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Strukturen und Algebra » Algebraische Geometrie » Pic^0 und Faserung in Kurven
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Universität/Hochschule J Pic^0 und Faserung in Kurven
Saki17
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  Themenstart: 2021-06-19

\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}}\) Hallo, wir betrachten einen Körper $k$, eine glatte projektive irreduzible Fläche $X$ und eine glatte projektive irreduzible Kurve $B$, beide über $k$ definiert. Ferner sei ein eigentlicher flacher $k$-Morphismus $f: X\to B$ gegeben (in der Literatur wird solche Morphismen Faserungen in Kurven genannt). Es bezeichnet $Pic^0(X)\subset Pic(X)$ die Untergruppe bestehend aus Geradenbündeln auf einem Schema $X$, die algebraisch äquivalent zur Null sind. Dann wird behauptet, dass der Pullback entlang $f$ eine Surjektion $$f^*: Pic^0(B)\to Pic^0(X)$$ induziert, wenn $X$ keine Produktfamilie ist (also wenn $X$ nicht von der Form $B\times_k E$ für irgendeine Kurve $E$ ist). Wie kann man das beweisen? Wenn $f$ einen (algebraischen) Schnitt hat, dann ist die obige Abbildung sogar ein Isomorphismus. Ich weiß nicht ob man die Existenz des Schnittes bereits braucht für die Surjektivität. Es wird oft in der Def. von Faserung vorausgesetzt, dass alle Fasern zusammenhängend sind, das soll zur Folge haben, dass $f_*O_X=O_B$ ist, wenn z.B. $char(k)=0$. Ich bin eben nicht sicher, ob diese Bedingung hilft.\(\endgroup\)


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-19

Spontaner Einfall (ich weiß nicht, ob das funktioniert): Die Leray-Spektralsequenz $H^p_{\text{ét}}(B,R^q f_* (\mathbb{G}_m)_X) \implies H^{p+q}_{\text{ét}}(X,(\mathbb{G}_m)_X)$ liefert eine exakte Sequenz mit Picardgruppen wegen $H^1_{\text{ét}}(X,(\mathbb{G}_m)_X) \cong \mathrm{Pic}(X)$.


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Saki17
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-19

\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}}\) Danke. Im komplexen Fall und wenn die generische Faser eine elliptische Kurve ist habe ich was Ähnliches gelesen. Nach https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-1-4612-1688-9_8 Lemma 14 erhält man aus der von dir genannten Spektralsequenz eine exakte Sequenz $$0\to H^1(B,O_B)\to H^1(X,O_X)\to H^0(B,R^1f_\ast O_X)\to 0.$$ Es folgt $q(X)=g(B)$ (und $q(X)=g(B)+1$, wenn $X$ eine Produktfamilie ist), wobei $q(X)=H^1(X,O_X)$ die Irregularität einer Fläche und $g(B)=H^1(B,O_C)$ das (arithmetische) Geschlecht bezeichnen. Wir wissen, dass $Pic^0(X)$ und $Pic^0(B)$ beide komplexe Tori sind (für $X$ denkt man an die Exponenziellsequenz). Außerdem sind sie von der gleichen Dimension, da $q(X)=g(B)$. Ferner, wenn $f$ einen Schnitt hat, dann ist der Pullback $Pic(B)\to Pic(X)$ injektiv, welcher sich zu $f^*: Pic^0(B)\to Pic^0(X)$ im TS beschränkt (Projektionsformel). Aus Dimensionsgründen folgt dann $Pic^0(B)\cong Pic^0(X)$. Der Beweis zu $\dim H^0(B,R^1f_\ast O_X)=0$ (bzw. $=1$ im Produktfall) ist nicht trivial, dafür braucht man $\deg (R^1f_\ast O_X)^\vee \geq 0$ - dies ist mMn aufwändig (s. das Paper oben). Müsste es so kompliziert gehen? (Das ist ja eine rhetorische Frage; in einem Survey schreibt der Author zur fraglichen Stelle ($Pic^0(B)\cong Pic^0(X)$), dass das einfach nachzuweisen sei.)\(\endgroup\)


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KarlRuprecht
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-07-05

@Saki: Könntest du die Quelle angeben, wo diese Behauptung bezüglich Surjektivität der induzierten Abb auf $Pic^0$ aus deinem Eröffnungspost aufgestellt wird? Es scheint nicht aus dem unten verlinkten Friedman zu stammen (da wird nur über $C$ gearbeitet)


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Saki17
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-05

