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| Autor |
 Lax-Paar: Beispiel verstehen |
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kaotisch
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 27.04.2013
Mitteilungen: 968
Wohnort: Niedersachsen
 |  Themenstart: 2021-06-23
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Hallo,
könnt ihr mir mal bitte auf die Sprünge helfen?
Versuche gerade, Lax Paare zu verstehen und habe folgendes endlich-dimensionale Beispiel gefunden, das ich nicht kapiere.
Das ODE-System ist
$\displaystyle
\dot{u_1}=u_2u_3,\quad \dot{u_2}=u_3u_1,\quad \dot{u_3}=u_1u_2.
$
Das soll jetzt in die Form
$\displaystyle
\frac{dA}{dt}=[A,B]
$
mit
$\displaystyle
A(z)=A_0+zA_1+\ldots + z^nA_n,\quad B(z)=B_0+zB_1+\ldots +z^mB_m
$
(polynomials of $k\times k$ matrices)
gebracht werden und es steht da nur, dass man
$\displaystyle
A(z)=\begin{pmatrix}0 & u_1+u_2\\u_2-u_1& 0\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}-2 u_3 & 0\\0 & 2u_3\end{pmatrix}+z^2\begin{pmatrix}0 & u_1-u_2\\-(u_1+u_2) & 0\end{pmatrix}
$
nehmen kann.
Ich kapiere überhaupt nicht, was hier $z$ ist (ist das zeitabhängig) und was hier das $B$ ist.
Da ich nicht weiß, ob ich einfach was falsch lese, sind hier die Buchseiten, auf die ich mich beziehe (das Buch ist "Integrable Systems" von Hitchin, Segal, Ward):
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/36486_Hitchin1.png
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/36486_Hitchin2.png
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/36486_Hitchin3.png
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 Profil
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semasch
Senior 
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 445
Wohnort: Wien
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-30
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Moin kaotisch,
ich weiß nicht, ob deine Frage noch besteht, aber ich antworte trotzdem mal.
$z$ ist die Unbestimmte, in der die Matrixpolynome $A(z)$ und $B(z)$ geschrieben sind und insbesondere nicht zeitabhängig.
Um $B(z)$ zu bestimmen, kann man anhand der Gestalt von $A(z)$ den Ansatz $B(z) = B_0 + z B_1$ hernehmen. Man hat dann die Bedingungen
\[[A_0,B_0] = \frac{dA_0}{dt}, \, [A_0,B_1] + [A_1,B_0] = \frac{dA_1}{dt}, [A_1,B_1] + [A_2,B_0] = \frac{dA_2}{dt}, \, [A_2, B_1] = 0.\]
Durch genaues Hinsehen kann man daraus als mögliche Lösung
\[B_0 = -\frac{u_3}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \, B_1 = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & u_1-u_2 \\ -(u_1+u_2) & 0 \end{pmatrix}\]
ablesen.
LG,
semasch
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| kaotisch hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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