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Mathematik » Notationen, Zeichen, Begriffe » Bildungsvorschrift von A138099 (1, 2, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5,...)
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Kein bestimmter Bereich J Bildungsvorschrift von A138099 (1, 2, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5,...)
Wario
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1, 2, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5, 6, 4, 5, 6, 7, 5, 6, 7, 8, 5, 6, 7, 8, 9, 6, 7, 8, 9, 10, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 9, 10, 11, 12, 13, ....

Wie ist diese Bildungsvorschrift
A138099  Irregular triangle read by rows: T(n,k) = k + floor(n/2), 1 <= k <= ceiling(n/2)
zu verstehen?

Der Teil T(n,k) = k + floor(n/2) ist vermutlich klar, wobei n, k vermutlich für Zeile / Spalte des Dreiecks oder umgekehrt steht.

Aber was ist mit 1 <= k <= ceiling(n/2)?

Und 'ceiling(x)' ist einfach 'ceil(x)' oder wie? Also zur nächsten Ganzzahl aufrunden.




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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-14

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,

du hast es schon richtig gesagt: $n$ steht für die Zeile, $k$ für die Spalte. Dabei hat die $n$-te Zeile genau $\lceil \frac n2\rceil$ Einträge.

Offset 1,2 bedeutet (siehe hier): Die erste Zahl in der Folge entspricht $n=1$ und das erste Folgenglied, dessen Betrag größer als 1 ist, ist das zweite Folgenglied.

Die Folge entspricht also dieser Dreiecksfolge (siehe "Example" in OEIS):
1;

2;

2, 3;

3, 4;

3, 4, 5;

4, 5, 6;

4, 5, 6, 7;

5, 6, 7, 8;
\(\endgroup\)


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Wario
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-14


Achso, also die zwei Angaben beschreiben, wie das irreguläre Dreieck zu besetzen ist.

Um das zu programmieren würde ich vermutlich immer von einem regulären Dreieck ausgehen und die später auszublendenden Stellen mit -1 besetzen, da die Folge positiv definit ist.

Mir ist sowieso gerade wieder unklar, was ich eigentlich machen wollte.
Ich glaube dieses Dreieck in Zeilen- und Spaltenindex erfassen:



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Wario
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-15


Jetzt ist mir wieder alles klar.
1, 2, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5, 6, 4, 5, 6, 7, 5, 6, 7, 8, 5, ....
ist die Folge der Hauptquantenzahlen (übliches Symbol n) in der Reihenfolge der Orbitale, die der Reihe nach besetzt werden.
Und die Interpretation als Zahlenfolgendreieck gibt direkt das Schema in der Abbildung #2 wieder.


Etwas dümmer ist da schon die Folge der Nebenquantenzahlen (übliches Symbol l) in der Reihenfolge der Orbitale, die der Reihe nach besetzt werden:
0,0,1,0,1,0,2,1,0,2,1,0,3,2,1,0,3,2,1,0,4,...



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Wario
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-15


Ja, macht er hier ohne weitere Hilfsmittel mehr oder weniger schön.

<math>
% \begin{tikzpicture}

\foreach \n in {1,...,12}{
\pgfmathsetmacro\RowLength{ceil(\n/2)}
\foreach \k in {1,...,\RowLength}{
$\|$T(\n,\k) = \pgfmathprint{int(\k + floor(\n/2))}
} \\
}
</math>



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Wario
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-15


Ich hätte jetzt aber dennoch nochmal eine Frage:

Was mir bei dieser Dreieckskonstruktionsvorschrift

2021-06-14 09:21 - Wario im Themenstart schreibt:
A138099  Irregular triangle read by rows: T(n,k) = k + floor(n/2), 1 <= k <= ceiling(n/2)

nicht klar ist: Wenn ich jetzt wissen will, welches das n-te Glied (z.B. das 5-te Glied) der Folge ist, woher weiß ich das dann?

Mich beschleicht der Verdacht, dass ich (vgl. in obigem Link) die explizite Bildungsvorschrift
a(n) = n - floor((1/4)*(floor(sqrt(4*n-3))-1)^2)
brauchen werde (für meine Zwecke).
---> Wie leitet man die her?



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-06-15

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)

Mich beschleicht der Verdacht, dass ich (vgl. in obigem Link) die explizite Bildungsvorschrift
a(n) = n - floor((1/4)*(floor(sqrt(4*n-3))-1)^2)
brauchen werde (für meine Zwecke).
---> Wie leitet man die her?
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Ich habe es nicht durchgerechnet, aber das sollte man mit folgender Überlegung beweisen können:

Der Eintrag $T(n,k)$ an Position $(n,k)$ des Dreiecks entspricht dem $m$-ten Folgenglied, wobei $m= \left(\sum_{j=1}^{n-1}\lceil \frac j2 \rceil \right)+k $. ($n-1$ vollständige Spalten und noch $k$ Einträge in der $n$-ten Spalte).
\(\endgroup\)


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Wario
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-20


\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)2021-06-15 22:40 - Nuramon in Beitrag No. 6 schreibt:
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Mich beschleicht der Verdacht, dass ich (vgl. in obigem Link) die explizite Bildungsvorschrift
a(n) = n - floor((1/4)*(floor(sqrt(4*n-3))-1)^2)
brauchen werde (für meine Zwecke).
---> Wie leitet man die her?
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Ich habe es nicht durchgerechnet, aber das sollte man mit folgender Überlegung beweisen können:

Der Eintrag $T(n,k)$ an Position $(n,k)$ des Dreiecks entspricht dem $m$-ten Folgenglied, wobei $m= \left(\sum_{j=1}^{n-1}\lceil \frac j2 \rceil \right)+k $. ($n-1$ vollständige Spalten und noch $k$ Einträge in der $n$-ten Spalte).
\(\endgroup\)


Das wäre grundsätzlich gut, weil man dann jede dreieckige Zahlenfolge $T(n,k)$ in eine explizite Folge $a_m$ überführen könnte.

Ich komme auf $\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\displaystyle
m
=\left(\sum\limits_{j=1}^{n-1}\ceil{\frac j2} \right)+k  
= \ceil{\frac n2} \left( \ceil{\frac n2}-1 \right) +k
$, aber wie soll man jetzt davon auf die explizite Folge $a_m$ schließen?



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-06-20

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
2021-06-20 16:58 - Wario in Beitrag No. 7 schreibt:
Ich komme auf $\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\displaystyle
m
=\left(\sum\limits_{j=1}^{n-1}\ceil{\frac j2} \right)+k  
= \ceil{\frac n2} \left( \ceil{\frac n2}-1 \right) +k
$, aber wie soll man jetzt davon auf die explizite Folge $a_m$ schließen?
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Deine Formel gilt nur für ungerades $n$.

Allgemein muss man die Umkehrung der Abbildung $(n,k)\mapsto m= \left(\sum_{j=1}^{n-1}\lceil \frac j2 \rceil \right)+k$ bestimmen.

Zu gegebenem $m$ berechnet man dazu $n= \max \{\nu\in \IN\mid \sum_{j=1}^{\nu-1}\lceil \frac j2 \rceil <m\}$. Mit $m$ und $n$ lässt sich dann $k$ bestimmen.
\(\endgroup\)


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Wario
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-20


\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)2021-06-20 17:37 - Nuramon in Beitrag No. 8 schreibt:
2021-06-20 16:58 - Wario in Beitrag No. 7 schreibt:
Ich komme auf $\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\displaystyle
m
=\left(\sum\limits_{j=1}^{n-1}\ceil{\frac j2} \right)+k  
= \ceil{\frac n2} \left( \ceil{\frac n2}-1 \right) +k
$, aber wie soll man jetzt davon auf die explizite Folge $a_m$ schließen?
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Deine Formel gilt nur für ungerades $n$.

Allgemein muss man die Umkehrung der Abbildung $(n,k)\mapsto m= \left(\sum_{j=1}^{n-1}\lceil \frac j2 \rceil \right)+k$ bestimmen.

