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Differentiation » Taylorentwicklungen » Taylorreihe
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Universität/Hochschule J Taylorreihe
Mantel
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  Themenstart: 2021-06-22

Hallo lieber Leser, ich versuche, eine Herleitung zu verstehen und scheitere bis jetzt. Der Ausdruck: (sqrt(n+1)-sqrt(n))/(sqrt(n)-sqrt(n-1)) soll durch den Ersatz mit der Taylor-Reihe aus sqrt(1+-1/n)=1+-1/2n-1/8n^2+O(1/n^3) zu (1+1/2n-1/8n^2+O(1/n^3)-1)/(1(-1/2n-1/8n^2+O(1/n^3)))=(4n-1)/(4n+1) werden. Abgesehen davon, dass es mir bis jetzt noch nicht gelungen ist, die o.g. Taylor-Reihe in Maple nachzuvollziehen, verstehe ich den Ansatz nicht! Wieso ist gerade die Reihe aus sqrt(1+-1/n) für den eingangs genannten Ausdruck geeignet? Kannst Du mir auf die Sprünge helfen?


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-22

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo und willkommen hier im Forum! Wenn du im Zähler und im Nenner jeweils \(\sqrt{n}\) ausklammerst, dann hast du noch zwei Wurzeln dastehen: eben die beiden, welche durch die Reihenentwicklung approximiert werden. Dein zweiter fed-Block enthält noch den einen oder anderen Fehler, den ich jetzt jedoch einmal auf die Tücken der ersten Benutzung dieses Systems zurückführe. 🙂 Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Mantel
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-23

Danke! ...hatte ein Brett vorm Kopf! Es war wohl schon zu spät am Abend. Immerhin habe ich nun dieses interessante Forum entdeckt!


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Mantel
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-23

Danke nochmal! Die angegebene Taylorreihe bleibt für mich trotzdem noch ein Rätsel. Die Herleitung stammt aus einer kurzen Application Note der Fa. ATMEL (s.ggf. S.14 http://ww1.microchip.com/downloads/en/appnotes/doc8017.pdf). Ich habe die App-Note heute nachvollzogen und es funktioniert. Leider verstehe ich nicht, wie der Autor auf die angegebene Taylorreihe kommt: sqrt(1+-1/n)=1+-1/2n-1/8n^2+O(1/n^3 Ich habe die Plots der Originalfunktion und dieser Reihe verglichen. Sie stimmen natürlich überein. Wenn ich jedoch versuche, die Taylorreihe aufzustellen, erhalte ich, egal ob mit MAPLE oder der manuellen Bildungsvorschrift (sowie mit verschiedenen Entwicklungspunkten), etwas völlig anderes. Was ist das Geheimnis? Muß der Wurzelausdruck umgestellt werden oder gibt's einen besonderen Entwicklungspunkt, der verwendet werden muss?


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Diophant
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, da wurde vermutlich die Binomische Reihe der Wurzelfunktion \(x\mapsto\sqrt{1+x}\) verwendet und noch \(x=\frac{1}{n}\) bzw. \(x=-\frac{1}{n}\)gesetzt. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Mantel
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-24

Ja, das ist des Rätsels Lösung. Die binomischen Formeln sind das Stichwort. Irgendwie sollen die Taylorreihe und die binomischen Formeln auch ineinander überführt werden können, so dass der Autor der App-Note mit seiner "Taylorreihe" nicht Unrecht hat. Ich finde, "binomischen Formel" wäre trotzdem zielführender gewesen. Also, geehrter "Diophant" - Danke und meine Hochachtung für die Arbeit hier!


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