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Mathematik » Stochastik und Statistik » Quantilfunktion zweier Zufallsvariablen
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Universität/Hochschule J Quantilfunktion zweier Zufallsvariablen
Ferdan
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  Themenstart: 2021-06-14

Hallo, ich habe gerade leichte Probleme mit folgendem: Betrachtet man eine Zufallsvariable X mit stetiger streng monoton steigender Verteilungsfunktion $F_X$ und eine weitere der Art (edit: die jedoch nicht stetig sein muss), nämlich Y = g(X), wobei g eine streng monoton steigende Funktion ist (von $\mathbb{R}$ nach $\mathbb{R}$). Nun ist gefragt wie man denn ein p-quantil von Y aus einem p-quantil von X berechnet. Es gilt ja, dass $F_X^{-1}(p) = inf\{z \in \mathbb{R} | F_X(z) \geq p\}$ ist. Da $F_X$ streng monoton steigend ist handelt es sich dabei also einfach um die Umkehrfunktion. Insbesondere gilt dann auch, dass eine Umkehrabbildung von g existiert (oder?) Ein Y p-quantil ist also $qp_Y = F_Y^{-1}(p)$ Ich habe nun aber leider keinen Ansatz wie man aus einem $X$ p-quantil das $Y$ p-quantil berechnet. Edit: Könnte es sein, dass man einfach $qp_Y = F_Y^{-1}(p) = F_Y^{-1}(F_X(F_X^{-1}(p))) = F_Y^{-1}(F_X(qp_X))$ rechnen kann?


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semasch
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-14

Moin Ferdan, es ist richtig, dass $g$ als streng monoton wachsende Funktion injektiv und damit umkehrbar ist. Wenn ich die Angabe richtig lese, dann ist $F_Y$ auch stetig und streng monoton wachsend. Definieren wir $a := \lim_{p \to 0^+} F_X^{-1}(p)$ und $b := \lim_{p \to 1^-} F_X^{-1}(p)$, dann ist in diesem Fall $g: (a,b) \to (g(a),g(b))$ sogar eine stetige streng monoton wachsende Bijektion. Die Gleichungskette in deinem Edit stimmt zwar, ich würde dir aber ein anderes Vorgehen empfehlen. Um nämlich den gesuchten Zusammenhang zu finden, kannst du ausnutzen, dass für $y \in (g(a),g(b))$ die Beziehung \[F_Y(y) = P(Y \le y) = P(g(X) \le y) = P(X \le g^{-1}(y)) = F_X(g^{-1}(y))\] gilt und dir überlegen, was daraus für die Beziehung der inversen Verteilungsfunktionen folgt. LG, semasch


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Ferdan
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-16

\quoteon(2021-06-14 21:45 - semasch in Beitrag No. 1) Moin Ferdan, es ist richtig, dass $g$ als streng monoton wachsende Funktion injektiv und damit umkehrbar ist. Wenn ich die Angabe richtig lese, dann ist $F_Y$ auch stetig und streng monoton wachsend. Definieren wir $a := \lim_{p \to 0^+} F_X^{-1}(p)$ und $b := \lim_{p \to 1^-} F_X^{-1}(p)$, dann ist in diesem Fall $g: (a,b) \to (g(a),g(b))$ sogar eine stetige streng monoton wachsende Bijektion. Die Gleichungskette in deinem Edit stimmt zwar, ich würde dir aber ein anderes Vorgehen empfehlen. Um nämlich den gesuchten Zusammenhang zu finden, kannst du ausnutzen, dass für $y \in (g(a),g(b))$ die Beziehung \[F_Y(y) = P(Y \le y) = P(g(X) \le y) = P(X \le g^{-1}(y)) = F_X(g^{-1}(y))\] gilt und dir überlegen, was daraus für die Beziehung der inversen Verteilungsfunktionen folgt. LG, semasch \quoteoff Vielen dank für deine Antwort! Das hab ich mir auch schon überlegt. Ich habe vergessen zu erwähnen, dass g nicht notwendigerweise stetig sein muss, weshalb mich verwirrt was ich überhaupt mit h machen soll.