\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}}\) Hallo KarlRuprecht, der komplexe Fall scheint bekannt zu sein; den allgemeinen Fall habe ich zuerst ganz unten auf Seite 28 von https://arxiv.org/pdf/0907.0298.pdf gelesen. ("With the first bit of the above consideration, one can in fact show that $f^*$ is surjective." Ich weiß nicht, wo sich genau "the first bit" bezieht; Section 6.9 wäre mir zu kurz.) P.S. Ich habe mich im Themenstart nicht auf elliptische Flächen beschränkt, denn ich vermutete das wäre eine Eigenschaft für allgemeine Faserungen in Kurven. Um vorsichtiger zu sein bleiben wir doch im Fall der elliptischen Flächen.\(\endgroup\)


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KarlRuprecht
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-07-07

Es ist nur eine Vermutung von mir, aber es dürften eher Überlegungen aus Abschn 6.8 (S 28) gemeint sein. Da wird allgemein die Zerlegung eines Divisors $D$ von unserer Fläche $S$ in horizonitale und vertikale Komponeneten $D=D_h + D_v$ zerlegt, wobei die horizontale Komponenten Schnitte bzgw Multischnitte and vertikale Komps (irred) Komponenten der Fasern sind. Ok, da scheint viel Info zu stecken. Bezeichnen wir mit $f: S \to C$ unsere Faserung. Falls sie elliptisch ist (wobei ich mit Def auf S 7 arbeiten werde), dann sind fast alle Fasern (dh bis auf endl viele) elliptische Kurven, die sind per Def. irreduzibel. Es steht explizit nicht im Text, aber ich gehe davon aus, dass "Kurven" im Text als irreduzibel angenommen werden (?) Ich vermute, dass es eine allgemeine Eigenschaft von Faserungen über Kurven hadelt, dass falls fast alle Fasern irreduzibel sind, dass dann alle Fasern irreduzibel sind. Hab keine Beweisreferenz, aber das scheint plausibel zu sein und sich damit zu decken, dass bei Faserungen als flache Abbildungen die Fasern sich "kontinuierlich" deformieren. "Topologisch" sollte es aus Stetigkeitsgründen klar sein, mit alGeo-Methoden sehe ich noch nicht ein "sauberes" Argument. Sicher können sie sich zwar an endlich vielen Stellen zu singulären Fasern deformieren, aber dass da plotzlich welche mit mehreren Irred-Komps einzeln auftreten würden, wirkt falsch (nochmal, ist nur eine Vermutung). Aber wenn das was ich oben geschrieben habe stimmt, dann liegen zunächst alle vertikalen Divisoren im Bild von $f^*$ wenn wir einzelne Punkte in $C$ zurückziehen. Genauer recht es nur einen abgeschlossenen $c \in C$ zurückzuziehen, denn nach Beobachtung auf Seite 22 sind alle Fasern einer elliptischen Faserung algebraisch equivalent, und in $Pic^0$ betrachten wir alg eqiv Klassen modulo num equi Klassen, damit trifft $f^*$ schon mal alle vertikalen Divisorklassen. Jetzt die horizontalen. Ich behaupte, dass alle horizontale Divisoren NICHT algebraisch equivalent zu $0$ sind und somit nicht in $Pic^0(S)$ enthalten sind. Zunächst, nach Thm 6.5, Seite 24 ist auf elliptischer Kurve algebr Equivalenz dasselbe wie numerische. Jeder horizontale Divisor schneidet aber die genrische Faser nicht rivial, somit ist es nicht alg equiv zu $0$. Damit enthält $Pic^0(S)$ nur Klassen horizontaler Divs und die werden nach obigen Begründung alle von Pullbacks der $Pic^0(C)$ getroffen, et voilà! Problem: Wie ich oben erläutert habe, bin ich mir nicht sicher wo ich die Aussage, dass wenn bei einer Faserung (allgemeiner: flachen Familie) fast alle Fasern irreduzibel sind, dann sind es alle. Kennst du eine Referenz?


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kurtg
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-07-07

Kurzer Einwurf: Es gibt Faserungen mit generisch glatter, irreduzibler Faser und reduziblen Fasern. Einfache Beispiele wären Modelle glatter Kurven über diskreten Bewertungsringen mit reduzibler spezieller Faser. Die gibt es, siehe z.B. Silverman Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves. Für Kurven als Basis siehe die Shioda-Tate-Formel: https://www.math.columbia.edu/~chaoli/docs/TateConjecture.html


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KarlRuprecht
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-07-08

