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Funktionentheorie » Integration » Cauchyscher Integralsatz vs. Cauchysche Integralformel
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Universität/Hochschule J Cauchyscher Integralsatz vs. Cauchysche Integralformel
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  Themenstart: 2021-06-25

Hey😃 tut mir leid, dass ich direkt noch eine Frage schreibe, aber ich habe eine generelle Frage zu dem Cauchyschen Integralsatz (bzw. -Formel), die mir im Zuge einer Bearbeitung einer Aufgabe aus dem Internet gekommen ist (ich habe auch die Lösungen dazu): https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54540_Bildschirmfoto_2021-06-25_um_17.05.41.png Lösung (habe die Partialbruchzerlegung weggelassen, aber die jeweils ersten Integrale einer Zeile sind die Bestandteile): https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54540_Bildschirmfoto_2021-06-25_um_16.49.07.png Habe ich es richtig verstanden, dass das erste (also oberste) Integral = 0 ist, weil $z=-1$ auf $\partial B_1(1)$ liegt? Ich verstehe ehrlich gesagt nicht, wo $z$ lieben muss, damit es $=0$ bzw. $\neq 0$ ist. Bei den Integralen wo konkrete Werte rauskamen, war $z=1$ und liegt damit in der Mitte des Kreises... Was wäre denn wenn $z$ außerhalb liegen würde? Ich hoffe, dass das keine allzu dumme Frage ist und würde mich sehr über HIfe freuen. Viele Grüße happy_hippo


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-25

Ich möchte dir ganz allgemein antworten. Es stellt sich früher oder später heraus, dass es gar nicht so sehr auf die Funktion ankommt, sondern auf die Kurven über die man integriert, bzw. deren Homologie. In einer sehr allgemeinen Form besagt der Cauchy-Integralsatz, dass $$ \int_\Gamma f(z) \ \mathrm dz=0 $$ für alle holomorphen Funktionen $f\colon G\to \mathbb C$ genau dann gilt, wenn der Zyklus $\Gamma$ nullhomolog in $G$ ist, d.h., dass die Windungszahl von $\Gamma$ für alle $z\in \mathbb C\setminus G$ verschwindet. Zum Beispiel sind geschlossene Kurven in einfach zusammenhängenden Gebieten stets nullhomolog. Bezeichnet nun $n(\Gamma,z)$ die Windungszahl des Zykels $\Gamma$ um den Punkt $z$, so hat man den folgenden Satz: $\textbf{Satz.}$ Sei $G\subseteq\mathbb C$ ein Gebiet und $\Gamma\subseteq G$ ein Zyklus. Dann sind äquivalent: (i) Für alle auf $G$ holomorphen Funktionen $f$ gilt $$ \int_\Gamma f(z) \ \mathrm dz=0 $$ (ii) Für alle auf $G$ holomorphen Funktionen $f$ gilt $$ n(\Gamma,z)\cdot f(z)=\frac{1}{2\pi \mathrm i} \int_\Gamma \frac{f(\zeta)}{\zeta-z} \ \mathrm d\zeta, \quad z\in G\setminus |\Gamma| $$ (iii) $\Gamma$ ist nullhomolog in $G$. In deinem konkreten Fall betrachten wir das Integral $$ \int_{\partial B_1(1)} \underbrace{\frac{\tfrac 14}{z-(-1)}}_{=: \, f(z)} \ \mathrm dz. $$ Offenbar ist $f$ holomorph auf einer offenen Umgebung von $\overline{B_1(1)}$, da $-1\notin {B_{1+\varepsilon}(1)}$ für ein geeignetes $\varepsilon >0$. Da ${B_{1+\varepsilon}(1)}$ ein Sterngebiet (und damit einfach zusammenhängend) ist, ist $\partial B_1(1)$ nullhomolog (da geschlossene Kurve) in ${B_{1+\varepsilon}(1)}$ und mit dem Integralsatz folgt, dass das Integral verschwindet. Ein bekanntes (Gegen-) Beispiel ist die Funktion $z\mapsto \tfrac 1z$ auf $\mathbb C^*$. Bekanntlich gilt $$ \int_{\partial B_1(0)} \frac 1z \ \mathrm dz=2\pi\mathrm i\neq 0. $$ Das liegt daran, dass $0\in \mathbb C\setminus \mathbb C^*$ und $n(\partial B_1(0),0)=1\neq 0$. $\partial B_1(0)$ ist also nicht nullhomolog in $\mathbb C^*$, weshalb das Integral nicht verschwindet. LG Nico


