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Lineare Algebra » Bilinearformen&Skalarprodukte » Orthogonalprojektion Orthonormalbasis
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Universität/Hochschule J Orthogonalprojektion Orthonormalbasis
sina1357
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-06-15


Hallo zusammen,

ich habe soeben ein paar Orthogonalprojektionsmatrizen bezüglich Orthonormalbasen ausgerechnet und mir ist aufgefallen, dass diese Matrizen stets symmetrisch waren.
Ich frage mich nun, ob das immer der Fall ist und wenn ja warum..
Danke für eure Hilfe!



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-15


Hallo,

im reellen Fall ist das tatsächlich immer so. Auf Wikipedia wird es kurz und knapp erklärt.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Lineare Abbildungen' von Diophant]



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sina1357
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-15


Hallo Diophant,

danke für deine schnelle Antwort.
Allerdings wird mir nicht so richtig klar, was yi sein soll.
Kannst du mir da vielleicht nochmal weiterhelfen?
Danke!

Viele Grüße
sina1357



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

das steht doch auf Wikipedia. In dem Unterraum, in den projiziert wird, nimmt man ebenfalls eine Orthogonalbasis an. Die \(y_i\) sind die Koordinatenvektoren dieser Basis (bzgl. der Orthonormalbasis von \(V\), von der wir ausgehen).

Schaue dir am besten dort die beiden Beispiele für den \(\IR^3\) einmal genauer an (vor allem das zweite mit der Projektion auf eine Ebene).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-15

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hier ist ein einfacher Beweis, dass Orthogonalprojektionen in euklidischen Räumen symmetrisch sein müssen:

Die Orthogonalprojektion auf einen Unterraum $U\subset V$ ist charakterisiert als die eindeutige lineare Abbildung $P:V\to V$ mit der Eigenschaft $\forall v\in V: Pv\in U \land v- Pv \in U^\perp$.

Daher gilt für alle $v,w\in V$:
$$ \langle Pv, w\rangle = \langle Pv, Pw + (w-Pw)\rangle =  \langle Pv, Pw\rangle+ \langle Pv,w-Pw\rangle =  \langle Pv,Pw\rangle.$$
Analog zeigt man $ \langle v, Pw\rangle =  \langle Pv,Pw\rangle$, so dass sich insgesamt $ \langle Pv,w\rangle =  \langle v,Pw\rangle$ ergibt, was gerade bedeutet, dass $P$ symmetrisch ist.
\(\endgroup\)


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sina1357
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-15


Danke für eure Antworten und den zusätzlichen Beweis.
Jetzt habe ich es verstanden.



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sina1357 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
sina1357 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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