@kurtg: An einem Detail bin ich mir nicht sicher, ob dies ein Gegenbeispiel zu meiner Vermutung liefert. Wenn wir eine Faserung $f: S \to C$ über einer glatten Kurve $C$ haben and wissen, dass die genetrische Faser $S_{\eta}=f^{-1}(\eta)$ ($\eta$ generischer Punkt von $C$) irreduzibel ist, folgt daraus, dass fast alle Fasern irreduzibel sind (im Sinne von "alle Fasern über einer offnen Menge $U \subset C$)? Wenn ja, dann ist die Faserung aus deinem Post in der Tat ein Gegenbsp. Allerdings vermute ich, dass die Forderung, dass alle Fasern über dichten offenen Teilmenge irreduzibel seien, im Allgemeinen stärker sein muss, als dies nur über generischem Punkt zu fordern (mir fällt leider kein Gegenbsp ein) Bei einer elliptischen Faserung heißt es ja per Def., dass fast alle Fasern elliptische Kurven sind (insb. irreduzibel), also das bedeutet ja, dass es ein offnees $U \subset C$ existiert, sodass alle Fasern über $U$ elliptische Kurven sind. Und die Frage ist eben, ob es bereits äquivalent dazu ist, zu fordern, dass nur die generische Faser ne elliptische Kurve ist.


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kurtg
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-07-08

Wenn der Morphismus generisch glatt ist, dann auch über einer offenen dichten Teilmenge. Dann sind darüber die Fasern geometrisch regulär, und wenn zusammenhängend, dann auch integer.


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KarlRuprecht
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-07-08

Gilt diese Aussage für generisch glatte Morphismen von Schemata über Grundkörper mit beliebiger Charakteristik oder nur bei char $0$? Das Theorem, das ich in Erinnerung habe, wird hier zitiert https://math.stackexchange.com/q/3463550 und galt nach meinem Wissen nur im Falle von char $0$ (dort wird mit der Garbe der Kähler-Diffs gearbeitet und in char $ \neq 0$ birgt diese so ihre Tücken :). Da du die Charakteristik nicht erwähnst, referenzierst du offenbar auf ein stärkeres Resultat, das davon scheinbar unabhängig ist. Das ist interessant, ich kannte es vorher nicht, könntest du die Referenz dazu angeben wo ich mich in den Beweis einlesen kann?


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KarlRuprecht
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  Beitrag No.10, eingetragen 2021-07-08

ich glaube übrigens, dass ich das Argument bzgl Surjektivität von $f^*$ modifizieren kann. In der Tat können singuläre Fasern bei elliptischen Kurven reduzibel sein wie kurtg korrekterweise angemerkt hat, aber jede Komponente jeder dieser Faser hat Selbstschnitt-Zahl $-2$, und kann daher nicht numerisch equivalent von $0$ sein, also sind sie bzw ihre Klassen auch nicht in $Pic^0(S)$ enthalten. So müsste es stimmen, oder?


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Saki17
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-08

\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}}\) @KarlRuprecht erstmal vielen Dank für deine ausführliche Antwort. Eigentlich wollte ich später auf die Irreduzibilität der Fasern eingehen, nachdem ich deine Lösung zu meiner ursprüngliche Frage ausgearbeitet habe... \quoteon(2021-07-07 02:00 - KarlRuprecht in Beitrag No. 5) Problem: Wie ich oben erläutert habe, bin ich mir nicht sicher wo ich die Aussage, dass wenn bei einer Faserung (allgemeiner: flachen Familie) fast alle Fasern irreduzibel sind, dann sind es alle. \quoteoff Bei elliptischen Flächen ist das nicht der Fall. Man kann mittels fundamentalen Eigenschaften des Schnittproduktes sowie dem unten stehenden Fakt zeigen, dass die singulären Fasern von einer (relativ minimalen) elliptischen Flächen (mit zsh. Fasern) aus mehreren (>1) irreduziblen Komponenten (mit Multiplizität) bestehen können, deren Normalisierungen jeweils zu $\mathbb{P}^1$ isomorph sind (*). Leider kenne ich gerade kein konkretes Beispiel, aber schau mal das obige arXiv Paper, Section 4 bzw. Table 1 auf Seite 14, da sind die Fasern (zumind. im komplexen Fall nach Kodaira) klassifiziert. Laut Formel (13) direct unter dieser Table kann man sogar die Anzahl der irred. Komponenten bestimmen. Relativ minimal bedeutet, dass keine der Fasern $\mathbb{P}^1$ enthält. Vielleicht ist der folgende Fakt erwähnenswert. Fakt. Sei $f: S\to C$ eine relativ minimale elliptische Faserung. Sei $F=\sum_1^k m_iC_i$ eine Faser von $f$ ($C_i$ seien die integralen Kurven). Es bezeichnet $(-,-)$ das Schnittprodukt auf der Fläche $S$. Dann gilt (1) $(C_i,C_i)\leq 0$. (2) Die Gleichheit gilt genau dann, wenn $F=rC_i$ für gewisses $r\in \IQ$ und $i\in \{1,\ldots,k\}$. (Dieser Fall ($r\neq 0, 1$) kommt nicht vor wenn $f$ einen Schnitt hat.) Beweis (für den komplexen Fall). Das ist ein spezialer Fall von Beauville, Complex Algebraic Surfaces, Corollary VIII.4. (Faserungen sind surjektiv.) [Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]\(\endgroup\)


