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Funktionentheorie » Holomorphie » Existiert hier eine holomorphe Funktion?
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Universität/Hochschule J Existiert hier eine holomorphe Funktion?
Ehemaliges_Mitglied
  Themenstart: 2021-06-25

Hey😃 könnt ihr mir vielleicht helfen folgende Lösung zu interpretieren? Ich soll u.a. bestimmen ob, und wenn ja wie viele holomorphe Funktionen $f:B_r(0)-->\mathbb{C}$ existieren, sodass $f^{n}(0)=(n+1)!$ Das war eine Beispielaufgabe, in deren Lösungen folgendes gemacht wurde: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54540_IMG_1855.jpg Ich muss ja, um zu zeigen, dass eine holomorphe Funktion existiert, zeigen, dass $f(0)=0$ und, dass der Grenzwert von $f'(0)$ existiert. Aber ich verstehe ehrlich gesagt nicht was die Taylorreihe mir hier bringen soll. Das kann doch nicht sein... Und inwiefern, damit damit die obigen Bedingungen gezeigt wurden... Bedeutet das Ergebnis hier, dass nur eine holomorphe Funktion gibt, die die Eigenschaft erfüllt. Und kann es aufgrund des Identitätssatz überhaupt mehrere geben? Ich würde mich sehr über Hilfe freuen. Viele Grüße happy_hippo


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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-25

(Sorry, wollte hier nur den post verbessern und nicht zitieren)


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Math_user
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-25

Hallo happy_hippo Dieses Kapitel ist bei mir eine Weile her aber die Idee ist da folgende: 1) In deinem Skript solltet ihr etwas ähnliches bewiesen haben wie: https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/51558_Math.JPG Nun setzte einfach für$z_0=0$ ein und wir haben den ersten Teil... Nun setzt du $f^n(0)$ ein und ein bisschen Rechnen ergibt die Lösung... Falls du nicht weiter kommen solltest: \hideon https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/51558_Unbenannt.JPG \hideoff Nun zur Frage ob es mehrere geben kann: Nun du hast genau deine Eigenschaften eingefügt und eine gefunden... Es kann aber nun nicht mehrere geben aufgrund des Identitätssatzes, wie du richtig gesagt hast... (Bin mir hier nicht 100% sicher, wäre froh um eine 2. Bestätigung 😄) Liebe Grüsse Math_user


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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-25

Hallo math_user, vielen vielen Dank für deine ausführliche Antwort, dass hat mir sehr geholfen😄 Und bitte entschuldige, dass ich mich jetzt über eine Stunde nicht gemeldet habe, ich saß gerade nicht am Computer. Liebe Grüße happy_hippo


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nzimme10
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-25

\quoteon(2021-06-25 15:10 - Math_user in Beitrag No. 2) (Bin mir hier nicht 100% sicher, wäre froh um eine 2. Bestätigung 😄) \quoteoff Der Identitätssatz besagt unter anderem: Sei $G\subseteq \mathbb C$ ein Gebiet und $f\colon G\to \mathbb C$ holomorph. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (i) $f\equiv 0$ auf $G$. (ii) Es gibt $z_0\in G$ mit $f^{(n)}(z_0)=0$ für alle $n\in \mathbb N_0$. LG Nico


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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-25

Hey, danke nzimee10 😃👍


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