Zu gegebenem $m$ berechnet man dazu $n= \max \{\nu\in \IN\mid \sum_{j=1}^{\nu-1}\lceil \frac j2 \rceil <m\}$. Mit $m$ und $n$ lässt sich dann $k$ bestimmen.
\(\endgroup\)

Also erstmal:
meine Berechnung
 $\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\displaystyle
\left(\sum\limits_{j=1}^{n-1}\ceil{\frac j2} \right)
= \ceil{\frac n2} \left( \ceil{\frac n2}-1 \right)
$ ist falsch, ja?
Ich habe nämlich den riesen Ausdruck von Wolfram|Alpha genommen und mit meinem Ergebnis verglichen und war der Meinung, dass das die Terme übereinstimmen.

Den Rest betrachte ich dann als nächstes.
Und das führt dann schon dazu, dass am Ende
$\newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}
a_n = n - \floor{\frac14 (\floor{\sqrt{4n-3}}-1)^2}
% a(n) = n - floor((1/4)*(floor(sqrt(4*n-3))-1)^2)

$
dasteht?






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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2021-06-20

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
2021-06-20 18:04 - Wario in Beitrag No. 9 schreibt:
Also erstmal:
meine Berechnung
 $\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\displaystyle
\left(\sum\limits_{j=1}^{n-1}\ceil{\frac j2} \right)
= \ceil{\frac n2} \left( \ceil{\frac n2}-1 \right)
$ ist falsch, ja?
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Die Formel stimmt, wenn $n$ ungerade ist. Das kann man leicht im Kopf nachrechnen, denn für $n=2a+1$ ist
$$ \sum\limits_{j=1}^{n-1}\ceil{\frac j2} = 1+1+2+2+3+3+\ldots + a+a = (a+1)a = \ceil{\frac n2}(\ceil{\frac n2}-1).$$ Für gerades $n$ ist die  Formel falsch, aber man erhält leicht eine ähnliche Formel (die sogar noch einfacher ist).
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Den Rest betrachte ich dann als nächstes.
Und das führt dann schon dazu, dass am Ende
$\newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}
a_n = n - \floor{\frac14 \floor{\sqrt{4n-3}}-1)^2}$
dasteht?
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Wie gesagt: Ich habe es nicht selbst nachgerechnet, da das mit mit Fallunterscheidungen vermutlich recht aufwändig wird.
Wenn die OEIS-Formel stimmt, dann sollte man sie so aber begründen können. Vermutlich erhält man einen etwas anderen Ausdruck, den man mit viel Anstarren zu dem Term von OEIS umformen kann.
\(\endgroup\)


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Wario
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-21


Falsch

So, jetzt erstmal die korrekte Nebenrechnung festhalten:

$\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\displaystyle
\begin{array}{l l}
\sum\limits_{j=1}^{n-1}\ceil{\frac j2}
&=\left\lgroup \sum\limits_{p=1}^{P}\ceil{\frac{2p}{2}} \right\rgroup
 +\left\lgroup \sum\limits_{q=1}^{Q}\ceil{\frac{2q-1}{2}} \right\rgroup \\
&=\left\lgroup \sum\limits_{p=1}^{P} p \right\rgroup
 +\left\lgroup \sum\limits_{q=1}^{Q}\ceil{q-\frac{1}{2}} \right\rgroup \\
&=\left\lgroup \sum\limits_{p=1}^{P} p \right\rgroup
 +\left\lgroup \sum\limits_{q=1}^{Q} q \right\rgroup \\
\end{array}$

· Größter Index $P$ von $p$:
$n-1$ gerade $\Rightarrow~ 2p=n-1
~\Rightarrow~
p=\dfrac{n-1}{2}=\ceil{\dfrac{n-1}{2}}$
$n-1$ ungerade $\Rightarrow~ 2p=(n-1)-1
~\Rightarrow~
p=\dfrac{n-1}{2}-\dfrac{1}{2}=\ceil{\dfrac{n-1}{2}}$
$~~~~~\Rightarrow~ P = \ceil{\dfrac{n-1}{2}}$

· Größter Index $Q$ von $q$:
Gleiche Betrachtung, da Summationsterm gleich geartet.
$~~~~~\Rightarrow~ Q = \ceil{\dfrac{n-1}{2}}$

$\displaystyle
\begin{array}{l l l}
\Rightarrow & \sum\limits_{j=1}^{n-1}\ceil{\frac j2}
&=\left\lgroup \sum\limits_{p=1}^{P} p \right\rgroup
 +\left\lgroup \sum\limits_{q=1}^{Q} q \right\rgroup %\\
&&=2 \sum\limits_{p=1}^{\ceil{\frac{n-1}{2}}} p  \\
&&=2\dfrac{P(P-1)}{2} = P(P-1) \\
&&= \ceil{\dfrac{n-1}{2}} \left( \ceil{\dfrac{n-1}{2}}-1 \right)
\end{array}$



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2021-06-21 16:09 - Wario in Beitrag No. 11 schreibt:
$\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\displaystyle
\begin{array}{l l l}
\Rightarrow & \sum\limits_{j=1}^{n-1}\ceil{\frac j2}
&&= \ceil{\dfrac{n-1}{2}} \left( \ceil{\dfrac{n-1}{2}}-1 \right)
\end{array}$

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)2021-06-20 17:37 - Nuramon in Beitrag No. 8 schreibt:
Allgemein muss man die Umkehrung der Abbildung $(n,k)\mapsto m= \left(\sum_{j=1}^{n-1}\lceil \frac j2 \rceil \right)+k$ bestimmen.

Zu gegebenem $m$ berechnet man dazu $n= \max \{\nu\in \IN\mid \sum_{j=1}^{\nu-1}\lceil \frac j2 \rceil <m\}$. Mit $m$ und $n$ lässt sich dann $k$ bestimmen.
\(\endgroup\)

Und schon wieder stehe ich auf dem Schlauch. Wie berechnet man denn

$\displaystyle
\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\begin{array}{l l}
n &=\max\left\{ \nu\in \IN ~\middle|~
     \sum\limits_{j=1}^{\nu-1}\ceil{\frac j2} <m
          \right\} \\
  &=\max\left\{ \nu\in \IN ~\middle|~
     \ceil{\dfrac{\nu-1}{2}} \left( \ceil{\dfrac{\nu-1}{2}}-1 \right) <m
          \right\}
\end{array}$

Geht das überhaupt?



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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Zu No.11:
Der Fall $n$ gerade ist immer noch falsch. Ist auch nicht überaschend, da  du nichts geändert hast und er vorher schon falsch war.

Zu No.12:
Kannst du zu gegebenem $m$ das größte $a\in \IN$ mit $(a+1)a <m$ bestimmen?


\(\endgroup\)


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\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)2021-06-21 21:25 - Nuramon in Beitrag No. 13 schreibt:
1)Zu No.11:
Der Fall $n$ gerade ist immer noch falsch. Ist auch nicht überaschend, da  du nichts geändert hast und er vorher schon falsch war.

2) Zu No.12:
Kannst du zu gegebenem $m$ das größte $a\in \IN$ mit $(a+1)a <m$ bestimmen?
\(\endgroup\)


1) Wieso ist doch zumindest mal ein anderer Term. Wo, an welcher Stelle, ist denn in der Rechnung der Fehler?

2) Moment, Moment. Eins nach dem anderen. Wenn in der Vorarbeit Fehler sind, kann der Rest sowieso nur um die Ohren fliegen.



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Nuramon
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)

1) Wieso ist doch zumindest mal ein anderer Term.
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Ich hatte nur registriert, dass du wieder einen Term der Form $(a+1)a$ erhalten hattest, was falsch ist. Aber du hast recht, dass du einen leicht anderen Term aufgeschrieben hattest.

