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Analysis » Folgen und Reihen » Summe Konversion oder Diversion?
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Schule Summe Konversion oder Diversion?
Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-06-15


Hallo,

konvergiert das oder divergiert das?
 
\[\sum\limits_{p=3}^n= \frac{1}{3}+(\frac{1}{5}* \frac{2}{3})+(\frac{1}{7}* \frac{2}{3}*\frac{4}{5})+(\frac{1}{11}* \frac{2}{3}*\frac{4}{5}*\frac{6}{7})+(\frac{1}{13}* \frac{2}{3}*\frac{4}{5}*\frac{6}{7}*\frac{10}{11}).....+n\]
Es ist ja bedeutend kleiner als die divergierende Summe der Primzahlkehrwerte....


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-15


Hallo Bekell,

was die Nenner der Summanden angeht, ist klar was gemeint ist. Bei den Zählern bist du uns aber noch eine Erklärung schuldig. Also: wie lautet das Bildungsgesetz der Summanden, oder wenigstens das der Zähler?


Gruß, Diophant



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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-15


2021-06-15 10:17 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
Wie lautet das Bildungsgesetz der Summanden, oder wenigstens das der Zähler?
Gruß, Diophant

Hauptglieder der Summe sind die PZ-Kehrwerte, aber vermindert durch ein Produkt, und zwar durch das Produkt, wo der Zähler um 1 gegenüber dem primzahligen Nenner vermindert ist, von 3 an bis zur Pz im Nenner des Anfangsgliedes des jeweiligen Summanden...

Ich glaube aber, es divergiert, wenn auch sehr, sehr langsam.... ist aber nur ein Glaube, deshalb frag ich... vllt sieht jemand auf Anhieb mehr? Ich hab die Summe noch um einen Summanden vermehrt....

Hab es programmiert, ist bei 11 bei 0,58, bei 1. Mio bei 2
Wie kann man sowas entscheiden, ohne Rechnen zu müssen....


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
@Bekell:
2021-06-15 10:24 - Bekell in Beitrag No. 2 schreibt:
Wie kann man sowas entscheiden, ohne Rechnen zu müssen....
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Man kann es wenn überhaupt nur ohne Rechnen zu müssen entscheiden. Wenn klar ist, wie die Summanden zustande kommen, wird das vermutlich auch möglich sein. Mir ist das jedoch nach wie vor nicht völlig klar.

Entspricht das allgemeine Summenglied dem folgenden Term:

\[\frac{(p_1-1)\cdot(p_2-1)\cdot\dotsc\cdot(p_k-1)}{p_1\cdot p_2\cdot\dotsc\cdot p_k}\]
wobei die \(p_i\) Primzahlen sind?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-15


\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)2021-06-15 10:49 - Diophant in Beitrag No. 3 schreibt:
@Bekell:
2021-06-15 10:24 - Bekell in Beitrag No. 2 schreibt:
Wie kann man sowas entscheiden, ohne Rechnen zu müssen....
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Man kann es wenn überhaupt nur ohne Rechnen zu müssen entscheiden. Wenn klar ist, wie die Summanden zustande kommen, wird das vermutlich auch möglich sein. Mir ist das jedoch nach wie vor nicht völlig klar.

Entspricht das allgemeine Summenglied dem folgenden Term:
\(\endgroup\)


ich würd es so schreiben:

\[\sum\limits_{p=3}^n= \frac{1}{3}+(\frac{1}{5}* \frac{p1-1}{p1})+(\frac{1}{7}* \frac{p1-1}{p1}*\frac{p2-1}{p2})+(\frac{1}{11}* \frac{p1-1}{p1}*\frac{p2-1}{p2}*\frac{p3-1}{p3})+(\frac{1}{13}* \frac{2}{3}*\frac{4}{5}*\frac{6}{7}*\frac{10}{11})....+ n\]
Hier mein Listing - Das Produkt ohne das erste Glied des jeweiligen Summanden ist immer zusammengefasst.
Nr 1 1/ 3 = 0.3333333333333333 * 0 = 0.3333333333333333
x: 3 Gesamtsumme 0.3333333333333333

Nr 2 1/ 5 = 0.2 * 0.6666666666666666 = 0.13333333333333333
x: 5 Gesamtsumme 0.4666666666666667

Nr 3 1/ 7 = 0.14285714285714285 * 0.8 = 0.11428571428571428
x: 7 Gesamtsumme 0.580952380952381