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KarlRuprecht
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  Beitrag No.12, eingetragen 2021-07-08

Ja danke, hast natürlich recht, ein Blick in die Klassifikation aus dem Paper zu werfen wäre bei meiner Antwortausarbeitung hilfreich gewesen :) Nichtdestotrotz interessieren uns für den Nachweis der Surjektivität von $f^*$ die Komponenten der singulären Fasern ja nicht wegen besagten Selbstschnittmultiplizität $-2$ denn ihre Klassen tauchen sowieso nicht in $Pic^0(S)$ auf


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Saki17
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-08

\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}}\) \quoteon(2021-07-07 02:00 - KarlRuprecht in Beitrag No. 5) [...] dann liegen zunächst alle vertikalen Divisoren im Bild von $f^*$ wenn wir einzelne Punkte in $C$ zurückziehen. Genauer recht es nur einen abgeschlossenen $c \in C$ zurückzuziehen, denn nach Beobachtung auf Seite 22 sind alle Fasern einer elliptischen Faserung algebraisch equivalent, und in $Pic^0$ betrachten wir alg eqiv Klassen modulo num equi Klassen, damit trifft $f^*$ schon mal alle vertikalen Divisorklassen. \quoteoff Das überzeugt mich. Im Blick auf deine nachfolgenden Posten: Spielt denn die Irreduziblität des Pullbacks eine Rolle? Zieht nicht das Argument durch? \quoteon(2021-07-07 02:00 - KarlRuprecht in Beitrag No. 5) Jetzt die horizontalen. Ich behaupte, dass alle horizontale Divisoren NICHT algebraisch equivalent zu $0$ sind und somit nicht in $Pic^0(S)$ enthalten sind. Zunächst, nach Thm 6.5, Seite 24 ist auf elliptischer Kurve algebr Equivalenz dasselbe wie numerische. Jeder horizontale Divisor schneidet aber die genrische Faser nicht rivial, somit ist es nicht alg equiv zu $0$. \quoteoff Auch dieser Teil überzeugt mich. \quoteon(2021-07-07 02:00 - KarlRuprecht in Beitrag No. 5) Damit enthält $Pic^0(S)$ nur Klassen horizontaler Divs und die werden nach obigen Begründung alle von Pullbacks der $Pic^0(C)$ getroffen, et voilà! \quoteoff Du meintest wohl die vertikalen? [Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]\(\endgroup\)


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Saki17
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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-08

\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}}\) \quoteon(2021-07-08 21:26 - KarlRuprecht in Beitrag No. 9) Gilt diese Aussage für generisch glatte Morphismen von Schemata über Grundkörper mit beliebiger Charakteristik oder nur bei char $0$? Das Theorem, das ich in Erinnerung habe, wird hier zitiert https://math.stackexchange.com/q/3463550 und galt nach meinem Wissen nur im Falle von char $0$ (dort wird mit der Garbe der Kähler-Diffs gearbeitet und in char $ \neq 0$ birgt diese so ihre Tücken :). Da du die Charakteristik nicht erwähnst, referenzierst du offenbar auf ein stärkeres Resultat, das davon scheinbar unabhängig ist. Das ist interessant, ich kannte es vorher nicht, könntest du die Referenz dazu angeben wo ich mich in den Beweis einlesen kann? \quoteoff Ich glaube du hättest etwas verwechselt. Wenn die generische Glattheit vorliegt, dann hat man es auch auf einer offenen dichten Teilmenge, wie kurtg gesagt hat (weil die Glattheit sich "ausbreiten" lässt, s. Thm.3.2.1(iv) von https://math.mit.edu/~poonen/papers/Qpoints.pdf (setze blah=glatt)). Andererseits wenn es a priori keine Glattheit gibt, dann kann man sie im Fall der Char. 0 über einer dichten offenen finden (die anderen notwendigen Bedingungen sind z.B. in Hartshorne, III.10.5 zu finden).\(\endgroup\)


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KarlRuprecht
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  Beitrag No.15, eingetragen 2021-07-09 21:36

