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Universität/Hochschule J Gradient Stammfunktion bestimmen
Wasmachichhiernur
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  Themenstart: 2021-06-30

Hallo, hab hier eine Aufgabe bei der ich nicht weiterkomm. Würde mich freuen wenn ihr mir einen Tipp geben könntet. https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52486_Bildschirmfoto_2021-06-30_um_15.01.45.png Man kann ja dann $f$ durch Integration bestimmen, es gilt also $f_1 = \int \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} \, dx = e^{2x}y + \frac{x^2 y^2}{2} +g(y)x + k(y)\\ f_2 = \int \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \, dy = \frac{x^2y^2}{2} + y^4x + h(x)y + d(x)\\$ wobei $d$ und $k$ durch die Integration dazu addiert werden. Jetzt muss ja $f_1 = f_2$ gelten oder? Viele Grüße


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ochen
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-30

Hallo, das sieht gut aus :) Als erstes würde ich die erste Komponente von $\nabla f$ nach $y$ ableiten und die zweite Komponente von $\nabla f$ nach $x$ ableiten, denn dann muss das gleiche rauskommen. Damit bekommst du eine Beziehung zwischen $g$ und $h$. Edit: Fehler korrigiert


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Wasmachichhiernur
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-30

Hallo Ochen, danke für die schnelle Antwort. Leitet man $f_1$ nach $x$ und $f_2$ nach $y$ ab, so erhält man $\frac{\partial f_1}{\partial y} = e^{2x} + x^2y + \frac{\partial g(y)}{\partial y} x + \frac{\partial k(y)}{\partial y} \overset{!}{=} xy^2 + y^4 + \frac{\partial h(x)}{\partial x} y + \frac{\partial d(x)}{\partial x} = \frac{\partial f_2}{\partial x}$ Wie genau geht es jetzt weiter? Kann ich einfach nach $\frac{\partial h(x)}{\partial x}$ bzw. $\frac{\partial g(y)}{\partial y}$ umstellen und in $f_2$ bzw. $f_1$ einsetzen?


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ochen
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-30

Hallo, wenn ich die erste Komponente von $\nabla f$ nach $y$ ableite, erhalte ich \[ \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=2e^{2x}+2xy+g'(y). \] Leite ich die zweite Komponente nach $x$ ab, bekomme ich \[ \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=2xy+4y^3+h'(x). \] Nach dem Satz von Schwarz gilt ... So sehr beliebig sind $g$ und $h$ nicht.


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Wasmachichhiernur
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-30

Ok dann gilt also $\frac{\partial}{\partial y} \Big(\frac{\partial f}{\partial x}\Big) = 2e^{2x} +2xy+g'(y)$ und $\frac{\partial}{\partial x} \Big(\frac{\partial f}{\partial y}\Big) = 2xy + 4y^3 + h'(x)$ Da $f \in C^1$ gilt nach dem Satz von Schwarz ${\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial }{\partial y}}f(x,y)\right)={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}f(x,y)\right)$ $\implies 2e^{2x} +g'(y) = 4y^3 + h'(x)$ mit $g'(y) = 4y^3$ und $h'(x) = 2e^{2x}$ daher gilt $\nabla f(x,y) = \begin{pmatrix} 2e^{2x}y+xy^2 + y^4 \\ x^2y + 4y^3x + e^{2x} \end{pmatrix}$ sowie $f(x,y) = e^{2x}y+ \frac{x^2y^2}{2} + y^4x+\alpha(x,y)$ Danke!


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endy
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-30

*gelöscht* Man sollte den ganzen Thread lesen.


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ochen
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-06-30

\quoteon(2021-06-30 18:19 - Wasmachichhiernur in Beitrag No. 4) Ok dann gilt also $\frac{\partial}{\partial y} \Big(\frac{\partial f}{\partial x}\Big) = 2e^{2x} +2xy+g'(y)$ und $\frac{\partial}{\partial x} \Big(\frac{\partial f}{\partial y}\Big) = 2xy + 4y^3 + h'(x)$ Da $f \in C^1$ gilt nach dem Satz von Schwarz ${\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial }{\partial y}}f(x,y)\right)={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}f(x,y)\right)$ $\implies 2e^{2x} +g'(y) = 4y^3 + h'(x)$ \quoteoff Bis hierhin ist alles super, dann würde ich aber alles mit $x$ auf eine Seite ziehen und alles mit $y$ auf die andere. Du erhältst \[ h'(x) - 2e^{2x} = g'(y) -4y^3 \] Da die linke Seite nicht von $y$ abhängt und die rechte Seite nicht von $x$ und beide Seiten aber gleich sind, muss es eine Konstante $C$ sein. Entsprechend gilt $g'(y) = 4y^3+C$ und $h'(x) = 2e^{2x}+C$. Somit folgt \[\nabla f(x,y) = \begin{pmatrix} 2e^{2x}y+xy^2 + y^4 +Cy+D\\ x^2y + 4y^3x + e^{2x}+Cx+E \end{pmatrix}\] Wir erhalten $f(x,y) = e^{2x}y+ \frac{x^2y^2}{2} + xy^4+Cxy+Dx+Ey+F$. Edit: Fehler korrigiert [Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]


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Wasmachichhiernur
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-30

Ok dass macht natürlich mehr Sinn. Danke nochmal :)


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Wasmachichhiernur hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Wasmachichhiernur hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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