Nr 4 1/ 11 = 0.09090909090909091 * 0.8571428571428571 = 0.07792207792207792
x: 11 Gesamtsumme 0.658874458874459

Nr 5 1/ 13 = 0.07692307692307693 * 0.9090909090909091 = 0.06993006993006994
x: 13 Gesamtsumme 0.7288045288045288

Nr 6 1/ 17 = 0.058823529411764705 * 0.9230769230769231 = 0.05429864253393665
x: 17 Gesamtsumme 0.7831031713384655

Nr 7 1/ 19 = 0.05263157894736842 * 0.9411764705882353 = 0.049535603715170275
x: 19 Gesamtsumme 0.8326387750536358



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nzimme10
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2021-06-15 10:57 - Bekell in Beitrag No. 4 schreibt:
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)2021-06-15 10:49 - Diophant in Beitrag No. 3 schreibt:
@Bekell:
2021-06-15 10:24 - Bekell in Beitrag No. 2 schreibt:
Wie kann man sowas entscheiden, ohne Rechnen zu müssen....
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Man kann es wenn überhaupt nur ohne Rechnen zu müssen entscheiden. Wenn klar ist, wie die Summanden zustande kommen, wird das vermutlich auch möglich sein. Mir ist das jedoch nach wie vor nicht völlig klar.

Entspricht das allgemeine Summenglied dem folgenden Term:
\(\endgroup\)

ich würd es so schreiben:

\[\sum\limits_{p=3}^n= \frac{1}{3}+(\frac{1}{5}* \frac{p1-1}{p1})+(\frac{1}{7}* \frac{p1-1}{p1}*\frac{p2-1}{p2})+(\frac{1}{11}* \frac{p1-1}{p1}*\frac{p2-1}{p2}*\frac{p3-1}{p3})+(\frac{1}{13}* \frac{2}{3}*\frac{4}{5}*\frac{6}{7}*\frac{10}{11}).....\]
Dieser Ausdruck ergibt gar keinen Sinn, da in der Summe gar nichts mehr steht. So wie du es schreibst ist es einfach eine falsche Gleichung. Auch läuft deine Summe nur bis $n$ aber auf der rechten Seite schreibst du drei Pünktchen, die andeuten sollen, dass die Summe immer weiter geht.

LG Nico



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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-15


2021-06-15 11:02 - nzimme10 in Beitrag No. 5 schreibt:
Dieser Ausdruck ergibt gar keinen Sinn, da in der Summe gar nichts mehr steht. So wie du es schreibst ist es einfach eine falsche Gleichung. Auch läuft deine Summe nur bis $n$ aber auf der rechten Seite schreibst du drei Pünktchen, die andeuten sollen, dass die Summe immer weiter geht.

LG Nico
Danke, Nico, ich hab's verbessert (Hoffentlich richtig, und nicht noch mehr Verwirrung gestiftet!).


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-06-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
@Nico:
Es ist wohl folgendes gemeint:

\[\sum_{k=2}^{\infty}\frac{\prod_{i=1}^{k-1}(p_i-1)}{\prod_{j=2}^k p_j}\]
wobei die \(p_i\) bzw. \(p_j\) Primzahlen sind.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-15


\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)2021-06-15 11:28 - Diophant in Beitrag No. 7 schreibt:
@Nico:
Es ist wohl folgendes gemeint:

\[\sum_{k=2}^{\infty}\frac{\prod_{i=1}^{k-1}(p_i-1)}{\prod_{j=2}^k p_j}\]
wobei die \(p_i\) bzw. \(p_j\) Primzahlen sind.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)
Diophant, es geht definitiv mit 1/3 los. k=2 muss also weg.
Die Frage ist, ob die gesamte Summe divergiert. Die einzelnen Summanden sind ja endlich. Es wird bei jedem Summanden vom PZKehrwert immer öfter ein immer kleineres Stück abgezogen (oder anders ausgedrückt: multipliziert mit NullKommaetwas).




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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-06-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
2021-06-15 11:33 - Bekell in Beitrag No. 8 schreibt:
Diophant, es geht definitiv mit 1/3 los. k=2 muss also weg.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Dann hast du die Notation nicht verstanden. Es geht bei 1/3 los, da 3 bekanntlich die zweite Primzahl ist (daher auch das \(k=2)\).