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Wo, an welcher Stelle, ist denn in der Rechnung der Fehler?
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hier ist der erste Fehler: $$ \dfrac{n-1}{2}-\dfrac{1}{2}\not= \left\lceil{\dfrac{n-1}{2}}\right\rceil$$
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
2) Moment, Moment. Eins nach dem anderen. Wenn in der Vorarbeit Fehler sind, kann der Rest sowieso nur um die Ohren fliegen.
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Ich habe schon weit genug mitgedacht, dass mein Hinweis auch in Zukunft noch hilfreich sein wird, wenn du beide Fälle richtig gelöst hast.
\(\endgroup\)


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Wario
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2021-06-21 21:51 - Nuramon in Beitrag No. 15 schreibt:

2) Moment, Moment. Eins nach dem anderen. Wenn in der Vorarbeit Fehler sind, kann der Rest sowieso nur um die Ohren fliegen.
Ich habe schon weit genug mitgedacht, dass mein Hinweis auch in Zukunft noch hilfreich sein wird, wenn du beide Fälle richtig gelöst hast.

Ja Du vielleicht, aber ich doch nicht. Also ich werde das dann Morgen nochmal neu machen.



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Wario
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-22


\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)2021-06-21 21:51 - Nuramon in Beitrag No. 15 schreibt:
Hier ist der erste Fehler: $$ \dfrac{n-1}{2}-\dfrac{1}{2}\not= \left\lceil{\dfrac{n-1}{2}}\right\rceil$$
\(\endgroup\)

Das bezieht sich doch nur auf den Fall, dass $n-1$ ungerade ist. Wurde das jetzt einfach so genommen, ohne das Dazugeschriebene, im Sinne von dass das jetzt immer und überall gilt?

Jetzt habe ich da wieder ewig rumgefriemelt, nur um darauf zu kommen, dass die Überlegung eigentlich stimmen sollte:

Sei $n-1=N$

<math>
% \begin{tikzpicture}

\newcommand\ceil[1]{\left\lceil#1\right\rceil}
\foreach \N in {0,2,...,8}{% N = n-1
\ifnum\N=0 $N,~ N/2,~ \ceil{\frac{N-1}{2}}$\\    \else
\N,~~
\pgfmathprint{    (\N)/2   },~
\pgfmathprint{    ceil((\N-1)/2)   },~
\\  \fi}


