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  SO_n und SO_(n-1) Matrizen |
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notgoodatmath
Junior 
Dabei seit: 28.03.2020
Mitteilungen: 12
 |  Themenstart: 2021-06-25
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Hallo :)
in einem Beweis bin ich über folgende Identität gestolpert: (siehe Bild)
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52858_IMG_4470.jpg
Die rechte Menge ist Teilmenge der linken Menge, das verstehe ich.
Wenn ich nun die von mir blau markierten Einträge (welche rechts alle 0 sind) ändere, kriege ich dann nicht immernoch Elemente, die in der linken Menge sind? Die Determinante ändert sich dadurch nicht und der Vektor e_1 wird immernoch auf e_1 abgebildet... (Und somit hätte ich mehr Elemente links als rechts?)
Falls mir jemand meinen Denkfehler aufzeigen könnte, wäre ich dankbar.
Lieber Gruss
S
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 Profil
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10900
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-25
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
hm, ich vestehe hier dein Problem nicht ganz. Gehen wir es mal geometrisch an. Dann ist \(A\) eine Drehung des \(\IR^n\) um die mit dem Einheitsvektor \(e_1\) identifizierte 'Koordinatenachse'. Das ist also die Voraussetzung.
Damit das funktioniert, muss die Drehmatrix natürlich in der ersten Zeile und Spalte so besetzt sein wie dargestellt. Und der restliche Block \(B\) muss dann natürlich eine Drehmatrix aus \(\IR^{n-1}\) sein.
Wird es so klarer?
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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notgoodatmath
Junior
Dabei seit: 28.03.2020
Mitteilungen: 12
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-25
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Hallo Diophant :)
Danke für Deine Antwort.
Ja das hat geholfen für die Anschauung.
Mir ist jetzt auch klar, wieso die blau markierten Einträge 0 sein müssen:
Die Zeilen (oder auch Spalten) von orthogonalen Matrizen bilden Orthonormalbasen... Somit kann der Rest der Einträge in der 1. Zeile nur aus 0 bestehen, wenn ich den 1. Eintrag der 1. Zeile schon mit 1 besetzt habe...
Danke :)
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4968
 | Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-25
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\quoteon(2021-06-25 07:55 - notgoodatmath im Themenstart)
Die Determinante ändert sich dadurch nicht und der Vektor e_1 wird immernoch auf e_1 abgebildet...
\quoteoff
Das ist beides richtig, aber die Matrix wäre nicht mehr $\in\mathrm{SO}_n$, da die Spaltenvektoren 2 bis $n$ nicht mehr orthogonal zum ersten Spaltenvektor wären.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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notgoodatmath
Junior
Dabei seit: 28.03.2020
Mitteilungen: 12
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-25
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Danke zippy, stimmt, das war mein Denkfehler :)
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notgoodatmath hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
notgoodatmath hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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