\quoteon(2021-07-08 23:08 - Saki17 in Beitrag No. 13) Im Blick auf deine nachfolgenden Posten: Spielt denn die Irreduziblität des Pullbacks eine Rolle? Zieht nicht das Argument durch? \quoteoff In der Tat nein, denn $Pic^0(S)$ enthält ja nicht Divisorklassen der irreduziblen Komponenten der singulären reduziblen Fasern. Somit müssen wir uns nicht fragen, ob sie von Pullbacks der Klassen aus $Pic^0(C)$ getroffen werden; (werden sie sowieso nicht, denn sonst wäre $f^*$ nicht wohldefiniert) \quoteon(2021-07-08 23:08 - Saki17 in Beitrag No. 13) \quoteon(2021-07-07 02:00 - KarlRuprecht in Beitrag No. 5) Damit enthält $Pic^0(S)$ nur Klassen horizontaler Divs und die werden nach obigen Begründung alle von Pullbacks der $Pic^0(C)$ getroffen, et voilà! \quoteoff Du meintest wohl die vertikalen? \quoteoff Yes! \quoteon(2021-07-08 23:08 - Saki17 in Beitrag No. 13) Ich glaube du hättest etwas verwechselt. Wenn die generische Glattheit vorliegt, dann hat man es auch auf einer offenen dichten Teilmenge, wie kurtg gesagt hat (weil die Glattheit sich "ausbreiten" lässt, s. Thm.3.2.1(iv) von https://math.mit.edu/~poonen/papers/Qpoints.pdf (setze blah=glatt)). Andererseits wenn es a priori keine Glattheit gibt, dann kann man sie im Fall der Char. 0 über einer dichten offenen finden (die anderen notwendigen Bedingungen sind z.B. in Hartshorne, III.10.5 zu finden). \quoteoff Ja stimmt, in dem von mir verlinkten Thread wird ohne Annahme gearbeitet, dass die generische Faser glatt ist. In char $0$ ist das nach diesem Resultat "geschenkt", während das Resultat, auf das kurtg verwiesen hat, es als Annahme nutzt. Daher sind das also zwei grundverschiedene Resultate. Danke für die Klarstellung!


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Saki17
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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-11 17:58

\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}}\) @KarlRuprecht Mir ist gerade aufgefallen, dass in deinem Argument die Bedingung, dass die elliptische Fläche $S$ keine Produktfamilie über $C$ ist, nicht explicit verwendet wurde (so auch im Paper; die Annahme befindet sich in Section 3.3). \(\endgroup\)


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KarlRuprecht
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  Beitrag No.17, eingetragen 2021-07-11 19:45

Die Zerlegung als solche sollte daran nicht scheitern: Sei $p: S \to C$ gefaserte Fläche (ich arbeite mit Def aus Liu, 8.3.5, S 349)) über Dedekind Schema $C$ (zB glatte Kurve) und $D \subset S$ ein irreduzibler (Weil) Divisor. Dann ist Bild $p(D)$ auch irreduzibel. Dann ist es entweder ganz $C$ oder ein einzelner Punkt. Falls Ersteres eintritt, so nennen wir $D$ horizontal, falls $p(D)$ Punkt, dann vertikal. Andere Möglichkeiten gibt's nicht. Ein beliebiger Divisor $D$ ist ber Definition eine formale Linkomb $\sum_i a_i D_i, a_i \in Z, D_i$ irred. Und schon haben wir unsere Zerlegung wenn wir $D_i$ nach obigem Schema ordnen. Nun bin ich mir nicht sicher, wieso der Fall, dass $S= B \times C$ die Surjektivität von $f^*$ ausschließen soll wie du es sagst. Ich denke nicht, dass es der Fall sein muss. Wieso vermutest du das? In 6.9 aus dem Paper wird nicht derartiges erwähnt, das sowas nicht auftreten darf. Die einzige Fortderung ist, dass $C \to S$ ellptisch, also Def. 3.1. Nach dieser Def kann aber $S= B \times C$ elliptisch sein, falls zB $B$ elliptisch und keine exzept Kurve enthält. In Sec. 3.3 (2) wird der Ausschluss von $B \times C$ scheinbar als reine "Konvention" eingeführt, da die Flächen mit singulären Fasern einfach "spannender" sind. Dass $S$ elliptisch sein muss ist eher dafür wesentlich um algebraische und numerische Equivalenzen zu identifizieren, Thm 6.5. Wenn wir das nicht zur Verfügung hätten, wüsste ich nicht wie ich auf die Surjektivität von $f^*$ schließen soll; ich hab ja im wesentlichen den Beweis über eine Schnittmultiplizitäten-Analyse geführt.


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  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-11 22:35