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semasch
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-17

Ich nehme an, dass du mit $h$ die Funktion $g$ meinst. Wenn $F_X$ stetig ist, dann ist auch für ein unstetiges $g$ die Funktion $F_Y$ stetig. Ansonsten existierte ein $y \in \mathbb{R}$ mit $P(Y = y) > 0$ und damit $P(X = g^{-1}(y)) > 0$, womit $F_X$ unstetig wäre. Die Unstetigkeit von $g$ führt dazu, dass $F_Y$ nur noch monoton wachsend und nicht streng monoton wachsend ist; insbesondere ist $F_Y$ dann auch nicht mehr injektiv bzw. umkehrbar und somit ist $F_Y^{-1}$ nur mehr die verallgemeinerte Inverse von $F_Y$. Man findet auch in diesem Fall einen Zusammenhang zwischen den Quantilen, der aber etwas weniger direkt ausfällt als im Falle eines stetigen $g$. Um den zu finden, überlege dir und beachte für $p \in (0,1)$ Folgendes: (i) $F_Y\left(g\left(F_X^{-1}(q)\right)\right) = q$ und $g\left(F_X^{-1}(q)\right) < F_Y^{-1}(p)$ für $q \in (0,p)$. (ii) $\left(g\left(F_X^{-1}(q)\right)\right)_{q \in (0,p)}$ ist (streng) monoton wachsend und nach oben beschränkt. Also existiert $\lim_{q \to p^-} g\left(F_X^{-1}(q)\right) = g\left(F_X^{-1}(p)^-\right)$. Aus (i) und (ii) kann man folgern, wie sich $F_Y^{-1}(p)$ mithilfe der Quantile der Verteilung von $X$ ausdrücken lässt. Für stetiges $g$ vereinfacht sich dieser Zusammenhang nochmal. LG, semasch


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Ferdan
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-17

\quoteon(2021-06-17 06:50 - semasch in Beitrag No. 3) Ich nehme an, dass du mit $h$ die Funktion $g$ meinst. Wenn $F_X$ stetig ist, dann ist auch für ein unstetiges $g$ die Funktion $F_Y$ stetig. Ansonsten existierte ein $y \in \mathbb{R}$ mit $P(Y = y) > 0$ und damit $P(X = g^{-1}(y)) > 0$, womit $F_X$ unstetig wäre. Die Unstetigkeit von $g$ führt dazu, dass $F_Y$ nur noch monoton wachsend und nicht streng monoton wachsend ist; insbesondere ist $F_Y$ dann auch nicht mehr injektiv bzw. umkehrbar und somit ist $F_Y^{-1}$ nur mehr die verallgemeinerte Inverse von $F_Y$. Man findet auch in diesem Fall einen Zusammenhang zwischen den Quantilen, der aber etwas weniger direkt ausfällt als im Falle eines stetigen $g$. Um den zu finden, überlege dir und beachte für $p \in (0,1)$ Folgendes: (i) $F_Y\left(g\left(F_X^{-1}(q)\right)\right) = q$ und $g\left(F_X^{-1}(q)\right) < F_Y^{-1}(p)$ für $q \in (0,p)$. (ii) $\left(g\left(F_X^{-1}(q)\right)\right)_{q \in (0,p)}$ ist (streng) monoton wachsend und nach oben beschränkt. Also existiert $\lim_{q \to p^-} g\left(F_X^{-1}(q)\right) = g\left(F_X^{-1}(p)^-\right)$. Aus (i) und (ii) kann man folgern, wie sich $F_Y^{-1}(p)$ mithilfe der Quantile der Verteilung von $X$ ausdrücken lässt. Für stetiges $g$ vereinfacht sich dieser Zusammenhang nochmal. LG, semasch \quoteoff Danke nochmals für die Antwort, ich denke es fehlt nicht mehr viel bis es klick macht. Ich hab nur noch eine letzte Frage. Wie entsteht die erste Gleichung von (i)? Der kann ich noch nicht so ganz folgen. Mfg


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semasch
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-18

\[F_Y\left(g\left(F_X^{-1}(q)\right)\right) = P\left(Y \le g\left(F_X^{-1}(q)\right)\right) = P\left(g(X) \le g\left(F_X^{-1}(q)\right)\right) = P\left(X \le F_X^{-1}(q)\right) = F_X\left(F_X^{-1}(q)\right) = q,\] da $F_X$ und $F_X^{-1}$ zueinander invers sind. LG, semasch


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Ferdan hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Ferdan hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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