2021-06-15 11:33 - Bekell in Beitrag No. 8 schreibt:
Die Frage ist, ob die gesante Summe divergiert. Die einzelnen Summanden sind ja endlich. Es wird vom PZKehrwert immer öfter ein immer kleineres Stück abgezogen (oder anders ausgedrückt: multipliziert mit NullKommaetwas).
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Das ist Kaffeesatzleserei. Ich vermute eher, dass die Reihe konvergiert, aber ich bin mir noch nicht sicher.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-15


\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)2021-06-15 11:40 - Diophant in Beitrag No. 9 schreibt:
2021-06-15 11:33 - Bekell in Beitrag No. 8 schreibt:
Diophant, es geht definitiv mit 1/3 los. k=2 muss also weg.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Dann hast du die Notation nicht verstanden. Es geht bei 1/3 los, da 3 bekanntlich die zweite Primzahl ist (daher auch das \(k=2)\).
\(\endgroup\)

Ja, Du hast recht, jetzt hab ich verstanden!

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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)2021-06-15 11:40 - Diophant in Beitrag No. 9 schreibt:
2021-06-15 11:33 - Bekell in Beitrag No. 8 schreibt:
Die Frage ist, ob die gesante Summe divergiert. Die einzelnen Summanden sind ja endlich. Es wird vom PZKehrwert immer öfter ein immer kleineres Stück abgezogen (oder anders ausgedrückt: multipliziert mit NullKommaetwas).
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Das ist Kaffeesatzleserei. Ich vermute eher, dass die Reihe konvergiert, aber ich bin mir noch nicht sicher.
Gruß, Diophant
\(\endgroup\)
Wenn sie konvergiert, musst Du ja auch die Grenze angeben können, oder?


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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2021-06-15


2021-06-15 11:44 - Bekell in Beitrag No. 10 schreibt:
Wenn sie konvergiert, musst Du ja auch die Grenze angeben können, oder?
Zu beweisen, dass eine Reihe konvergiert ist etwas ganz anderes als den exakten Wert einer Reihe zu bestimmen. Letzteres ist vermutlich viel schwieriger als ersteres.

LG Nico



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2021-06-15 11:48 - nzimme10 in Beitrag No. 11 schreibt:
2021-06-15 11:44 - Bekell in Beitrag No. 10 schreibt:
Wenn sie konvergiert, musst Du ja auch die Grenze angeben können, oder?
Zu beweisen, dass eine Reihe konvergiert ist etwas ganz anderes als den exakten Wert einer Reihe zu bestimmen. Letzteres ist vermutlich viel schwieriger als ersteres.

LG Nico
hm.... glaub ich.... sind also zwei paar Schuhs


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2021-06-15


2021-06-15 11:44 - Bekell in Beitrag No. 10 schreibt:
Wenn sie konvergiert, musst Du ja auch die Grenze angeben können, oder?

Nein. Man weist die Konvergenz i.d.R. unabhängig vom konkreten Reihenwert nach. Sprich: dieser Nachweis ist oft recht einfach, während die Berechnung des Reihenwerts manchmal schwierig bis unmöglich ist.

Ich habe hier so eine Idee, dass man eine konvergente Majorante finden kann. Aber ich bin damit noch nicht weitergekommen.

Mir ging es jetzt auch mehr darum, dafür zu sorgen, dass wenigstens feststeht, um was es eigentlich geht...


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-15


2021-06-15 11:52 - Diophant in Beitrag No. 13 schreibt:
Mir ging es jetzt auch mehr darum, dafür zu sorgen, dass wenigstens feststeht, um was es eigentlich geht...
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]

ich danke Dir dafür! ...
Was war an meiner hübschen Latech-Darstellung im Eröffnungsbeitrag den missverständlich?

...und diese grossen griechischen Pi's setzt man immer, wenn Produkte gemeint sind, oder?


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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2021-06-15


2021-06-15 11:56 - Bekell in Beitrag No. 14 schreibt:
2021-06-15 11:52 - Diophant in Beitrag No. 13 schreibt:
Mir ging es jetzt auch mehr darum, dafür zu sorgen, dass wenigstens feststeht, um was es eigentlich geht...
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]

ich danke Dir dafür! ... und diese grossen griechischen Pi's setzt man immer, wenn Produkte gemeint sind, oder?
Genau. Was $\sum$ für Summen ist, ist $\prod$ für Produkte.

LG Nico



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StrgAltEntf
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2021-06-15 11:44 - Bekell in Beitrag No. 10 schreibt:
Wenn sie konvergiert, musst Du ja auch die Grenze angeben können, oder?

Es besteht ja auch die Möglichkeit, dass die Reihe konversiert oder diversiert.



