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Analysis » Funktionalanalysis » Äquivalenz von Normen
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Universität/Hochschule J Äquivalenz von Normen
Roemer
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  Themenstart: 2021-06-24

Ich bereite mich gerade auf eine Funktionalanalysisprüfung vor. Ich habe hier eine Aufgabe und auch schon eine schöne Lösung (mit dem Satz der stetigen Inversen). Ich habe aber auch einen alten Ansatz für die Aufgabe, der mir nicht aus dem Kopf geht. Es kann etwas nicht stimmen, denn ich verwende dabei nichtmal die Vollständigkeit. Vielleicht kann mir wer den Fehler zeigen. Für zwei Normen $\| \cdot\|_1$ und $\| \cdot\|_2$ auf einem Vektorraum $X$ seit $\| \cdot\|_2$ stärker als $\| \cdot\|_1$. Begründe: Falls $(X, \| \cdot\|_1)$ und $(X, \| \cdot\|_2)$ vollständig sind, dann sind $\| \cdot\|_1$ und $\| \cdot\|_2$ äquivalent. Wir müssen also bloß zeigen: $\exists C > 0 \forall x \in X: \| x\|_2 \leq C \| x\|_1$. Ich betrachte die Identitäsabbildung $id:(X,\| \cdot\|_1) \rightarrow (X,\| \cdot\|_2)$. Wir zeigen nun, dass $id$ stetig ist. Es gilt: $id$ stetig $\iff \ id$ stetig in 0. Sei $(x_n)$ eine Nullfolge in $(X,\| \cdot\|_1)$. \[ \lim_{x \to \infty} \| id(x_n) - 0 \|_2 = \lim_{x \to \infty} \| x_n \|_2 = \| \lim_{x \to \infty} x_n \|_2 = 0 \] Also konvergiert auch die Bildfolge $id(x_n)$ gegen 0. Damit wäre ich fertig, bin aber relativ sicher, dass ich etwas ganz blödes übersehe. Wo blamiere ich mich? Lg Roemer


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AllenscheRegel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-24

Du müsstest eigentlich an den Limes dranschreiben bezüglich welcher Norm du ihn bildest. Beim Reinziehen des Limes scheinst du nämlich in Gedanken auf einmal den Limes bezüglich der anderen Norm zu meinen, vorher bezüglich der 2-Norm, danach bezüglich der 1-Norm. Das wäre okay, wenn die 2-Norm bezüglich der 1-Norm stetig wäre, das willst du aber gerade zeigen. Wenn du den Limes nicht auf einmal bezüglich einer anderen Norm meinst, ist zwar das Reinziehen okay, aber dann hast du da den 2-Limes einer Folge stehen, von der du nur weißt, dass der 1-Limes 0 ist, über den Limes bzgl. der 2-Norm weißt du nichts und der letzte Schritt hat keine Begründung.


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Wally
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-24

Was weißt du über den Satz von der offenen Abbildung? Viele Grüsse Wally


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Roemer
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-25

Danke, AllenscheRegel. Beim Reinziehen des Limes habe ich mir das zwar kurz überlegt, bin aber etwas durcheinander gekommen. Ich weiß zwar, dass die Norm als Abbildung $x \mapsto \| x \|$ stetig ist, habe das hier dann aber falsch verwendet. Danke Wally, habe aber bereits eine Lösung und dazu den Satz der stetigen Inversen verwendet. Aus dem Satz der offenen Abbildung alleine würde man den Beweis glaube ich nicht bekommen, dafür braucht man dann die Bijektivität der Abbildung $id$, was wieder zum Satz der stetigen Inversen führt, oder übersehe ich etwas?


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Wally
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-25

Du über siehst nichts. Der Satz der stetigen Inversen folgt aus dem Satz der offenen Abbildung und der Bijektivität der identischen Abbildung. Hast du Zweifel, ob die identische Abbildung bijektiv ist? Viele Grüße Wally


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Roemer
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-25

Dann alles klar. Mit dem Satz der stetigen Inversen habe ich kein Problem, die Lösung ist damit ganz einfach. Ich wollte nur wissen, wo der Fehler in meinem ersten Ansatz war.


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Roemer hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Roemer hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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