\foreach \N in {0,1,3,...,11}{% N = n-1
\ifnum\N=0 $
N,~
\frac{N-1}{2},~
{\frac{N}{2}-\frac12},~
{\frac{N-1}{2}-\frac12},~~~~
\ceil{\frac{N-1}{2}}
$ \\    \else
\N,~~
\pgfmathprint{    (\N-1)/2   },~~~
\pgfmathprint{    (\N)/2   -1/2},~~~~~~~~~~
\pgfmathprint{    ceil((\N-1)/2-1/2)   },
~~~~~~~~~~~~~~
\pgfmathprint{    ceil((\N-1)/2)   },~
\\  \fi}
</math>

Wie dem auch sei $
\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\displaystyle
\begin{array}{l l l}
& \sum\limits_{j=1}^{n-1}\ceil{\frac j2}
&&= \ceil{\dfrac{n-1}{2}} \left( \ceil{\dfrac{n-1}{2}}-1 \right)
\end{array}
$ scheint trotzdem nicht zu stimmen. Wenn man solche Summen so nicht auswerten, dann habe ich keine Ahnung.



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Nuramon
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Füge deiner Tabelle mal noch die Spalte $\lceil \frac{n-1}2\rceil =\lceil \frac{N}2\rceil $ hinzu.

Und versuche doch einfach die Rechnung aus No.10 auf den Fall $n$ gerade zu übertragen.
\(\endgroup\)


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Wario
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\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)2021-06-22 11:41 - Nuramon in Beitrag No. 18 schreibt:
Füge deiner Tabelle mal noch die Spalte $\lceil \frac{n-1}2\rceil =\lceil \frac{N}2\rceil $ hinzu.

Und versuche doch einfach die Rechnung aus No.10 auf den Fall $n$ gerade zu übertragen.
\(\endgroup\)

Das ist zu umständlich rauszufinden, wie sehr das falsch ist.

Jedenfalls führen folgende "ok"-Kombinationen zum richtigen Ergebnis.
\foreach \N in {1,...,11}{
\N,~
\pgfmathprint{    1/2 *(ceil(1/2 - \N/2)^2 - 3 *ceil(1/2 - \N/2) + floor(\N/2)^2 + floor(\N/2) + 2)    },~
\pgfmathprint{  
(  ceil((\N)/2)*(ceil((\N)/2) +1)   )/2 
+(    ceil((\N+1)/2)*(ceil((\N+1)/2) -1)   )/2
} ok,~
\pgfmathprint{  
(  ceil(\N/2+1)*(ceil(\N/2 +1) -1)   )/2 
+(    ceil((\N+1)/2)*(ceil((\N+1)/2) -1)   )/2
} ok,~
\pgfmathprint{
(  ceil((\N-1)/2)*(ceil((\N-1)/2) -1)   )/2 
+(    ( ceil((\N+2)/2) -1 ) *( (ceil((\N+2)/2) -1) -1)   )/2
} xxx,~
\\}
 Gerade nur Code, kein TeX


Aber irgendwie schaffe ich es nicht, die Fallunterscheidung dafür zu lösen.

Ich will das im Geiste eines allgemeinen Verfahrens lösen (also etwa gemäß #10); kein Einzelfallkniff, der mir nie wieder etwas nützt.
Die Folge hier ist, wie sich rausstellte, eh unwichtig; aber man kann ja das Verfahren daran üben (also die Herleitung der expliziten Form aus der Dreiecksdarstellung).





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Nuramon
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
2021-06-22 20:55 - Wario in Beitrag No. 19 schreibt:
Das ist zu umständlich rauszufinden, wie sehr das falsch ist.
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Weil du es umständlich machst. Interessant sind doch nur die Spalten $\frac{n-1}2-\frac 12$ und $\lceil \frac{n-1}2\rceil$. Warum du den ganzen anderen Kram ausgerechnet hast, weißt nur du.

Du könntest auch einfach mal von Hand die Summe für ein paar gerade $n$ ausrechnen. Man sieht ziemlich schnell, was die richtige Formel ist.

Und noch eine dritte Möglichkeit: Es ist $\sum_{k=0}^{n-1}f(k) = \sum_{k=0}^{n-2}f(k) + f(n-1)$.
\(\endgroup\)


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\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)2021-06-22 21:06 - Nuramon in Beitrag No. 20 schreibt:
2021-06-22 20:55 - Wario in Beitrag No. 19 schreibt:
Das ist zu umständlich rauszufinden, wie sehr das falsch ist.
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Weil du es umständlich machst. Interessant sind doch nur die Spalten $\frac{n-1}2-\frac 12$ und $\lceil \frac{n-1}2\rceil$. Warum du den ganzen anderen Kram ausgerechnet hast, weißt nur du.

Du könntest auch einfach mal von Hand die Summe für ein paar gerade $n$ ausrechnen. Man sieht ziemlich schnell, was die richtige Formel ist.

Und noch eine dritte Möglichkeit: Es ist $\sum_{k=0}^{n-1}f(k) = \sum_{k=0}^{n-2}f(k) + f(n-1)$.
\(\endgroup\)

Das hatte ich doch alles erklärt:
Das Thema lautet "Umwandlung der Dreieckdarstellung einer Folge in die explizite Form."
Dazu möchte ich ein geschlossenes Verfahren aufstellen.
Dieses Verfahren scheint mir in der Aufteilung der Summe in gerade und ungerade Summanden zu liegen (#10) - wenn es allgemein besser geht, bittesehr.

Aber ich suche nicht die geniale Lösung für einen speziellen Sonderfall, der -wie ich auch schon sagte- völlig irrelevant ist, der hält hier nur noch als Testbeispiel her.

Ich verstehe nicht, wieso das so schwer nachvollziehbar ist. Bzw. mir ist es klar (aber ich verstehe diese Denkweise nicht): Der Geisteswissenschaftler, also auch der Mathematiker, will grundsätzlich irgendwelche genialen Einzelbetrachtungen abliefern. So wie der Schriftsteller immer geniale Einzelleistungen zusammenschreiben will. Mittelbar hängt ja eh alles zusammen -  basiert ja alles auf den natürlichen Zahlen, steht ja jedes Wort im Wörterbuch, darauf beruft er sich, also grad mal drauf gepfiffen.

Es geht um das Verfahren! Und das müsste so gehen, wie ich mir das vorstelle, aber da mache ich etwas falsch bzw. verrechne mich.  
Diese eine spezielle Folge interessiert doch überhaupt niemanden! Daher nützt mir keine vierte, fünfte, sechste,... Möglichkeit für diese eine spezielle Folge.



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Wario
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So jetzt aber:

$\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\displaystyle
\begin{array}{l l}
\sum\limits_{j=1}^{N}\ceil{\frac j2}
&=\left\lgroup \sum\limits_{p=1}^{P}\ceil{\frac{2p}{2}} \right\rgroup
 +\left\lgroup \sum\limits_{q=1}^{Q}\ceil{\frac{2q-1}{2}} \right\rgroup \\
&=\left\lgroup \sum\limits_{p=1}^{P} p \right\rgroup
 +\left\lgroup \sum\limits_{q=1}^{Q}\ceil{q-\frac{1}{2}} \right\rgroup \\
&=\left\lgroup \sum\limits_{p=1}^{P} p \right\rgroup
 +\left\lgroup \sum\limits_{q=1}^{Q} q \right\rgroup %\\
=\dfrac{P(P+1)}{2} +\dfrac{Q(Q+1)}{2}
\end{array}$

· Größter Index $P$ von $p$:
$N$ gerade $\Rightarrow~ 2p=N
~\Rightarrow~
p=\dfrac{N}{2} =\ceil{\dfrac{N}{2}}
=\ceil{\dfrac{N}{2}-\dfrac{1}{2}} =\ceil{\dfrac{N-1}{2}}
$
$N$ ungerade $\Rightarrow~ 2p=N-1
~\Rightarrow~
p=\dfrac{N-1}{2}=\ceil{\dfrac{N-1}{2}}$
$~~~~~\Rightarrow~ P = \ceil{\dfrac{N-1}{2}}$

· Größter Index $Q$ von $q$:
$N$ gerade $\Rightarrow~ 2q-1=N-1
~\Rightarrow~
q=\dfrac{N}{2} =\ceil{\dfrac{N}{2}}$
$N$ ungerade $\Rightarrow~ 2q-1=N
~\Rightarrow~
p=\dfrac{N+1}{2}=\ceil{\dfrac{N}{2}}$
$~~~~~\Rightarrow~ Q = \ceil{\dfrac{N}{2}}$

$\displaystyle
\begin{array}{l l l}