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nzimme10
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2021-06-15 12:06 - StrgAltEntf in Beitrag No. 16 schreibt:
2021-06-15 11:44 - Bekell in Beitrag No. 10 schreibt:
Wenn sie konvergiert, musst Du ja auch die Grenze angeben können, oder?

Es besteht ja auch die Möglichkeit, dass die Reihe konversiert oder diversiert.
😂



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2021-06-15


Oder sie kursiert... 😉



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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-15


2021-06-15 12:06 - StrgAltEntf in Beitrag No. 16 schreibt:
2021-06-15 11:44 - Bekell in Beitrag No. 10 schreibt:
Wenn sie konvergiert, musst Du ja auch die Grenze angeben können, oder?

Es besteht ja auch die Möglichkeit, dass die Reihe konversiert oder diversiert.

ich glaub, Du machst Spässe...



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.16 begonnen.]


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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2021-06-15


2021-06-15 12:11 - Bekell in Beitrag No. 19 schreibt:
2021-06-15 12:06 - StrgAltEntf in Beitrag No. 16 schreibt:
2021-06-15 11:44 - Bekell in Beitrag No. 10 schreibt:
Wenn sie konvergiert, musst Du ja auch die Grenze angeben können, oder?

Es besteht ja auch die Möglichkeit, dass die Reihe konversiert oder diversiert.

ich glaub, Du machst Spässe...

habe nicht angefangen 🙃



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2021-06-15


Hallo Bekell,

2021-06-15 10:24 - Bekell in Beitrag No. 2 schreibt:
Hab es programmiert, ist bei 11 bei 0,58, bei 1. Mio bei 2

Kann es ein, dass du dich 'verprogrammiert' hast? Ich habe eben auch ein kleines Progrämmchen darauf losgelassen und es (kurz) laufen lassen. Die größte Primzahl war dabei im Bereich von ca. 20 Mio. und die Summe bei ca. 0.9332. Und man hat gesehen, dass die Geschwindigkeit, mit der die Summe wächst, abnimmt, wenn auch recht langsam.

Das bestärkt mich in meiner Vermutung, dass die Reihe konvergiert. So heißt das übrigens und das ist der Grund für unsere Blödeleien gewesen: die Begriffe 'Konversion' und 'Diversion' gibt es zwar beide, aber nicht in der Mathematik.

(Natürlich ist das mit dem Programm auch keinerlei mathematische Argumentation.)

Jetzt müsste man eine konvergente Majorante finden. Das scheint mir in diesem Fall das einzige zielführende Konvergenzkriterium zu sein.

Morgen ist ja auch noch ein Tag. 🙂


Gruß, Diophant



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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-15


2021-06-15 20:52 - Diophant in Beitrag No. 21 schreibt:
Hallo Bekell,
2021-06-15 10:24 - Bekell in Beitrag No. 2 schreibt:
Hab es programmiert, ist bei 11 bei 0,58, bei 1. Mio bei 2

Kann es ein, das du dich 'verprogrammiert' hast?
Gruß, Diophant

Danke Diophant,
auf Deine Vermutung hin schäme ich mich nicht, zu sagen, das kann gut sein, denn die Summe denken ist ja schon nicht einfach, geschweige denn für einen Nichtinformatiker und Nichtmathematiker sie zu programmieren .... wenn das gegen 1 konvergiert, wäre es übrigens mein Wunschergebnis .... ich mach mich jetzt noch mal an's Programm...



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, eingetragen 2021-06-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
Denke das sollte Konvergenz zeigen: Man kann mit Methoden aus der analytischen Zahlentheorie zeigen, dass gilt
\[ \prod_{\substack{q \leq p \\ q \text{ prim}}} \frac{q-1}{q} \sim \frac{c}{\log{p}} \] für eine Konstante $c > 0$ und $p \to \infty$ (siehe MSE/3570182). Also ist äquivalent für uns die Konvergenz der Reihe $\sum_{p} \frac{c}{p \log{p}}$ zu betrachten. Das konvergiert mit weiteren Abschätzungen aus der analytischen Zahlentheorie (siehe MSE/1231700, man wende etwa den Primzahlsatz und dann Cauchys Verdichtungskriterium an).

(Beachte, dass $\sum_{n > 0} \frac{1}{n \log{n}}$ nicht konvergiert! Das ist eine klassische Anwendung von Cauchys Verdichtungskriterium.)

Sorry für die vielen Verweise, ich kenne mich in der analytischen Zahlentheorie nicht wirklich aus, deshalb die Links.

