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Universität/Hochschule J endlich präsentierter Modul
levin_chich
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  Themenstart: 2021-06-14

Hallo, ich hänge leider (wieder) an einer Aufgabe. V ist ein Modul über dem kommutativem Ring R. Ich muss ein paar Äquivalenzen zu endlich präsentiertes Moduln zeigen. (i) Es gibt \(m,n\in\mathbb{N}\) und \(x_{1},...,x_{n}\in R^{m}\) so dass gilt \[V \overset{\sim}{=}R^{m}/span_{R}(x_{1},...,x_{n})\]. (ii) Es gibt ein \(m\in\mathbb{N}\) und ein endliches EZS \(y_{1},...,y_{m}\) von V sodass der kern der linearen Abbildung \[R^{m}\longrightarrow V,\quad (r_{1},...,r_{m})\mapsto \sum_{i=1}^{m}r_{i}\cdot y_{i}\] ein endlich erzeugter R-Modul ist. (iii)Es gibt \(m,n\in\mathbb{N}\) und eine mxn Matrix mit Einträgen in R so dass \(V\overset{\sim}{=}R^{m}/im(A\cdot)\). Wobei \(A\cdot \) als Abbildung \(x\mapsto Ax\) verstanden wird. Ich hänge leider bereits an (i) => (ii). Es wäre super, wenn man mir ein paar Tipps geben könnte, damit ich eine Idee davon habe, wohin es gehen sollte. Danke euch! Levin


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levin_chich
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-14

Ich versuche es einfach mal mit (i) => (ii). Es existiere also ein Isomorphismus \[\varphi: V\rightarrow R^{m}/span_{R}(x_{1},...,x_{n}).\] D.h. genauer, dass für jedes \(\overline{r}=(r_{1},...,r_{m})+span_{R}(x_{1},...,x_{n})\) ein und nur ein \(v\in V\) existiert mit \(\varphi(v)=\overline{r}\). Nun ist der Modul $R^{m}$ endlich erzeugt und damit auch der Modul \(R^{m}/span_{R}(x_{1},...,x_{n})\). Es existiert also ein endliches EZS von \(R^{m}/span_{R}(x_{1},...,x_{n})\). Es existiert also ein EZS mit höchstens \(m\) Elementen. Nun würde ich die Urbilder von den Elementen dieses EZS nehmen und hätte dann meine Vektoren \(y_{1},...,y_{m}\). Die Endlichkeit des Kerns folgt aus zwei Tatsachen: - \(R^{m}\) ist ein endlich erzeugter Modul. - Jedes Untermodul eines endlich erzeugten Moduls ist wieder endlich erzeugt. - Der Kern ist ein Untermodul von \(R^{m}\). Irgendwie war das zu einfach. Wo ist mein Denkfehler?


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levin_chich
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-15

Jemand, der vielleicht drüberschauen mag? Wäre wirklich super. Ich danke euch!


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hippias
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-16

\quoteon(2021-06-14 23:45 - levin_chich in Beitrag No. 1) Ich versuche es einfach mal mit (i) => (ii). Es existiere also ein Isomorphismus \[\varphi: V\rightarrow R^{m}/span_{R}(x_{1},...,x_{n}).\] D.h. genauer, dass für jedes \(\overline{r}=(r_{1},...,r_{m})+span_{R}(x_{1},...,x_{n})\) ein und nur ein \(v\in V\) existiert mit \(\varphi(v)=\overline{r}\). Nun ist der Modul $R^{m}$ endlich erzeugt und damit auch der Modul \(R^{m}/span_{R}(x_{1},...,x_{n})\). Es existiert also ein endliches EZS von \(R^{m}/span_{R}(x_{1},...,x_{n})\). Es existiert also ein EZS mit höchstens \(m\) Elementen. Nun würde ich die Urbilder von den Elementen dieses EZS nehmen und hätte dann meine Vektoren \(y_{1},...,y_{m}\). Die Endlichkeit des Kerns folgt aus zwei Tatsachen: \quoteoff Haha... \quoteon - \(R^{m}\) ist ein endlich erzeugter Modul. - Jedes Untermodul eines endlich erzeugten Moduls ist wieder endlich erzeugt. - Der Kern ist ein Untermodul von \(R^{m}\). \quoteoff ... andererseits: es sind wirklich nur zwei der Aussagen Tatsachen. \quoteon Irgendwie war das zu einfach. Wo ist mein Denkfehler? \quoteoff Du müßtest schon begründen, weshalb die $y_{i}$ überhaupt $V$ erzeugen sollten. Bedenke doch bitte auch, daß die von Dir verwendete Abbildung $:V\rightarrow R^{m}/span_{R}(x_{1},...,x_{n})$ ist, es jedoch in der Behauptung um eine Abbildung $:R^{m}\rightarrow V$ geht. Abgesehen davon ist das, was Du machst, nicht völlig daneben.


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levin_chich
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-16

\quoteon(2021-06-16 10:45 - hippias in Beitrag No. 3) Haha... \quoteoff Danke für das konstruktive Feedback. Levin.


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levin_chich hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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