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Universität/Hochschule Metrik auf W'maßen
LamyOriginal
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  Themenstart: 2021-06-15

Hallo, ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter: Gegeben sind Wahrscheinlichkeitsmaße $u,v$ und Lebesguedichten $f_u,f_v$ und ich soll zeigen, dass $d(u,v):=\int_{\mathbb{R}}∣f_u(x)−f_v(x)∣dx $ eine Metrik auf der Menge der W'maße auf $\mathbb{R}$ ist. Probleme habe ich bei folgendem Axiom: $d(u,v)=0 \iff u=v$ "$\Leftarrow$" Sei $u=v$, gilt dann wegen der Eindeutigkeit auch $f_u=f_v$? Oder darf ich dann $\int_{\mathbb{R}}∣f_u(x)−f_u(x)∣dx$ einsetzen, da $f_u$ dann auch die Dichte von $v$ ist? Dann würde die Behauptung ja direkt folgen "$\Rightarrow$" Sei $d(u,v):=\int_{\mathbb{R}}∣f_u(x)−f_v(x)∣dx=0$ Ich habe $\int_{\mathbb{R}}f(x)=0 \Rightarrow f(x)=0$ gezeigt, da $f(x)\geq 0 $ für alle $x\in \mathbb{R}$ ist als Dichte. Problem: mir ist aufgefallen, dass wir $f$ nur als $\textbf{stückweise}$ stetig definiert haben... wie mache ich das dann? Und gilt hier auch $f_u(x)=f_v(x) \Rightarrow u = v$? Dann wäre $f_u$ ja eigentlich die Dichte zweier Wahrscheinlichkeitsmaße $u,v$ also müsste doch $u=v$ gelten? Danke für jede Hilfe!


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AnnaKath
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-15

Huhu LamyOriginal, \quoteon(2021-06-15 12:17 - LamyOriginal im Themenstart) Ich habe $\int_{\mathbb{R}}f(x)=0 \Rightarrow f(x)=0$ gezeigt [...] \quoteoff Wow! Wenn Du das vorrechnen kannst, wird Dir jeder glauben, dass Du für $f$ auch die Komposition aus Betragsfunktion, Addition und den beiden Dichten einsetzen kannst... Wenn Du das aber nicht zeigen kannst, dann liegt das daran, dass aus $\int f d\mu = 0$ lediglich $\mu$-f.ü. $f=0$ folgt. Hier musst Du nun bemerken, dass $f_u$ und $f_v$ Lebesgue-Dichten sind und somit die Masze $u$, $v$ beide absolut stetig (bzgl. des Lebesgue-Maszes $\lambda$) sind. D.h. aber insbesondere, dass jede $\lambda$-Nullmenge auch eine $u$- bzw. $v-$Nullmenge ist. Nach einer kleinen Akrobatik* bist Du dann, zusammen mit dem o.a. Argument, fertig. lg, AK *) Es ist prinzipiell das gleiche Argument, mit dem man die Menge von Äquivalenzklassen von Abbildungen aus einem $\mathcal{L}^p(\mu)$ zu einem normierten Raum $L^p(\mu)$ macht.


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nzimme10
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-16

\quoteon(2021-06-15 12:17 - LamyOriginal im Themenstart) Ich habe $\int_{\mathbb{R}}f(x)=0 \Rightarrow f(x)=0$ gezeigt [...] \quoteoff Einfaches Gegenbeispiel ist die charakteristische Funktion von $D:=\mathbb Q\cap [0,1]$. Es gilt $$ \int_{\mathbb R} \chi_D \ \mathrm d\lambda=0 $$ aber $\chi_D(1)=1$. LG Nico


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