By the way, eine naive Abschätzung mit dem Quotientenkriterium liefert keine Aussage, da nach dem Primzahlsatz $\lim_{n \to \infty} \frac{p_{n+1}}{p_n} = 1$ gilt, wobei $p_n$ die $n$-te Primzahl ist. Das war mein erster Gedanke.


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei
\(\endgroup\)


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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-16


\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)2021-06-15 21:33 - Kezer in Beitrag No. 23 schreibt:
Denke das sollte Konvergenz zeigen: Man kann mit Methoden aus der analytischen Zahlentheorie zeigen, dass gilt
\[ \prod_{\substack{q \leq p \\ q \text{ prim}}} \frac{q-1}{q} \sim \frac{c}{\log{p}} \]
\(\endgroup\)

Was heisst denn dieses Zeichen ∿ genau?


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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, eingetragen 2021-06-16


Der Quotient konvergiert gegen 1.


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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-16


2021-06-16 08:54 - Kezer in Beitrag No. 25 schreibt:
Der Quotient konvergiert gegen 1.

das ist die Gesamtaussage deines Beitrags. Ich frug, was genau dieses Zeichen heisst, also nur dieses Zeichen zwischen zwei Termen.


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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.27, eingetragen 2021-06-16


2021-06-16 10:51 - Bekell in Beitrag No. 26 schreibt:
2021-06-16 08:54 - Kezer in Beitrag No. 25 schreibt:
Der Quotient konvergiert gegen 1.

das ist die Gesamtaussage deines Beitrags. Ich frug, was genau dieses Zeichen heisst, also nur dieses Zeichen zwischen zwei Termen.
Das heißt, dass die beiden Ausdrücke asymptotisch äquivalent sind. $f(x)\sim g(x)$ bedeutet $\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=1$.

LG Nico



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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.28, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-16


2021-06-16 10:54 - nzimme10 in Beitrag No. 27 schreibt:
2021-06-16 10:51 - Bekell in Beitrag No. 26 schreibt:
2021-06-16 08:54 - Kezer in Beitrag No. 25 schreibt:
Der Quotient konvergiert gegen 1.

das ist die Gesamtaussage deines Beitrags. Ich frug, was genau dieses Zeichen heisst, also nur dieses Zeichen zwischen zwei Termen.
Das heißt, dass die beiden Ausdrücke asymptotisch äquivalent sind. $f(x)\sim g(x)$ bedeutet $\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=1$.

LG Nico

Also zwei Kurven sind "asymptotisch äquivalent" bedeutet, dass sie mitnichten identisch sind, aber gegen unendlich als identisch angesehen werden können. Ist dass so gut formuliert?


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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.29, eingetragen 2021-06-16


2021-06-16 10:58 - Bekell in Beitrag No. 28 schreibt:
2021-06-16 10:54 - nzimme10 in Beitrag No. 27 schreibt:
2021-06-16 10:51 - Bekell in Beitrag No. 26 schreibt:
2021-06-16 08:54 - Kezer in Beitrag No. 25 schreibt:
Der Quotient konvergiert gegen 1.

das ist die Gesamtaussage deines Beitrags. Ich frug, was genau dieses Zeichen heisst, also nur dieses Zeichen zwischen zwei Termen.
Das heißt, dass die beiden Ausdrücke asymptotisch äquivalent sind. $f(x)\sim g(x)$ bedeutet $\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=1$.

LG Nico

Also zwei Kurven sind "asymptotisch äquivalent" bedeutet, dass sie mitnichten identisch sind, aber gegen unendlich als identisch angesehen werden können. Ist dass so gut formuliert?
Kurven ist hier vermutlich ein nicht ganz passender Begriff. Es geht hier um Funktionen. Eine berühmte Aussage ist zum Beispiel der Primzahlsatz, der im wesentlichen besagt $\pi(x)\sim \frac{x}{\ln(x)}$. Die Aussage dahinter ist also eher, dass beide Funktionen sich im unendlichen im wesentlichen (von der Größenordnung / Wachstumsverhalten) gleich verhalten.

Wenn man die Definition des Grenzwertes genauer inspiziert, dann kann man aus der asymptotischen Äquivalenz $f(x)\sim g(x)$ ablesen, dass es für jedes $\varepsilon>0$ ein $N$ gibt, so dass für alle $x>N$ $\left|\frac{f(x)}{g(x)}-1\right|<\varepsilon$ gilt.

Weitere Informationen: en.wikipedia.org/wiki/Asymptotic_analysis

LG Nico



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