\Rightarrow & \sum\limits_{j=1}^{N}\ceil{\frac j2}
&=\left\lgroup \sum\limits_{p=1}^{P} p \right\rgroup
 +\left\lgroup \sum\limits_{q=1}^{Q} q \right\rgroup %\\
=\left\lgroup \sum\limits_{p=1}^{\ceil{\frac{N-1}{2}}} p \right\rgroup
 +\left\lgroup \sum\limits_{q=1}^{\ceil{\frac{N}{2}}} q \right\rgroup \\
&&=\dfrac{P(P+1)}{2} + \dfrac{Q(Q+1)}{2} \\
&&=\dfrac{\ceil{\dfrac{N-1}{2}} \left( \ceil{\dfrac{N-1}{2}}+1 \right)}{2}
+ \dfrac{\ceil{\dfrac{N}{2}} \left( \ceil{\dfrac{N}{2}}+1 \right)}{2}
\end{array}$

$\Rightarrow$ Ergebnis der Nebenrechnung ($N=n-1$):
$\displaystyle
\begin{array}{l l l}
\sum\limits_{j=1}^{n-1}\ceil{\frac j2}
&=\dfrac{\ceil{\dfrac{n-2}{2}} \left( \ceil{\dfrac{n-2}{2}}+1 \right)}{2}
+ \dfrac{\ceil{\dfrac{n-1}{2}} \left( \ceil{\dfrac{n-1}{2}}+1 \right)}{2} \\
&=  \dfrac{ \left( \ceil{\dfrac{n}{2}}-1 \right) \ceil{\dfrac{n}{2}}}{2}
+ \dfrac{\ceil{\dfrac{n-1}{2}} \left( \ceil{\dfrac{n-1}{2}}+1 \right)}{2}
 & \Bigg|~{\small \text{da}~ \ceil{x+k}=\ceil{x}+k,~~ k \in \mathbb{Z}}
\end{array}$



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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Gut, jetzt hast du eine richtige Formel. Nur leider in einer Form, die ziemlich unbrauchbar ist.

Setze mal $n=2a$ bzw. $n=2a+1$ in deine Formel ein und vereinfache.
\(\endgroup\)


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Wario
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\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)2021-06-23 17:11 - Nuramon in Beitrag No. 23 schreibt:
Gut, jetzt hast du eine richtige Formel. Nur leider in einer Form, die ziemlich unbrauchbar ist.

Setze mal $n=2a$ bzw. $n=2a+1$ in deine Formel ein und vereinfache.
\(\endgroup\)

Wie, was? So sieht man dann, dass entweder in beiden Fällen das gleiche rauskommt oder man generiert eine Fallunterscheidung?

Ich sehe gerade nur die Vereinfachung:
$\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\dfrac{\ceil{\dfrac{n-2}{2}} \left( \ceil{\dfrac{n-2}{2}}+1 \right)}{2}
+ \dfrac{\ceil{\dfrac{n-1}{2}} \left( \ceil{\dfrac{n-1}{2}}+1 \right)}{2}
\\ =  \dfrac{ \left( \ceil{\dfrac{n}{2}}-1 \right) \ceil{\dfrac{n}{2}}}{2}
+ \dfrac{\ceil{\dfrac{n-1}{2}} \left( \ceil{\dfrac{n-1}{2}}+1 \right)}{2}
  \Bigg|~{\small \text{da}~ \ceil{n+k}=\ceil{n}+k,~~ k \in \mathbb{Z}} $
Geht es noch vereinfachter?



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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Tu doch mal das, was man dir sagt. 🙂

Nimm an $n$ ist gerade, also $n=2a$. Dann vereinfache deinen Term, so dass keine Aufrundklammern mehr vorkommen. Anschließend tu das gleiche mit ungeradem $n$, also $n=2a+1$
\(\endgroup\)


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\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)2021-06-23 20:29 - Nuramon in Beitrag No. 25 schreibt:
Tu doch mal das, was man dir sagt. 🙂

Nimm an $n$ ist gerade, also $n=2a$. Dann vereinfache deinen Term, so dass keine Aufrundklammern mehr vorkommen. Anschließend tu das gleiche mit ungeradem $n$, also $n=2a+1$
\(\endgroup\)

Ja, zu Befehl. Ich habe das schon hier niedergeschmiert.
Ist ja verblüffend.

$\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\displaystyle
S(n)
=\sum\limits_{j=1}^{n-1}\ceil{\frac j2}
=\dfrac{ \left( \ceil{\dfrac{n}{2}}-1 \right) \ceil{\dfrac{n}{2}}}{2}
+ \dfrac{\ceil{\dfrac{n-1}{2}} \left( \ceil{\dfrac{n-1}{2}}+1 \right)}{2}$

$S(2a)=a^2$ und $S(2a+1)=a^2+a$.

Das müsste man jetzt aber wieder zusammenfassen. Ich will doch nicht so ein Fallunterscheidungsding da reinbringen.



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Nuramon
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Als nächstes willst du ja zu gegebenem $m$ das größte $n$ mit $S(n)<m$ finden. Ob es dazu hilfreich ist, die Fallunterscheidung durch einen unhandlichen Term zu ersetzen, wage ich zu bezweifeln. Umständlich wird die Rechnung auf jeden Fall und weiter als bis hierhin habe ich nicht gerechnet (wie ich schon mehrfach sagte). Vielleicht denke ich am Wochenende noch einmal darüber nach, ob es irgendwie einfacher geht.
\(\endgroup\)


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Wario
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Falsch.
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)2021-06-23 21:01 - Nuramon in Beitrag No. 27 schreibt:
Als nächstes willst du ja zu gegebenem $m$ das größte $n$ mit $S(n)<m$ finden. Ob es dazu hilfreich ist, die Fallunterscheidung durch einen unhandlichen Term zu ersetzen, wage ich zu bezweifeln. Umständlich wird die Rechnung auf jeden Fall und weiter als bis hierhin habe ich nicht gerechnet (wie ich schon mehrfach sagte). Vielleicht denke ich am Wochenende noch einmal darüber nach, ob es irgendwie einfacher geht.
\(\endgroup\)

Jetzt muss ich das ja alles unter den Bedingungen $n$ gerade bzw. $n$ ungerade machen.
Also schreibe ich das mal alles auf:


$\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}
\displaystyle
S(n)
=\sum\limits_{j=1}^{n-1}\ceil{\frac j2}
=\dfrac{ \left( \ceil{\dfrac{n}{2}}-1 \right) \ceil{\dfrac{n}{2}}}{2}
+ \dfrac{\ceil{\dfrac{n-1}{2}} \left( \ceil{\dfrac{n-1}{2}}+1 \right)}{2}$
$\displaystyle
n =\max\left\{  \nu\in \IN ~\middle|~ S(\nu)<m  \right\}$

$S(2a)=a^2$ und $S(2a+1)=a^2+a$.

Sei $\displaystyle
a_g =\max\left\{  a\in \IN ~\middle|~ S(2a)<m  \right\}
$ und $n_g = 2a_g;$
$\displaystyle
a_u =\max\left\{  a\in \IN ~\middle|~ S(2a+1)<m  \right\}
$ und $n_u = 2a_u+1.$
$n=\max\{n_g,n_u\}$





1. Fall: $n_g := 2a,~ S(2a)=a^2$

$S(2a)<m
~\Leftrightarrow~
a^2 <m
~\Rightarrow~
|a| < \sqrt{m}
~\Leftrightarrow~
-\sqrt{m} < a < \sqrt{m} \\
~\Leftrightarrow~
a=\dfrac{n_g}{2} < m
~\Leftrightarrow~ n_g < 2\sqrt{m}$


$\Rightarrow$ Ergebnis: $n_g =\floor{2\sqrt{m}}$   (richtig?)



2. Fall: $n_u := 2a+1,~ S(2a+1)=a^2+a$

$S(2a+1)<m
~\Leftrightarrow~
a^2 +a <m
~\Leftrightarrow~
a^2 +a -m <0 $

N.R.: $a^2 +a -m = 0
~\Leftrightarrow~
a_{1/2} =\dfrac{\pm \sqrt{4m+1}-1}{2}$

$\Rightarrow~
(a-a_1)(a-a_2)<0$

I. Fall: $(a-a_1)>0  ~\land~ (a-a_2)<0
~\Leftrightarrow~
a>a_1 ~\land~ a<a_2$
 
$\Rightarrow %\\
a > \dfrac{\sqrt{4m+1}-1}{2}
~\land~
a < \dfrac{-\sqrt{4m+1}-1}{2}$
nicht möglich.

II. Fall: $(a-a_1)<0  ~\land~ (a-a_2)>0
~\Leftrightarrow~
a<a_1 ~\land~ a>a_2$
 
$\Rightarrow %\\
a < \dfrac{\sqrt{4m+1}-1}{2}
~\land~
a > \dfrac{-\sqrt{4m+1}-1}{2} \\
~\Leftrightarrow~
\dfrac{-\sqrt{4m+1}-1}{2} < a < \dfrac{\sqrt{4m+1}-1}{2}$

$\Rightarrow  
a=\dfrac{n_u-1}{2} < \dfrac{\sqrt{4m+1}-1}{2}
~\Leftrightarrow~
n_u < \sqrt{4m+1}$

$\Rightarrow$ Ergebnis: $n_u =\floor{\sqrt{4m+1}}$    (richtig?)




