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Analysis » Funktionen » Maxima bestimmen auf abgeschlossener Kugel
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Universität/Hochschule J Maxima bestimmen auf abgeschlossener Kugel
happy_hippo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-06-18


Hey😄

ich wollte fragen, ob ihr mir vielleicht helfen könnt diesen Aufgabentypen zu verstehen.
Ich soll ihn mit dem "Werkzeug" aus der Funktionentheorie lösen, also ohne Jacobi Matrix etc., wie man es wahrscheinlich in der Analysis 2 gemacht hätte, sondern mit dem Satz vom Maximum argumentieren. Aber ich komme hier nicht wirklich weiter:

Man bestimme das Maximum von $|f|$ für die folgenden Funktionen $f : B_1(0) → \mathbb{C}$ ($B_1(0)$ ist hier abgeschlossen)

1. $f(z)=xy$ (hier habe ich meine Lösung bereits abgetippt, ich hoffe meine Überlegungen stimmen)

2. $f(z)=e^z^2$ (ich habe hier leider nur einen Ansatz, auch der ist aufgeschrieben)

3.$f(z)=cos(z)$ (Hier weiß ich leider überhaupt nicht, wie ich argumentieren muss:( )

Es wäre super lieb, wenn ihr ggf. mal darüber gucken könntet.

Viele Grüße

happy_hippo

PS: bitte ignoriert das f(z) jeweils in den Aufgaben am Anfang








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Sismet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\IR}{\mathbb{R}} \newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\IN}{\mathbb{N}} \newcommand{\IC}{\mathbb{C}} \newcommand{\ba}{\begin{align*}} \newcommand{\ea}{\end{align*}} \newcommand{\be}{\begin{equation*}} \newcommand{\ee}{\end{equation*}} \newcommand{\wo}{\backslash} \)
Hey,
die 2 & die 3 kannst du mit dem Maximumsprinzip lösen, das dir gleich gibt, dass das Maximum auf dem Rand angenommen wird. D.h. in deinem konkreten Fall muss $\|z\|=1$ gelten damit das Maximum angenommen wird. Damit solltest du weiter kommen.

Deine Lösung für die 1 stimmt schon in der 1. Zeile nicht:
Du suchst nicht $\max(xy:\|x\|\leq 1 \wedge \|y\|\leq 1)$ sondern $\max(xy:\|x+iy\|\leq 1)$ Das sind verschiedene Ausdrücke. Auch hier kannst du durch bisschen Argumentation darauf kommen dass du nur den Rand untersuchen musst. Hier geht es aber nicht über das Maximumsprinzip.

Grüße
Sismet
\(\endgroup\)


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happy_hippo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-18


Hey Sismet,

vielen Dank für deine Hilfe. Ansonsten hätte ich jetzt wahrscheinlich für alle Aufgaben mit dem falschen Ausdruck weitergerechnet.
Ich werde mich jetzt direkt nochmal dransetzen und die Aufgaben verbessern/lösen.

Danke nochmal!😄





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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-18


Hallo happy_hippo,

es wäre wohl auch noch zu bemerken, dass Du das Maximum von \(|f|\) bestimmen sollst, und nicht das von \(f\) (was auch gar keinen Sinn ergibt, wenn Deine Funktionen komplexwertig sind).

Es gilt z.B.
\[|e^{z^2}|=|e^{x^2-y^2+2ixy}|=e^{x^2-y^2}.\]



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happy_hippo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-18


Hey Sonnenschein96😄

vielen Dank für den Hinweis. Tut mir leid, falls das jetzt eine sehr dumme Frage ist, aber wieso lässt du den Imaginärteil weg?



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-18


Es gilt
\[
|e^{x^2-y^2+2ixy}|=|e^{x^2-y^2}e^{2ixy}|=|e^{x^2-y^2}||e^{2ixy}|=e^{x^2-y^2},
\] da \(x,y\in\mathbb{R}\) und \(|e^{i\varphi}|=\sqrt{\cos(\varphi)^2+\sin(\varphi)^2}=1\) für \(\varphi\in\mathbb{R}\).



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happy_hippo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-18


Okay, alles klar. Vielen Dank für deine Mühe😄



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happy_hippo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-18


-
(wollte nur einen Beitrag ändern und nicht neu erstellen, tut mir leid)



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happy_hippo hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
happy_hippo hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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