\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}}\) Danke für deine Antwort. \quoteon(2021-07-11 19:45 - KarlRuprecht in Beitrag No. 17) In Sec. 3.3 (2) wird der Ausschluss von $B \times C$ scheinbar als reine "Konvention" eingeführt, da die Flächen mit singulären Fasern einfach "spannender" sind. \quoteoff Ich interpretiere die Konventionen als Annahmen. An der gleichen Stelle wird auch angenommen, dass jede elliptische Fläche im Paper einen Schnitt hat. Das macht schon etwas Unterschiedes. \quoteon(2021-07-11 19:45 - KarlRuprecht in Beitrag No. 17) Nun bin ich mir nicht sicher, wieso der Fall, dass $S= B \times C$ die Surjektivität von $f^*$ ausschließen soll wie du es sagst. Ich denke nicht, dass es der Fall sein muss. Wieso vermutest du das? \quoteoff Betrachten wir den komplexen Fall. Im Beitrag #2 habe ich skizziert, dass wenn $S$ eine Produktfamilie ist, dann gilt $q(S)=q(C)+1$. Nun ist aber $q(S)$ (bzw. $q(C)$) die komplexe Dimension vom Torus $Pic^0(S)$ (bzw. $Pic^0(C)$). Also können $Pic^0(S)$ und $Pic^0(C)$ nicht isomorph sein. Für die anderen Leser. \quoteon(2021-07-11 19:45 - KarlRuprecht in Beitrag No. 17) Die Zerlegung als solche sollte daran nicht scheitern: Sei $p: S \to C$ gefaserte Fläche (ich arbeite mit Def aus Liu, 8.3.5, S 349)) über Dedekind Schema $C$ (zB glatte Kurve) und $D \subset S$ ein irreduzibler (Weil) Divisor. Dann ist Bild $p(D)$ auch irreduzibel. \quoteoff bezieht sich auf eine von mir gelöschte Vermutung im Beitrag #16: Die Zerlegung in horizontale und vertikale brächte das, dass die Fläche $S$ keine Produktfamilie ist. Wie KarlRuprecht im Zitat geschrieben hat, ist die Vermutung falsch. \(\endgroup\)


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KarlRuprecht
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  Beitrag No.19, eingetragen 2021-07-12 00:26

Das ist ein interessanter Punkt, denn ich noch nicht ganz durchblicke. Wieso sind $q(S)$ und $g(C)$) die komplexe Dimensionen von $Pic^0(S)$ und$Pic^0(C)$? Lass den mal durchgehen, vielleicht ergibt sich daraus das Verständnisproblem. Also nehmen wir an $f: S = B \times S \to C$ und wir arbeiten über $k= \mathbb{C}$, dann hätten wir $f_*O_S=O_C$ und mit Lemma 14(ii) hätten wir $H^1(S)= H^1(C)+ 1$ weil $L= (f_*O_S)^{\vee}=O_C$ aus dem Buch trivial (folgt aus Spectralsequenz oben). (ich setze $H^1(S):= q(S)=\dim_{\mathbb{C}}H^1(S, O_S)$ und $H^1(C):= g(C)=\dim_{\mathbb{C}}H^1(C, O_C)$; andere Notation verwirrt mich irgendwie) Jetzt bringen wir Pics ins Spiel mit der Exponentialsequenz. Sei im folgenden $X= S$ oder $C$ nach Kontext. Wir betrachten den relevanetn Expo-Abschnitt $$ ... \rightarrow H^{0}(\mathcal{O}_{X}^{\times}) \xrightarrow{a} H^{1}(\mathbb{Z}_{X}) \xrightarrow{b} H^{1}(\mathcal{O} _{X}) \xrightarrow{c} H^{1}(\mathcal{O}_{X}^{\times}) \xrightarrow{d} H^{2}(\mathbb{Z}_{X}) \rightarrow $$ wobei $\mathbb{Z}_{X}$ die lokal kons Garbe und bekanntlich $Pic(X)= H^{1}(\mathcal{O}_{X}^{\times})$. Weiterhin erkennen wir $Pic^0(X)$ als Kern von rechten Abb $H^{1}(\mathcal{O}_{X}^{\times}) \xrightarrow{d} H^{2}(\mathbb{Z}_{X})$ und wegen Exaktheit von Expo ist isomorph zu $$Ker(d)= Im(c) = H^1(\mathcal{O} _{X})/ker(c)= H^1(\mathcal{O}_{X})/Im(b)$$; Also müssen wir $H^1(\mathcal{O} _{X})/Im(b)$ für $X= S$ und $C$ vergleichen. Ich sehe nicht, wie wir da weiter vorankommen sollen bzw $H^1(S)= H^1(C)+ 1$ ausnutzen um zu einem Widerspruch zu gelangen. Was wissen wir genau über Abbildung $b$ bzw $H^{1}(\mathbb{Z}_{X})$? Ich sehe nicht wie wir die Dimension von $Im(b)$ kontrollieren können. Wie hast du da argumentiert?