Aber wie geht es jetzt nochmal weiter?



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.29, eingetragen 2021-06-24

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Nicht ganz.

Erstens wäre es toll, wenn du deine Variablen definierst. Ich gehe davon aus, dass $n_g:= 2\max\{a\in \IN \mid S(2a)<m\}$ und $n_u:=2\max\{a\in \IN\mid S(2a+1)<m\}+1$. Damit wäre dann $n=\max\{n_g,n_u\}$.

Dann gibt es in der Rechnung noch kleine Fehler.
Fange im ersten Fall (Bestimmung von $n_g$) am besten nicht mit $S(2a)<m$ an, sondern mit $S(2a)\leq m-1$. Sonst stimmt am Ende was mit der Gaußklammer nicht: Die größte ganze Zahl $\leq \sqrt m$ ist nämlich nur dann gleich $\lfloor \sqrt m\rfloor$, wenn $m$ keine Quadratzahl ist.
Außerdem gehört am Ende die Multiplikation mit $2$ außerhalb der Gaußklammer, wegen $n_g=2a$.

Analoges für den ungeraden Fall.


Aber wie geht es jetzt nochmal weiter?
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Wir wollen $a_m=T(n,k)$ berechnen, wobei $n$ und $k$ von $m$ abhängen durch die Beziehung $m=S(n)+k$, $1\leq k \leq \lceil \frac m2\rceil$.

Momentan sind wir dabei $n$ durch $m$ auszudrücken.
Mittels $k= m-S(n)$ haben wir dann auch $k$ durch $m$ ausgedrückt.
Damit können wir dann $T(n,k)$ durch $m$ ausdrücken. Das wird aber ein ekliger Ausdruck, den wir hoffentlich irgendwie zu m - floor((1/4)*(floor(sqrt(4*m-3))-1)^2) vereinfachen können, wie auf OEIS behauptet wird.
\(\endgroup\)


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Wario
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.30, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-25


Falsch.

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)2021-06-24 17:59 - Nuramon in Beitrag No. 29 schreibt:
Nicht ganz.

Erstens wäre es toll, wenn du deine Variablen definierst. Ich gehe davon aus, dass $n_g:= 2\max\{a\in \IN \mid S(2a)<m\}$ und $n_u:=2\max\{a\in \IN\mid S(2a+1)<m\}+1$. Damit wäre dann $n=\max\{n_g,n_u\}$.

Dann gibt es in der Rechnung noch kleine Fehler.
Fange im ersten Fall (Bestimmung von $n_g$) am besten nicht mit $S(2a)<m$ an, sondern mit $S(2a)\leq m-1$. Sonst stimmt am Ende was mit der Gaußklammer nicht: Die größte ganze Zahl $\leq \sqrt m$ ist nämlich nur dann gleich $\lfloor \sqrt m\rfloor$, wenn $m$ keine Quadratzahl ist.
Außerdem gehört am Ende die Multiplikation mit $2$ außerhalb der Gaußklammer, wegen $n_g=2a$.

Analoges für den ungeraden Fall.
\(\endgroup\)

Erstmal nochmal zu dieser Rechnung.

·Ich halte das nicht für sinnvoll, das "$S(2a)\leq m-1$" gleich zu machen und dann durch die Rechnung zu schleifen.
· Solche Rechenausdrücke mit Mengenoperatoren "$n_u:=2\max\{a\in \IN\mid S(2a+1)<m\}+1$" gefallen mir nicht, dafür führen wir Platzhalter ein.



$\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}
\displaystyle
S(n)
=\sum\limits_{j=1}^{n-1}\ceil{\frac j2}
=\dfrac{ \left( \ceil{\dfrac{n}{2}}-1 \right) \ceil{\dfrac{n}{2}}}{2}
+ \dfrac{\ceil{\dfrac{n-1}{2}} \left( \ceil{\dfrac{n-1}{2}}+1 \right)}{2}$
$\displaystyle
n =\max\left\{  \nu\in \IN ~\middle|~ S(\nu)<m  \right\}$

$S(2a)=a^2$ und $S(2a+1)=a^2+a$.

Sei $\displaystyle
a_g =\max\left\{  a\in \IN ~\middle|~ S(2a)<m  \right\}
$ und $n_g = 2a_g;$
$\displaystyle
a_u =\max\left\{  a\in \IN ~\middle|~ S(2a+1)<m  \right\}
$ und $n_u = 2a_u+1.$
$n=\max\{n_g,n_u\}.$


1. Fall: $n_g := 2a_g,~ S(2a)=a^2$

$S(2a)<m
~\Leftrightarrow~
a^2 <m
~\Rightarrow~
|a| < \sqrt{m} \\
~\Leftrightarrow~
-\sqrt{m} < a < \sqrt{m}$

$\Rightarrow~
a \leq \sqrt{m}-1
\Rightarrow~
a_g = \floor{\sqrt{m}-1} = \dfrac{n_g}{2}
~\Leftrightarrow~
\underline{  n_g =2\floor{\sqrt{m}-1}  }$


2. Fall: $n_u := 2a_u+1,~ S(2a+1)=a^2+a$

$S(2a+1)<m
~\Leftrightarrow~
a^2 +a <m
~\Leftrightarrow~
a^2 +a -m <0
$

N.R.: $a^2 +a -m = 0
~\Leftrightarrow~
a_{1/2} =\dfrac{\pm \sqrt{4m+1}-1}{2}$

$\Rightarrow~
(a-a_1)(a-a_2)<0$

I. Fall: $(a-a_1)>0  ~\land~ (a-a_2)<0
~\Leftrightarrow~
a>a_1 ~\land~ a<a_2$
 
$\Rightarrow %\\
a > \dfrac{\sqrt{4m+1}-1}{2}
~\land~
a < \dfrac{-\sqrt{4m+1}-1}{2}$
nicht möglich.

II. Fall: $(a-a_1)<0  ~\land~ (a-a_2)>0
~\Leftrightarrow~
a<a_1 ~\land~ a>a_2$
 
$\Rightarrow %\\
a < \dfrac{\sqrt{4m+1}-1}{2}
~\land~
a > \dfrac{-\sqrt{4m+1}-1}{2} \\
~\Leftrightarrow~
\dfrac{-\sqrt{4m+1}-1}{2} < a < \dfrac{\sqrt{4m+1}-1}{2}$

$\Rightarrow~
a \leq \dfrac{\sqrt{4m+1}-1}{2}-1
~\Leftrightarrow~
a \leq \dfrac{\sqrt{4m+1}-3}{2} \\
~\Rightarrow~
a_u =\floor{\dfrac{\sqrt{4m+1}-3}{2}}
   =\dfrac{n_u-1}{2}  %\\
~\Leftrightarrow~
\underline{  n_u=2\floor{\dfrac{\sqrt{4m+1}-3}{2}} +1  }
$


N.R.:  
$\begin{array}{l l l}
n_u &=2\floor{\dfrac{\sqrt{4m+1}-3}{2}} +1
&= 2\floor{\dfrac{2\sqrt{m+\frac14}-3}{2}} +1 \\
&&< 2\floor{\sqrt{m+\frac14} -\frac32} \\
&&< 2\floor{\sqrt{m}-1} =n_g
\end{array}$

$n=\max\{n_g,n_u\} =n_g
=\underline{\underline{  2\floor{\sqrt{m}-1} =n  }}$



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Wario
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Falsch.

In #30 scheint etwas falsch zu sein, denn ich komme mit

$\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}
S(n)
=\dfrac{ \left( \ceil{\dfrac{n}{2}}-1 \right) \ceil{\dfrac{n}{2}}}{2}
+ \dfrac{\ceil{\dfrac{n-1}{2}} \left( \ceil{\dfrac{n-1}{2}}+1 \right)}{2}
$    (#22)

und $k = m-S(n)$

und $n=2\floor{\sqrt{m}-1}
\def\n{2\floor{\sqrt{m}-1}}
$   (#30)

$\displaystyle
\begin{array}{l l}
a_m &=T(n,k)= \floor{\dfrac{n}{2}}+k \\
&= \floor{\dfrac{\n}{2}} +m
-\dfrac{ \left( \ceil{\dfrac{\n}{2}}-1 \right) \ceil{\dfrac{\n}{2}}}{2}
- \dfrac{\ceil{\dfrac{\n-1}{2}} \left( \ceil{\dfrac{\n-1}{2}}+1 \right)}{2} \\
&=\dots \\
&=m-1 +\floor{\sqrt{m}} \left( 2-\floor{\sqrt{m}} \right)
~~:~ 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 5, 6, 7,\dots
\end{array}$

Das erwartete Ergbnis ist aber $1, 2, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5, 6, 4, 5, 6, 7, 5, 6, 7, 8,\dots$     (#0).



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.32, eingetragen 2021-06-27

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Ein paar Fehler, die mir in #30 bei oberflächlichem Lesen auffallen:


·Ich halte das nicht für sinnvoll, das "S(2a)≤m−1" gleich zu machen und dann durch die Rechnung zu schleifen.
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Aus $a\in \IN$ und $a<\sqrt m$ folgt nicht, dass $a\leq\sqrt{m}-1$. Mein Hinweis aus No.29 war nicht da um dich zu ärgern.

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
N.R.:  
$\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}
\begin{array}{l l l}
n_u &=2\floor{\dfrac{\sqrt{4m+1}-3}{2}} +1
&= 2\floor{\dfrac{2\sqrt{m+\frac14}-3}{2}} +1 \\
