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| Autor |
  Komplexer Betrag nirgends differenzierbar, Beweis ohne CR-DGL |
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Pter87
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 09.11.2018
Mitteilungen: 425
 |  Themenstart: 2021-06-27
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Hallo,
ich wollte beweisen, dass der komplexe Betrag nirgends komplex differenzierbar ist, allerdings nicht mit der CR-DGL Methode sondern mit der Standarddefinition und irgendwie komme ich da nicht wirklich weiter.
$\lim_{z \to z_0} \frac{|z|-|z_0|}{z-z_0}$
Ich kann die konvergente Folge nach $z_0$ ja so wählen, dass der Nenner rein imaginär oder real wird. Der Zähler hingegen ist ja immer real. Wenn ich ausschließen kann, dass der komplette Ausdruck gegen 0 geht, dann wäre ich doch fertig.
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 Profil
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jjzun
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 20.07.2019
Mitteilungen: 31
| Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-27
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Hallo,
ich glaube, es reicht aus \(z_0 = 0\) zu betrachten, sonst verkette mit der sicherlich holomorphen Funktion \(z-z_0\).
Der Betrag ist gleich der Quadratwurzel aus z mal z komplex konjugiert.
Hilft dir das etwas?
Viele Grüße,
jjzun
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4404
 | Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-27
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\quoteon(2021-06-27 21:50 - jjzun in Beitrag No. 1)
ich glaube, es reicht aus \(z_0 = 0\) zu betrachten, sonst verkette mit der sicherlich holomorphen Funktion \(z-z_0\).
\quoteoff
Durch diese Verkettung kann man nicht auf magische Weise einen Zusammenhang zwischen der Differenzierbarkeit an zwei unterschiedlichen Stellen herstellen.
\quoteon(2021-06-27 21:36 - Pter87 im Themenstart)
Wenn ich ausschließen kann, dass der komplette Ausdruck gegen 0 geht, dann wäre ich doch fertig.
\quoteoff
Richtig. Und um das auszuschließen, kannst du eine Folge $z_n\to z_0$ mit$$
|z_n|-|z_0| = |z_n-z_0|
$$betrachten.
--zippy
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2050
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-27
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\quoteon(2021-06-27 21:50 - jjzun in Beitrag No. 1)
ich glaube, es reicht aus \(z_0 = 0\) zu betrachten
\quoteoff
Das reicht nicht, wenn man zeigen will, dass der Betrag nirgends komplex differenzierbar ist.
LG Nico
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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Pter87
Wenig Aktiv
Dabei seit: 09.11.2018
Mitteilungen: 425
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-01
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Danke Zippy, das war der entscheidende Punkt. Hab es jetzt hinbekommen.
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Pter87 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Pter87 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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