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Mathematik » Strukturen und Algebra » Torus Spec(K[M]) mit M=(a_0,....,a_n) ∈ Z^(n+1) | Σ{i=0}^na_i=0
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Universität/Hochschule Torus Spec(K[M]) mit M=(a_0,....,a_n) ∈ Z^(n+1) | Σ{i=0}^na_i=0
Yuname
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-06-22


Für $N=M=\mathbb{Z}^n$ and $e_0,...,e_n$ Standardbasis von $\mathbb{Z}^n$ ist der Torus $T=\text{Spec}(K[M])=\text{Spec}(K[x_1^{\pm 1},...,x_n^{\pm 1}])=\mathbb{G}_m^n$, wobei $x_i=\chi^{e_i}$ mit Charaktergitter $M$.

Kann mir jemand erklären wieso man $T=\text{Spec}(K[M])=\mathbb{G}_m^{n+1}/\mathbb{G}_m$ für das Charaktergitter $M=\{(a_0,....,a_n)\in\mathbb{Z}^{n+1}\mid \sum_{i=0}^na_i=0\}$ bekommt? Das Gitter von Ein-Parameter-Untergruppen ist in dem Fall $N=\mathbb{Z}^{n+1}/\mathbb{Z}(1,1,...,1)$.

Ist $\mathbb{G}_m^n/\mathbb{G}_m=\mathbb{P}^n\backslash \bigcup_{i=0}^nV(x_i)$?

Vielen Dank im Voraus!



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happymodulistack
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-22


Wenn Du die Wirkung von $\mathbf{G}_m$ auf $\mathbf{A}^{n+1}\setminus\{0\}$ betrachtest, dann ist der Quotientenraum $\mathbf{P}^n$. In $\mathbf{A}^{n+1} \setminus \{0\}$ ist der Torus $\mathbf{G}_m^{n+1}$ als invariantes offenes Unterschema enthalten und der Quotient $\mathbf{G}_m^{n+1} / \mathbf{G}_m$ ist, wie Du schreibst, der dichte Torus $D_+(x_0 \cdots x_n) \subset \mathbf{P}^n$. Diesen kannst Du, wenn Du möchtest, auch auffassen als den Koordinatentorus in $\mathbf{A}^n = D_+(x_0) = \mathrm{Spec} ( K[x_1/x_0, \dots, x_n/x_0])$. Damit kannst Du zum Beispiel einsehen, dass das Charaktergitter kanonisch isomorph zu Deinem $M$ ist.



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Yuname
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-23


@happymodulistack
Welches Charaktergitter ist kanonisch isomorph zu $M=\{(a_0,...,a_n)\in \mathbb{Z}^{n+1}\mid \sum_i a_i=0\}$ bzw. was meinst du mit Charaktergitter?



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happymodulistack
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-28

\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec} \newcommand{\IA}{\mathbf{A}} \newcommand{\IB}{\mathbf{B}} \newcommand{\IC}{\mathbf{C}} \newcommand{\ID}{\mathbf{D}} \newcommand{\IF}{\mathbf{F}} \newcommand{\IG}{\mathbf{G}} \newcommand{\IH}{\mathbf{H}} \newcommand{\IN}{\mathbf{N}} \newcommand{\IQ}{\mathbf{Q}} \newcommand{\IP}{\mathbf{P}} \newcommand{\IR}{\mathbf{R}} \newcommand{\IT}{\mathbf{T}} \newcommand{\IZ}{\mathbf{Z}}\)
Das Charaktergitter $M$ eines Torus $T$ (also einer algebraischen Gruppe, die isomorph zu $\mathbf{G}_m^n$ ist) ist definiert als die Gruppe aller Morphismen algebraischer Gruppen $T \to \mathbf{G}_m$. Das gibt Anlass zu einer Äquivalenz zwischen Tori $T$ und endlich erzeugten freien abelschen Gruppen $M$. Die Umkehrung ist durch $M \mapsto \operatorname{Spec}K[M]$ gegeben.

Ich meine, dass das Charaktergitter von $\mathbf{G}_m^{n+1} / \mathbf{G}_m$ kanonisch isomorph zu $M = \{ (a_0, \dots, a_n) \in \mathbf{Z}^{n+1} \mid \sum a_i = 0\}$ ist (oder äquivalent, dass $\operatorname{Spec}K[M]$ kanonisch isomorph zu $\mathbf{G}_m^{n+1} / \mathbf{G}_m$ ist).

Um das nachzuprüfen, will ich $\mathbf{G}_m^{n+1} / \mathbf{G}_m \subset \mathbf{A}^n \subset \mathbf{P}^n$ betrachten und die Koordinaten von $\mathbf{A}^n$ benutzen.
\(\endgroup\)


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