zum Ergebnis "no exact Solution found" brachten. NIntegrate[0.002, 0.002] - fBesselK[0.002, 0.002]=0.0009765625... Allerdings konvergiert natürlich das Integral langsamer bei kleinen Parametern, was die numerische Integration ungenau werden lässt. Für a & b > 0.5 kann man auch das Integral in 2 Teile aufteilen, & kommt ohne BesselK aus, denn asymptotisch: \sourceon mathematica Asymptotic[Log[x]*2-(a Sqrt[1 + b x^2]), x ->Infinity] = -a Sqrt[b x^2] \sourceoff und ab x>30 reicht für mehr als 15 Stellen diese leicht integrierbare Funktion: \sourceon nameDerSprache Integrate[E^(-a Sqrt[b x^2]), {x, 30, Infinity}] = E^(-30 a Sqrt[b])/(a Sqrt[b]) if Re[a Sqrt[b]]>0 \sourceoff Numerisch muss man nur den vorderen Teil x<30 dazuaddieren.


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hyperG
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-14

Für größere Parameter a & b {E, Pi} reicht eine numerische Integration bis 100, um auf über 90 Stellen genau zu sein: \sourceon mathematica NIntegrate[x^2 Exp[-(E Sqrt[1+Pi x^2])],{x,0,100},WorkingPrecision->90] NIntegrate[E^(Log[x]*2-(E Sqrt[1+Pi x^2])),{x,0,10000},WorkingPrecision->90] N[1/(Pi^(3/2) E)*BesselK[2,E],90] Out[406]= 0.00592973135869620391110847866180246190004981680409602748500104254145596500820713335110579981 Out[407]= 0.00592973135869620391110847866180246190004981680409602748500104254145596500820713335110579981 Out[408]= 0.00592973135869620391110847866180246190004981680409602748500104254145596500820713335110579981 \sourceoff Schon merkwürdig, dass selbst die neuste Version und die Einschränkung Integrate[E^(Log[x]*2 - (a Sqrt[1 + b x^2])), {x, 0, Infinity}, Assumptions -> a > 1 && b > 1] zu keinem Ergebnis kommt... ...wo das Ergebnis doch so "einfach" aussieht. {Mathematica kann sonst mehrere Seiten hypergeometrische Funktionen...}


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MontyPythagoras
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-16

Hallo Küstenkind, Du täuscht Dich nicht. Wenn man wie folgt substituiert: $$\sqrt{1+bx^2}=\cosh t$$$$bx^2=\cosh^2t-1=\sinh^2t$$$$x=\frac1{\sqrt b}\sinh t$$$$\mathrm dx=\frac1{\sqrt b}\cosh t\cdot\mathrm dt$$erhält man für das Integral: $$ I(a,b)=\intop_0^\infty x^2e^{-a\sqrt{1+bx^2}}\mathrm dx$$$$ =\intop_0^\infty\frac{\sinh^2t}{b}e^{-a\cosh t}\frac1{\sqrt b}\cosh t\cdot\mathrm dt$$$$ =\frac1{b\sqrt b}\intop_0^\infty\tfrac12\sinh2t\sinh t\; e^{-a\cosh t}\mathrm dt$$Mittels partieller Integration folgt $$I(a,b)=\frac1{b\sqrt b}\left[\tfrac12\sinh2t\left(-\frac1a\right)e^{-a\cosh t}\right]_0^\infty+\frac1{ab\sqrt b}\intop_0^\infty\cosh2t\; e^{-a\cosh t}\mathrm dt$$Die eckige Klammer ist null, und somit $$I(a,b)=\frac1{ab\sqrt b}\intop_0^\infty\cosh2t\; e^{-a\cosh t}\mathrm dt$$$$I(a,b)=\frac1{ab\sqrt b}K_2(a)$$ Ciao, Thomas


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Kuestenkind
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-16

Huhu Thomas, danke für deine hübsche Herleitung. Etwas allgemeiner gilt: \(\displaystyle f_n(a,b,c)=\int_0^{\infty} x^{2n}\exp\left(-a\sqrt{bx^2+c^2}\right)\, \dd x=\frac{1}{b^{n+1/2}}\frac{c}{\sqrt{\pi}}\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{2c}{a}\right)^nK_{n+1}(ac)\) Das Pavelsche Integral ist dann: \(\displaystyle f_1(a,b,1)=\int_0^{\infty} x^{2}\exp\left(-a\sqrt{bx^2+1}\right)\, \dd x=\frac{1}{b^{1+1/2}}\frac{1}{\sqrt{\pi}}\Gamma\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{2}{a}\right)^1K_{1+1}(a\cdot 1)=\frac{1}{b^{3/2}}\frac{1}{\sqrt{\pi}}\frac{\sqrt{\pi}}{2}\left(\frac{2}{a}\right)^1K_{2}(a)=\frac{1}{b^{3/2}a}K_2(a)\) Gruß, Küstenkind


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