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Saki17
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  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-12 02:26

\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}}\) Sorry! Mit $q(C)$ meinte ich $g(C)$, das geometrische oder arithmetische Geschlecht der glatten Kurve $C$. Und das $q(S)$ ist die Irregularität der glatten Fläche $S$. Beide hast du richtig interpretiert. \quoteon(2021-07-12 00:26 - KarlRuprecht in Beitrag No. 19) Wieso sind $q(S)$ und $g(C)$) die komplexe Dimensionen von $Pic^0(S)$ und$Pic^0(C)$? \quoteoff Das folgt aus der Exponentialsequenz wie in deinem Beitrag #19. Beachte dass wir wohl von $0\to H^1(\IZ_X)\to\ldots$ starten können, denn $X$ is analytisch zusammenhängend ($X=S$ is Zariski irreduzibel, damit auch Zariski zsh., welches äquivalent zu analytisch zsh. ist), sodass $H^0(O_X)\to H^0(O_X^\times)$ surjektiv ist. Daher $$Pic^0(X)=H^1(X,O_X)/H^1(X(\IC),\IZ_X).$$ ($X(\IC)$ trägt die analytische Topologie.) Dadurch sehen wir auch, dass $Pic^0(X)$ ein Torus ($H^1(X(\IC),\IZ_X)\subset H^1(X,O_X)$ ist ein Gitter vom vollen Rang) ist von der komplexen Dimension $\dim_{\IC} H^1(X,O_X)=q(X)$. Für die komplexe Kurve $C$ wissen wir, dass $g(C)$ der Dimension der abelschen Varietät $Pic^0(C)=Jac(C)$ (die Jakobi-Varietät) entspricht; anderseits ist diese Dimension auch die komplexe Dimension vom Torus $Pic^0(C)(\IC)$. \(\endgroup\)


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KarlRuprecht
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  Beitrag No.21, eingetragen 2021-07-12 03:50

Hm, $H^0(O_X)\to H^0(O_X^\times)$ ist surjektiv, wenn $X$ analytisch zusammenhängend? Das folgt doch daraus, dann $X$ zshg impliziert, dass $H^0(O_X)= \mathbb{C}$ und $H^0(O_X^\times)= \mathbb{C}^*$ und die Abbildung wäre nichts anderes als die Expo-Abb. (meinst du dieses Argument wegen zshg von $X$?) Dann hätten wir zunächst eine Inklusion $H^1(X(\IC),\IZ_X)\subset H^1(X,O_X)$ von Abelischen Gruppen, wieso impliziert das, dass $H^1(X(\IC),\IZ_X)$ vollen (!!!) Rang, also $2 H^1(X)$ hätte? (Vermutung: kannst du hier $H^1(X(\IC),\IZ_X)$ mit singulärer Kohomologiegruppe mit $Z$-Koeff $H^1(X(\IC),\mathbb{Z})$ identifizieren, oder geht das direkter?)


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Saki17
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  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-12 14:05

\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}}\) Eines vorweg, ich nutze das GAGA-Prinzip wann immer möglich ist. Z.B. $O_X$ bezeichnet einerseits die Strukturgarbe der (glatten) alg. Varietät $X$ über $\IC$, andererseits auch die Garbe der holomorphen Funktionen (streng genommen soll ich es mit $O_X^{an}$ unterscheiden, aber es wäre ein bisschen lästig zu tippen...) \quoteon(2021-07-12 03:50 - KarlRuprecht in Beitrag No. 21) Hm, $H^0(O_X)\to H^0(O_X^\times)$ ist surjektiv, wenn $X$ analytisch zusammenhängend? Das folgt doch daraus, dann $X$ zshg impliziert, dass $H^0(O_X)= \mathbb{C}$ und $H^0(O_X^\times)= \mathbb{C}^*$ und die Abbildung wäre nichts anderes als die Expo-Abb. (meinst du dieses Argument wegen zshg von $X$?) \quoteoff $H^0(O_X)$ oder genauer $H^0(X(\IC),O_X)$ ist ja der Raum der holomorphe Funktionen auf $X$. Wenn $X$ analytisch zsh ist (und $X$ projektiv damit $X(\IC)$ kompakt), dann ist $H^0(O_X)= \mathbb{C}$ und $H^0(O_X^\times)= \mathbb{C}^*$ wie du gesagt hast. Im diesem Fall ist die von $\exp(2\pi i(-)): O_X\to O_X^\times$ induzierte Abbildung $H^0(O_X)\to H^0(O_X^\times)$ surjektiv. Ich habe nicht überlegt, ob der Zusammenhang auch notwendig ist für die letzte Aussage. \quoteon(2021-07-12 03:50 - KarlRuprecht in Beitrag No. 21) Dann hätten wir zunächst eine Inklusion $H^1(X(\IC),\IZ_X)\subset H^1(X,O_X)$ von Abelischen Gruppen, wieso impliziert das, dass $H^1(X(\IC),\IZ_X)$ vollen (!!!) Rang, also $2 H^1(X)$ hätte? (Vermutung: kannst du hier $H^1(X(\IC),\IZ_X)$ mit singulärer Kohomologiegruppe mit $Z$-Koeff $H^1(X(\IC),\mathbb{Z})$ identifizieren, oder geht das direkter?) \quoteoff Ich gebe zu, das ist ein wenig involviert (man verwendet Hodge-Zerlegung). Ich denke zunächst an die Garbenkohomologie. (Es soll Sätze geben, dass diese zur sing. Kohomologie äquivalent ist.) Eine direkte Referenz wäre Huybrechts, Complex Geometry, Corollary 3.3.6 ($X(\IC)$ ist Kähler-Mannigfaltigkeit weil $X$ projektiv ist). Nachtrag. Eine Version des Vergleichssatzes lautet folgendes. Satz. Sei $X$ ein lokal zusammenziehbarer topologischer Raum und sei $A$ ein kommutativer Ring. Sei $A_X$ die konstante Garbe auf $X$. Es gibt einen (natürlichen) Isomorphismus $$H^i_{sing}(X,A)=H^i(X,A_X)$$ zwischen der Garbenkohomologie und der singulären Kohomologie.\(\endgroup\)