&&< 2\floor{\sqrt{m+\frac14} -\frac32} \\
&&< 2\floor{\sqrt{m}-1} =n_g
\end{array}$

$n=\max\{n_g,n_u\} =n_g
=\underline{\underline{  2\floor{\sqrt{m}-1} =n  }}$

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Diese Nebenrechnung ist falsch (das erste $<$ stimmt nicht).
Man kann das Maximum auch leider nicht so einfach los werden (zumindest nicht so wie du es versuchst), denn es gibt halt $m$ für die $n_g$ größer ist und es gibt $m$ für die $n_u$ größer ist. Wäre das nämlich nicht so, dann wäre ja $n$ immer gerade bzw. immer ungerade.

Wenn es nach diesen Korrekturen noch nicht stimmt, dann schaue ich mir die Rechnung gern noch genauer an.
\(\endgroup\)


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.33, eingetragen 2021-06-27

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\)
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)2021-06-23 21:01 - Nuramon in Beitrag No. 27 schreibt:
Vielleicht denke ich am Wochenende noch einmal darüber nach, ob es irgendwie einfacher geht.
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\)
Eine Herleitung der Formel
$$ a_m = m - \floor{\frac 14(\floor{\sqrt{4m-3}}-1)^2}$$ habe ich noch nicht gefunden, aber immerhin einen Beweis:

Bisher haben wir ja den Ansatz verfolgt $T(n,k)= m - \floor{\frac 14(\floor{\sqrt{4m-3}-1})^2}$ (*) zu zeigen, indem wir $n$ und $k$ in Abhängigkeit von $m$ schreiben und dann einsetzen.
Andersherum geht es rechnerisch einfacher: Wir schreiben $m$ in Abhängigkeit von $n$ und $k$ und rechnen dann die Gleichung nach.

Mit den Bezeichungen wie bisher gilt $m=S(n)+k$ mit $1\leq k \leq \ceil {\frac n2}$.
Wenn man jetzt wieder die Fälle $n=2a$ bzw. $n=2a+1$ unterscheidet, dann lässt sich (*) beide mal recht leicht nachrechnen. Die einzige Schwierigkeit besteht jeweils darin den Term $\floor{\sqrt{4m-3}}$ zu vereinfachen. Wenn man scharf hinsieht und sich an die binomischen Formeln erinnert, dann kann man in beiden Fällen schnell eine natürliche Zahl $x$ mit $x^2 \leq 4m-3 < (x+1)^2$ angeben.

Reicht dir das oder soll ich es vorrechnen?

Wie man überhaupt auf die Formel (*) kommt, ist damit leider noch nicht geklärt.
\(\endgroup\)


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Wario
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.34, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-28


\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)2021-06-24 17:59 - Nuramon in Beitrag No. 29 schreibt:
Nicht ganz.

Erstens wäre es toll, wenn du deine Variablen definierst. Ich gehe davon aus, dass $n_g:= 2\max\{a\in \IN \mid S(2a)<m\}$ und $n_u:=2\max\{a\in \IN\mid S(2a+1)<m\}+1$. Damit wäre dann $n=\max\{n_g,n_u\}$.

Dann gibt es in der Rechnung noch kleine Fehler.
Fange im ersten Fall (Bestimmung von $n_g$) am besten nicht mit $S(2a)<m$ an, sondern mit $S(2a)\leq m-1$. Sonst stimmt am Ende was mit der Gaußklammer nicht: Die größte ganze Zahl $\leq \sqrt m$ ist nämlich nur dann gleich $\lfloor \sqrt m\rfloor$, wenn $m$ keine Quadratzahl ist.
Außerdem gehört am Ende die Multiplikation mit $2$ außerhalb der Gaußklammer, wegen $n_g=2a$.

Analoges für den ungeraden Fall.
\(\endgroup\)

Erstmal nochmal zu dieser Rechnung.




$\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}
\displaystyle
S(n)
=\sum\limits_{j=1}^{n-1}\ceil{\frac j2}
=\dfrac{ \left( \ceil{\dfrac{n}{2}}-1 \right) \ceil{\dfrac{n}{2}}}{2}
+ \dfrac{\ceil{\dfrac{n-1}{2}} \left( \ceil{\dfrac{n-1}{2}}+1 \right)}{2}$
$\displaystyle
n =\max\left\{  \nu\in \IN ~\middle|~ S(\nu)<m  \right\}$

$S(2a)=a^2$ und $S(2a+1)=a^2+a$.

Sei $\displaystyle
a_g =\max\left\{  a\in \IN ~\middle|~ S(2a)<m  \right\}
$ und $n_g = 2a_g;$
$\displaystyle
a_u =\max\left\{  a\in \IN ~\middle|~ S(2a+1)<m  \right\}
$ und $n_u = 2a_u+1.$
$n=\max\{n_g,n_u\}.$


1. Fall: $n_g := 2a_g,~ S(2a)=a^2<m$

$S(2a)<m
~\Leftrightarrow~
S(2a) \leq m-1
~\Leftrightarrow~
a^2 \leq m-1
~\Rightarrow~
|a| < \sqrt{m-1} \\
~\Leftrightarrow~
-\sqrt{m-1} < a < \sqrt{m-1}$

$\Rightarrow~
a \leq \sqrt{m-1}
\Rightarrow~
a_g = \floor{\sqrt{m-1}} = \dfrac{n_g}{2}
~\Leftrightarrow~
\underline{  n_g =2\floor{\sqrt{m-1}}  }$


2. Fall: $n_u := 2a_u+1,~ S(2a+1)=a^2+a <m$

$S(2a+1)<m
~\Leftrightarrow~
S(2a+1) \leq m-1
~\Leftrightarrow~
a^2 +a \leq m-1
~\Leftrightarrow~
a^2 +a -m+1 <0
$

N.R.: $a^2 +a -m+1 = 0
~\Leftrightarrow~
a_{1/2} =\dfrac{\pm \sqrt{4m-3}-1}{2}$

$\Rightarrow~
(a-a_1)(a-a_2)<0$

I. Fall: $(a-a_1)\geq 0  ~\land~ (a-a_2) \leq 0
~\Leftrightarrow~
a \geq a_1 ~\land~ a \leq a_2$
 
$\Rightarrow %\\
a \geq \dfrac{\sqrt{4m-3}-1}{2}
~\land~
a \leq \dfrac{-\sqrt{4m-3}-1}{2}$
nicht möglich.

II. Fall: $(a-a_1) \leq 0  ~\land~ (a-a_2) \geq 0
~\Leftrightarrow~
a \leq a_1 ~\land~ a \geq a_2$
 
$\Rightarrow %\\
a \leq \dfrac{\sqrt{4m+1}-1}{2}
~\land~
a \geq \dfrac{-\sqrt{4m-3}-1}{2} \\
~\Leftrightarrow~
\dfrac{-\sqrt{4m-3}-1}{2} < a < \dfrac{\sqrt{4m+1}-1}{2}$


$\Rightarrow~
a \leq \dfrac{\sqrt{4m-3}-1}{2}
~\Rightarrow~
a_u =\floor{\dfrac{\sqrt{4m-3}-1}{2}}
   =\dfrac{n_u-1}{2}  %\\
~\Leftrightarrow~
\underline{  n_u=2\floor{\dfrac{\sqrt{4m-3}-1}{2}} +1  }
$

_________________________________________________________


$S(n)
=\dfrac{ \left( \ceil{\dfrac{n}{2}}-1 \right) \ceil{\dfrac{n}{2}}}{2}
+ \dfrac{\ceil{\dfrac{n-1}{2}} \left( \ceil{\dfrac{n-1}{2}}+1 \right)}{2}
$    (#22)

und $k = m-S(n)$

und $n=\max\{n_g,n_u\}.$  

1. Fall: $n=\max\{n_g,n_u\} =n_g
=2\floor{\sqrt{m-1}}$

$\def\n{2\floor{\sqrt{m-1}}}
\displaystyle
\begin{array}{l l}
a(m) &=T(n,k) =\floor{\dfrac{n}{2}}+k =\floor{\dfrac{n}{2}}+m-S(n) \\
&= \floor{\dfrac{\n}{2}} +m
-\dfrac{ \left( \ceil{\dfrac{\n}{2}}-1 \right) \ceil{\dfrac{\n}{2}}}{2}
- \dfrac{\ceil{\dfrac{\n-1}{2}} \left( \ceil{\dfrac{\n-1}{2}}+1 \right)}{2} \\
&= \floor{\sqrt{m-1}} +m
-\dfrac{ \left( \floor{\sqrt{m-1}}-1 \right) \floor{\sqrt{m-1}}}{2}
- \dfrac{\floor{\sqrt{m-1}} \left( \floor{\sqrt{m-1}}+1 \right)}{2} \\
&=m+\floor{\sqrt{m-1}}-\floor{\sqrt{m-1}}^2
~~:~ 1,2,3,4,3,4,5,6,7,4,5,6,7,\dots
\end{array}$


2. Fall: $n=\max\{n_g,n_u\} =n_u
=2\floor{\dfrac{\sqrt{4m-3}-1}{2}} +1 $

$\def\n{2\floor{\dfrac{\sqrt{4m-3}-1}{2}} +1 }
\displaystyle
\begin{array}{l l}
a(m) &=T(n,k) =\floor{\dfrac{n}{2}}+k =\floor{\dfrac{n}{2}}+m-S(n) \\
&= \floor{\dfrac{\n}{2}} +m
-\dfrac{ \left( \ceil{\dfrac{\n}{2}}-1 \right) \ceil{\dfrac{\n}{2}}}{2}
- \dfrac{\ceil{\dfrac{\n-1}{2}} \left( \ceil{\dfrac{\n-1}{2}}+1 \right)}{2} \\
&= \floor{\dfrac{\sqrt{4m-3}-1}{2}} +m
-\dfrac{ \floor{\dfrac{\sqrt{4m-3}-1}{2}} \left( \floor{\dfrac{\sqrt{4m-3}-1}{2}} +1 \right)}{2}
- \dfrac{\floor{\dfrac{\sqrt{4m-3}-1}{2}} \left( \floor{\dfrac{\sqrt{4m-3}-1}{2}}+1 \right)}{2} \\
