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 Basis von Quotientenvektorraum in Abhängigkeit von Parameter |
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Schutze
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 23.10.2020
Mitteilungen: 47
 |  Themenstart: 2021-06-26
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Hallo,
leider habe ich glaube ich noch etwas Verständnisprobleme mit dem Thema und wüsste zunächst gern einmal, ob meine Gedanken bzw. mein Ansatz zu folgender Aufgabe Sinn machen.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/53673_quotientenvektorraum.png
Mein Ansatz für den ersten Teil:
Zunächst habe ich eine Basis von H in Abhängigkeit von a bestimmt.
Um eine allgemeine Basis vom Quotientenvektorraum zu bestimmen, müsste ich ja die Basis von H zu einer Basis von R^4 ergänzen und der ergänzte Basisvektor wäre dann meine Basis des Quotientenvektorraums.
Durch die Voraussetzung, dass v + H hier eine Basis sein soll und den zusätzlichen Parameter bin ich hier etwas irritiert.
Meine erste Idee war es eine Matrix A mit v und den Basisvektoren von H aufzustellen und dann a so zu bestimmen, dass der rangA = 4 bzw. detA != 0.
Somit komme ich darauf, dass a != -2 sein muss.
Vielleicht kann mir ja dazu erstmal jemand sagen, ob das Sinn macht, oder ich da schon auf dem Holzweg bin.
Beim zweiten Teil der Aufgabe weiß ich leider überhaupt nicht, was gefordert ist.
Über Feedback und Anregungen würde ich mich freuen.
Viele Grüße
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Phi1
Senior 
Dabei seit: 10.12.2005
Mitteilungen: 1915
Wohnort: Wien
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-26
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Hi!
Das mit \(a \neq -2\) stimmt und dein Weg dort hin ist für mich nachvollziehbar, wobei es schön gewesen wäre, wenn du die Matrix etc. angegeben hättest; aber egal.
Ein Wort zu der Aufgabe: du hast \(H_a := \{(x_1,x_2,x_3,x_4); ax_1+x_2-x_3+2x_4 = 0\}\) gegeben. Dies ist gleichbedeutend mit \(H_a := \{(x_1,x_2,x_3,\frac{1}{2}(-ax_1-x_2+x_3)); x_1,x_2,x_3 \in \IR\}\). Damit für \(v :=(1,1,1,1) \) nun \(v+H_a\) eine Basis von \(\IR^4/H_a\) sein kann, darf was nicht passieren - \(v\) darf nicht in \(H_a\) liegen! Somit muss man also das Gleichungssystem \((1,1,1,1) = (x_1,x_2,x_3,\frac{1}{2}(-ax_1-x_2+x_3))\) für \(a\) lösen und man bekommt \(a = -2\).
Für den zweiten Teil würde ich so vorgehen: wir wollen \(\lambda \in \IR\) so bestimmen, dass \(w +H = \lambda (v+H)\) gilt. Beachte hierbei, dass \(H\) ein Untervektorraum von \(\IR^4\) ist, also abgeschlossen bezüglich Addition und Skalarmultiplikation. Somit gilt \(w = \lambda (v+H) -H = ...\) und man sollte, wenn ich mich nicht verrechnet habe, \(\lambda = 2\) erhalten. Dies ist interessant, denn das \(\lambda\) ist unabhängig von der Wahl von \(a\)! 🤔
MfG
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Schutze
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 23.10.2020
Mitteilungen: 47
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-26
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Hallo Phi1,
vielen Dank erstmal für deine Antwort.
Zum ersten Teil deines Beitrags:
Aber so bekomme ich ja nur eine Lösung für a und nicht alle Lösungen für a, wenn das Vorgehen dich zu dem Ergebnis a = 2 bringt, oder irre ich mich da?
Den zweiten Teil kann ich leider auch so nicht lösen.
Meine Basis für H ist
\
(-1/a;1;0;0), (1/a;0;1;0), (-2/a;0;0;1)
Ich bin mir nicht ganz im klaren darüber wie ich
\
w = \lambda (v + H) - H berechnen soll.
Es wäre ja dann äquivalent zu
w = \lambda v + \lambda H - H
Also
w = \lambda v + (\lambda -1) H
Also mein exaktes Problem ist hier das skalare Vielfache eines Untervektorraums.
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Phi1
Senior
Dabei seit: 10.12.2005
Mitteilungen: 1915
Wohnort: Wien
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-26
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Hi!
Im ersten Teil habe ich ausgerechnet, welchen Wert \(a\) haben muss, damit \(v\) in \(H\) liegt; nämlich \(a = -2\) (Tippfehler von mir in meinem Beitrag!). Das ist der Wert für \(a\) den man nicht nehmen darf, da wir ja vollen, dass \(v+H\) eine Basis ist und da darf \(v\) nicht in \(H\) liegen.
Zum zweiten Teil: \(w+H = \lambda (v+H)\) also \(w = \lambda v+ \lambda H -H \). Nun ist es so dass ja Vektorräume bezüglich Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen sind, somit ist \((\lambda -1) H = H\). Dies bringt uns somit auf die Gleichung \(w = \lambda v +H\) oder als Gleichungssystem geschrieben: \((2,1,3,3) = \lambda (1,1,1,1) + (x_1,x_2,x_3, \frac{1}{2} (-a x_1 -x_2+x_3)) \) und hieraus muss man \(\lambda\) bestimmen.
MfG
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