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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-25

Hey😃 erstmal vielen vielen Dank für die Mühe, die du dir mit diesem Beitrag gemacht hast. Ich habe mich sehr gefreut so eine ausführliche Antwort erhalten zu haben. Besonders der Teil war sehr anschaulich: \quoteon(2021-06-25 17:25 - nzimme10 in Beitrag No. 1) Offenbar ist $f$ holomorph auf einer offenen Umgebung von $\overline{B_1(1)}$, da $-1\notin {B_{1+\varepsilon}(1)}$ für ein geeignetes $\varepsilon >0$. Da ${B_{1+\varepsilon}(1)}$ ein Sterngebiet (und damit einfach zusammenhängend) ist, ist $\partial B_1(1)$ nullhomolog (da geschlossene Kurve) in ${B_{1+\varepsilon}(1)}$ und mit dem Integralsatz folgt, dass das Integral verschwindet. \quoteoff Ich hoffe dass ich das richtig verstanden habe. Aber solange $z$ hier nicht *in* $B_1(1)$ liegt (da zählt dann auch der Rand nicht zu, greift der Cauchysche Integralsatz und das Integral ist $=0$. Mir ist auch noch eine Sache aufgefallen: $\frac{1}{(z-1)}$ ist ja die Stammfunktion von $\frac{1}{(z-1)^2}$. Kann ich damit begründen, dass $\frac{1}{(z-1)^2}$ ebenfalls $=0$ sein muss? Vielen Dank nochmal!😃 Viele Grüße happy_hippo


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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-25

\quoteon(2021-06-25 18:07 - happy_hippo in Beitrag No. 2) Hey😃 erstmal vielen vielen Dank für die Mühe, die du dir mit diesem Beitrag gemacht hast. Ich habe mich sehr gefreut so eine ausführliche Antwort erhalten zu haben. Besonders der Teil war sehr anschaulich: \quoteon(2021-06-25 17:25 - nzimme10 in Beitrag No. 1) Offenbar ist $f$ holomorph auf einer offenen Umgebung von $\overline{B_1(1)}$, da $-1\notin {B_{1+\varepsilon}(1)}$ für ein geeignetes $\varepsilon >0$. Da ${B_{1+\varepsilon}(1)}$ ein Sterngebiet (und damit einfach zusammenhängend) ist, ist $\partial B_1(1)$ nullhomolog (da geschlossene Kurve) in ${B_{1+\varepsilon}(1)}$ und mit dem Integralsatz folgt, dass das Integral verschwindet. \quoteoff Ich hoffe dass ich das richtig verstanden habe. Aber solange $z$ hier nicht *in* $B_1(1)$ liegt (da zählt dann auch der Rand nicht zu, greift der Cauchysche Integralsatz und das Integral ist $=0$. Mir ist auch noch eine Sache aufgefallen: $\frac{1}{(z-1)}$ ist ja die Stammfunktion von $\frac{1}{(z-1)^2}$. Kann ich damit begründen, dass $\frac{1}{(z-1)^2}$ ebenfalls $=0$ sein muss? Vielen Dank nochmal!😃 Viele Grüße happy_hippo \quoteoff Sehr gerne. Der Hauptsatz über Kurvenintegrale liefert dir $\textbf{Satz.}$ Sei $G\subseteq \mathbb C$ ein Gebiet und $f\colon G\to \mathbb C$ stetig. Dann sind äquivalent: (i) $f$ hat eine Stammfunktion. (ii) $\int_\gamma f(z) \ \mathrm dz=0$ für jede geschlossene stückweise $\mathscr C^1$-Kurve. Damit kannst du zwar nicht begründen, dass $\frac{1}{(z-1)^2}=0$, aber dass jedes Integral über eine geschlossene stückweise stetig differenzierbare Kurve über diese Funktion verschwindet, so lange die Kurve in einem Gebiet verläuft auf dem die Funktion definiert ist. Edit: Mein Fehler, das Vorzeichen passt natürlich. LG Nico


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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-25

Hey 😃 vielen Dank nochmal. Ich glaube jetzt ist mir soweit alles klar geworden (und der Hinweis mit dem Vorzeichen habe ich jetzt auch gesehen)😃👍 Viele Grüße happy_hippo


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Ehemaliges_Mitglied hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Ehemaliges_Mitglied hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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