&=m-\floor{\dfrac{\sqrt{4m-3}-1}{2}}^2
~~:~ 1,2,2,3,4,5,3,4,5,6,7,8,4,\dots
\end{array}$





Die beiden Ergebnisse müsste man jetzt irgendwie zur OEIS-Formel
$\displaystyle
a(m) =  m - \floor{\dfrac{(\floor{\sqrt{4m-3}}-1)^2}{4}}
~:~ 1, 2, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5, 6, 4, 5, 6, 7, 5, 6, 7, 8,\dots$
zusammenfassen...



PS: Der formale Beweis, dass die OEIS-Formel stimmt ist mir weniger wichtig. Mir geht es primär um das Umwandlungsverfahren und die richtig Rechnung zu dieser willkürlichen Beispielfolge.



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Nuramon
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\)

PS: Der formale Beweis, dass die OEIS-Formel stimmt ist mir weniger wichtig. Mir geht es primär um das Umwandlungsverfahren und die richtig Rechnung zu dieser willkürlichen Beispielfolge.
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\)
Du scheinst davon auszugehen, dass es so etwas wie einen allgemeinen Lösungsweg gibt, der für jede Dreiecksfolge funktioniert und den man hier nur durchexerzieren muss. Das ist aber nicht so.
Ich habe jedenfalls jetzt eine für mich zufriedenstellende Herleitung der Formel
$$ a_m = m - \floor{\frac 14(\floor{\sqrt{4m-3}}-1)^2}$$ gefunden. Das ist mir aber nur deshalb gelungen, weil ich die in No.33 angedeutete Rechnung durchgeführt habe. Das hat mir dann Ideen gegeben, von denen ich mir eine Herleitung zusammenbasteln konnte.
Was ich damit sagen will: Wenn du dich weigerst, dich jemals mit möglicherweise unzufriedenstellenden Beweisen zu beschäftigen, dann werden dir viele Lösungswege verschlossen bleiben, weil dir dann manche Ideen gar nicht erst einfallen werden.

Hier ist jetzt meine Herleitung der Formel:
Wir haben schon gesehen, dass sich jedes $m\geq 1$ entweder in der Form $m= a^2+k$ mit $1\leq k \leq a$ oder in der Form $m= a^2+a+k$ mit $1\leq k \leq a+1$ schreiben lässt.
Außerdem haben wir gesehen, dass in beiden Fällen $a_m = a+k$ gilt. Ziel ist es also eine Formel zu finden, mit der wir die durch $a^2+k \mapsto a+k, a^2+a+k\mapsto a+k$ definierte Abbildung für jedes $m$ berechnen können, ohne die entsprechende Darstellung $m=a^2+k$ bzw. $m=a^2+a+k$ von $m$ explizit kennen zu müssen.

Hierzu zunächst noch ein paar Überlegungen:
Wegen $(a+\frac 12)^2 = a^2+a+\frac 14$, gilt, dass $m$ genau dann die Form $m=a^2+k$ hat, wenn der Nachkommaanteil von $\sqrt m$ im offenen Intervall $(0, \frac 12)$ liegt.
Um Zahlen aus der Menge $\IN \cup (\IN+\frac 12)$ möglichst zu vermeiden, ist es sinnvoll, wenn wir $\sqrt m$ mit $2$ bzw. $m$ mit $4$ multiplizieren.

Es ergibt sich
$$4m = 4a^2+4k = n^2+4k\qquad \text{bzw.} \qquad 4m = 4a^2+4a+4k= n^2+4k-1,$$ wobei $n=2a$ im ersten und $n=2a+1$ im zweiten Fall gilt.

Leider gilt jetzt nicht einfach $n= \floor{\sqrt {4m}}$, denn für $m=a^2+a+k$ gilt $4m=(n+1)^2$, falls $k=a+1$.

Aber man sieht leicht, dass in jedem Fall
$$n = \floor{\sqrt{4m-3}}$$ gilt.
(Randbemerkung: Interessanterweise sieht man hier, dass $\floor{\sqrt{4m-3}} = \floor{\sqrt{4m-2}}= \floor{\sqrt{4m-1}}$ für jedes ganze $m\geq 1$ gilt.)

Weiterhin sieht man an
$$ 4k+1=  4m- n^2+1 \qquad \text{bzw.} \qquad 4k = 4m-n^2+1,$$ dass in beiden Fällen
$$ k = \floor{\frac14(4m-n^2+1)}  = m +  \floor{\frac14(1-n^2)}$$ gilt.

Damit ergibt sich also
$$\begin{align*}
 a_m &= \floor {\frac n2}+k =\floor {\frac n2}  +m +  \floor{\frac14(1-n^2)}\\
&= \floor{\frac 12 \floor{\sqrt{4m-3}}} + m + \floor{\frac14(1-\floor{\sqrt{4m-3}}^2)}
\end{align*}.$$
Um das zur OEIS-Formel
$$ a_m = m - \floor{\frac 14(\floor{\sqrt{4m-3}}-1)^2}$$ zu vereinfachen, müssen wir noch
$$ \floor{\frac 12 n} + \floor{\frac14(1-n^2)} = -\floor{\frac 14(n-1)^2}$$ zeigen.

Dazu genügt es wieder $n=2a$ bzw. $n=2a+1$ einzusetzen und beide Seiten zu vereinfachen.

\(\endgroup\)


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Wario
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Die Ergebnisse #34 scheinen zu stimmen, wie folgende Übersicht zeigt. Jetzt bleibt also die Frage, wie man das zusammenfasst.



Übersichtlicher:

<math>

\newcommand\ceil[1]{\left\lceil#1\right\rceil}
\newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}

\newcommand\tabrow[1]{%
\setlength{\topsep}{2pt}%
\setlength{\partopsep}{0pt}%
\begin{tabbing}
AAAA \= BBBB \= CCCC \= DDDD \= EEEEEE \= FFFF \kill% tabhead
%1 \> 2 \> 3    %\\
#1    %\\
\end{tabbing}}
%Test: \tabrow{1 \> 2 \> 3}

% \begin{tikzpicture}


\def\gRes{$a(n_g)=m+\floor{\sqrt{m-1}}-\floor{\sqrt{m-1}}^2 $}
\def\uRes{$a(n_u)=m-\floor{\dfrac{\sqrt{4m-3}-1}{2}}^2 $}
\def\OEISRes{$a(m)=m - \floor{\dfrac{(\floor{\sqrt{4m-3}}-1)^2}{4}}$}

n_g=2\floor{\sqrt{m-1}},~~ \gRes \\[1em]
n_u=2\floor{\dfrac{\sqrt{4m-3}-1}{2}} +1,~~ \uRes \\[1em]
\OEISRes \\[1em]

\foreach \m in {0,1,...,44}{%
\ifnum\m=0 \tabrow{$m$ \> $n_g$ \> $a(n_g)$ \>
$n_u$ \> $a(n_u)$ \>  \color{red}$a(m)$}
\else
\pgfmathsetmacro\ng{int(2*floor(sqrt(\m-1)))}
\pgfmathsetmacro\gres{int(\m+floor(sqrt(\m-1))-floor(sqrt(\m-1))^2)}
\pgfmathsetmacro\nu{int(2*floor((sqrt(4*\m-3)-1)/2)+1)}
\pgfmathsetmacro\ures{int(\m-floor((sqrt(4*\m-3))/2)^2}
\pgfmathsetmacro\oeisres{int(\m-floor((floor(sqrt(4*\m-3)-1))^2/4))}
\pgfmathsetmacro\gresTest{\gres==\oeisres ? "red" : "black"}
\pgfmathsetmacro\uresTest{\ures==\oeisres ? "red" : "black"}
\tabrow{\m \> \color{\gresTest}\ng  \> \color{\gresTest}\gres \>
\color{\uresTest}\nu \> \color{\uresTest}\ures \> \color{red}\oeisres}
\fi}%
</math>




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Wario
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.37, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-29


Irgendwas ist in der Tabelle (#36) evtl. doch komisch.



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Wario
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.38, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-30


2021-06-29 23:12 - Wario in Beitrag No. 37 schreibt:
Irgendwas ist in der Tabelle (#36) evtl. doch komisch.

Nach der Tabelle ist $a(m)=\max\{a(n_g),~ a(n_u)\}$.
Ist das nach der Vorbetrachtung klar?
Ich dachte es ist $a(m) =a\left( \max\{n_g,~ n_u\} \right)$.



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.39, eingetragen 2021-06-30 11:21

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\)
Ich glaube du hast dich in deiner Tabelle einfach verrechnet: Für $m=2$ müsste $n_u=1$ sein. Hast du vielleicht in der Formel von $n_u$ versehentlich aufgerundet statt abgerundet? Die Formel selbst sollte stimmen.
\(\endgroup\)


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