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  Temperaturabhängigkeit des Bragg-Winkels |
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Lambda88
Aktiv 
Dabei seit: 08.05.2014
Mitteilungen: 296
 |  Themenstart: 2021-06-21
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Hallo zusammen,
ich habe ein Problem bei der folgenden Aufgabe.
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/39767_Bragg.jpg
Bei den d in der Bragg-Bedingung handelt es sich ja um den Gitterebenenabstand. Durch die thermische Ausdehnung würde sich der dieser um einen Betrag x ändern, also wäre der neue Abstand dann einfach d+x.
Leider weiß ich jedoch nicht, wie ich dieses x ausrechnen soll. In unserem Skript ja wir zwar eine Formel hergeleitet für die thermische Ausdehnung des Materials, aber hierbei handelt es sich ja um die Änderung der Makroskopische Größe des Materials und nicht auf Mikroebene.
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/39767_Ausdehnung.jpg
Im Internet/Büchern finde ich leider nichts dazu, wie sich der Winkel in Abhängigkeit der Temperatur ändern.
Vielen Dank schon einmal für die Hilfe
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semasch
Senior 
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 474
Wohnort: Wien
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-21
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Moin Lambda88,
vorab: Das von dir zitierte $\Delta x$ aus deinem Skriptum ist die temperaturbedingte mittlere Auslenkung führender Ordnung eines Teilchens in einem harmonischen Potential mit einem kubischen, anharmonischen Störterm. Dieses Modell dient eher der Erklärung, dass die thermische Ausdehnung in führender Ordnung dem bekannten Gesetz $\Delta L/L = \alpha \Delta T$ gehorcht, wobei $L$ die Ausdehnung des Körpers in einer Richtung ist. Deine nachfolgende Integration stimmt so nicht ganz, da es in der zweiten Zeile $\ln(x/x_0) = \alpha (T-T_0)$ heißen müsste, und entsprechend auch die dritte Zeile anders lautet (in der dann übrigens auch $e^{\alpha (T-T_0)} \approx 1+\alpha (T-T_0) = 1+\alpha \Delta T$ gesetzt werden müsste, da das Ausgangsgesetz auch nur eine Näherung ist und nur für $\alpha \Delta T \ll 1$ in dieser Form angewendet werden darf).
Um die Aufgabe zu lösen, würde ich dir aber ohnehin einen anderen Ansatz empfehlen. Ausgangspunkt ist besser das oben genannte Gesetz, wobei man jetzt als Ausdehnung $L = d$ den Gitterebenenabstand betrachtet. Mit der Bragg-Bedingung für den $n$-ten Reflex hat man also die beiden Gleichungen
\[\frac{\Delta d}{d} = \alpha \Delta T, \, 2d\sin(\theta) = n\lambda = 2(d+\Delta d)\sin(\theta+\Delta \theta).\]
Daraus kannst du $\Delta \theta$ errechnen. Wenn du zusätzlich $\frac{\Delta d}{d} \ll 1$ berücksichtigst, kannst du mit einer zusätzlichen Kleinheitsbedingung an die Beziehung von $\theta$ und $\frac{\Delta d}{d}$ daraus mit geeigneten Näherungen $\Delta \theta$ sogar über einen linearen Zusammenhang mit $\Delta T$ in Verbindung bringen.
LG,
semasch
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Lambda88
Aktiv
Dabei seit: 08.05.2014
Mitteilungen: 296
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-23
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Hallo semasch, danke das du mir noch einmal Hilfst.
Vielen Dank mit dem Tipp (\Delta d)/d=\alpha*\Delta T auf die Idee bin ich gar nicht gekommen, jetzt macht die Aufgabe schon mehr Sinn :-)
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Lambda88 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Lambda88 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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