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Ingenieurwesen » Signale und Systeme » Linearer Mittelwert Scharmittelwert LTI-System
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Universität/Hochschule J Linearer Mittelwert Scharmittelwert LTI-System
Ehemaliges_Mitglied
  Themenstart: 2021-06-23

Mit $$g(t) = s(t) * h(t)$$ gilt für den Scharmittelwert am Ausgang eines LTI-Systems $$F[h(t)] = H(f)$$ $$m_g = \overline{g(t_1)} = \overline{\int_{-\infty}^{+\infty} s(\tau) \cdot h(t_1 - \tau) d\tau}$$ Jetzt steht im Text: Interpretiert man das Integral als Grenzwert einer Summe, dann lässt sich das Superpositionsgesetz $$\overline{\sum_{i}^{} a_i s_i(t_1)} = \sum_{i}^{} a_i \overline{s_i(t_i)}$$ anwenden: $$m_g = \int_{-\infty}^{+\infty} \underbrace{\overline{s(\tau)} \cdot h(t - \tau) d\tau}_{\text{(1)}}$$ Weiter steht dann Ist $$s(\tau)$$ ein stationärer Prozess, dann ist der Scharmittelwert unter dem Integral von $$\tau$$ unabhängig, und es gilt: $$m_g = \underbrace{\overline{s(t)} \int_{-\infty}^{+\infty} h(t - \tau) d\tau}_{\text{(2)}} = m_s \int_{-\infty}^{+\infty} \underbrace{h(\tau)}_{\text{(3)}} d\tau = m_s H(0)$$ Zu (1): Kann ich auch $$h(t - \tau)$$ als stationär betrachten und wie sähe, dieses dann aus? Zu (2): Warum wird aus dem $$\overline{s(\tau)}$$ ein $$\overline{s(t)}$$ Zu (3): Wie kann ich von $$h(t - \tau)$$ auf $$h(\tau)$$ schließen? Wurde hier substituiert und wenn ja wie?


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rlk
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-23

Hallo Sinnfrei, die Funktion $h$ ist die Impulsantwort des LTI-Systems, sie ist kein stationärer stochastischer Prozess. Testfrage: welchen Wert hat der Scharmittelwert $\overline{h(t)}$? Das Signal $s$ ist ein stationärer Prozess, daher ist $\overline{s(t)}=m_s$ nicht von der Zeit $t$ abhängig. Bei (3) kannst Du $\tau'=t-\tau$ substituieren. Anschaulich ist das Integral die Fläche unterα dem Graphen von $h$, die sich nicht ändert, wenn man ihn an der Ordinatenachse spiegelt oder entlang der Abszissenachse verschiebt. α Genauer die Summe der vorzeichenbehafteten Flächen zwischen dem Graphen und der Abszissenachse. Servus, Roland


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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-24

Also Zufallssignale beziehen sich wohl nur auf Eingangssignale und dementsprechend gibt es kein Scharmittelwert für $$\overline{h(t)}$$ Vielleicht weil das System kein Zufallssignal ist sondern eine Impulsantwort? Bin da gerade unsicher, weil man bei der Faltung mittels Kommutativgesetzt $$h$$ und $$s$$ tauschen kann und somit auch $$\overline{h(t)}$$ vor das Integral haben kann. Bei der (3) bin ich davon ausgegangen, dass man den Verschiebungssatz der Fourier-Transformation anwenden muss. Die e-Funktion für das Fourier-Integral kann man somit erst nach der Substitution im Inetegranden ergänzen und im Argument der e-Funktion wäre $$f = 0$$


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