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KarlRuprecht
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  Beitrag No.23, eingetragen 2021-07-13 01:11

\quoteon(2021-07-12 14:05 - Saki17 in Beitrag No. 22) $H^0(X(\IC),O_X)$ ist ja der Raum der holomorphe Funktionen auf $X$. Wenn $X$ analytisch zsh ist (und $X$ projektiv damit $X(\IC)$ kompakt), dann ist $H^0(O_X)= \mathbb{C}$ und $H^0(O_X^\times)= \mathbb{C}^*$ wie du gesagt hast. Im diesem Fall ist die von $\exp(2\pi i(-)): O_X\to O_X^\times$ induzierte Abbildung $H^0(O_X)\to H^0(O_X^\times)$ surjektiv. Ich habe nicht überlegt, ob der Zusammenhang auch notwendig ist für die letzte Aussage. \quoteoff So wäre es formal ganz sauber. Also zhgd + kompakt ist sicherlich hinreichend, vgl Huybrechts' Buch Prop 2.1.5, S 53. Aber ich denke es ist doch zu viel, es sollte kompakt ausreichen, vgl Diskussion unter Def. 2.2.12, S 70 ausm selben Buch. Wenn $X(\mathbb{C})= Z_1 \cup ... \cup Z_1$ nicht zusammenhängend ist ist, dann gilt für den Raum der holom Fkten $H^0(X(\IC),O_X) = \oplus_i H^0(Z_i, O_Z)$ (sollte einfach zu zeigen sein) und dann haben wir Surjektivität summandenweise, als insgesamt. \quoteon(2021-07-12 14:05 - Saki17 in Beitrag No. 22) \quoteon(2021-07-12 03:50 - KarlRuprecht in Beitrag No. 21) Dann hätten wir zunächst eine Inklusion $H^1(X(\IC),\IZ_X)\subset H^1(X,O_X)$ von Abelischen Gruppen, wieso impliziert das, dass $H^1(X(\IC),\IZ_X)$ vollen (!!!) Rang, also $2 H^1(X)$ hätte? (Vermutung: kannst du hier $H^1(X(\IC),\IZ_X)$ mit singulärer Kohomologiegruppe mit $Z$-Koeff $H^1(X(\IC),\mathbb{Z})$ identifizieren, oder geht das direkter?) \quoteoff Ich gebe zu, das ist ein wenig involviert (man verwendet Hodge-Zerlegung). Ich denke zunächst an die Garbenkohomologie. (Es soll Sätze geben, dass diese zur sing. Kohomologie äquivalent ist.) Eine direkte Referenz wäre Huybrechts, Complex Geometry, Corollary 3.3.6 ($X(\IC)$ ist Kähler-Mannigfaltigkeit weil $X$ projektiv ist). \quoteoff War da neugierig wieviel "Input" es tatsächlich zusätzlich bedürfe um $H^1(X(\IC),\IZ_X)= \IZ^{2q}$ zu folgern. Dies schien mir jedenfalls nicht "trivial", und Hodge-Theorie oder Coho-Vergleich sind schon schwere Geschütze und es ist grundsätzlich immer interessant, ob sich etwas mit relativ "elementaren" Mitteln rausfinden lässt. Ich glaub jetzt haben wir das letzte Puzzlestück: Tatsächlich hattest du recht, die Annahme,dass $S$ kein Produkt sein darf ist auch im Elliptic Surface-paper wesentlich. Entscheidend fürs ganze war ja, dass wir algebraische und numerische Equivalenzen identifizieren konnten, und um das wiederum zu zeigen, bräuchten wir Thm 6.10 (S 27). Und der wiederum erfordert, dass unsere ellipt Fläche singuläre Fasern enthalten müsste. Also kein Produkt mit elliptischer Kurve.


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Saki17
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  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-13 14:04

Bis auf die zitierten Sätze sind wir ans Ziel gekommen. Danke für die Diskussion!


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Saki17 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Saki17 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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