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Universität/Hochschule J Wie löse ich dieses Anfangswertproblem?
Strandkorb
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  Themenstart: 2021-06-30

Hallo Zusammen Ich hätte folgende Aufgabe: Lösen Sie folgendes Anfangswertproblem: \(y'(x)=\frac{x^2}{y(x)(1+x^3)}, \,\,\,y(0)=1\) Ich hätte das mit Hilfe des Verfahrens "Trennung der Variabeln" so gemacht: Wir bemerken dass \(y(x)=0\) keine Lösung des Anfangswertproblems ist und nehmen daher für folgende Rechnung \(y(x)\neq 0\) an. \(y'(x)=\frac{x^2}{y(x)(1+x^3)}\Leftrightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x^2}{y(x)(1+x^3)}\Leftrightarrow y(x)dy=\frac{x^2}{1+x^3}\) \(\Rightarrow \int y(x)dy=\int \frac{x^2}{1+x^3}\Leftrightarrow \int y(x)dy=\frac{1}{3}(ln|1+x^3|+C_1) \Leftrightarrow Y(x)=\frac{1}{3}(ln|1+x^3|+C_1)\) Ich dachte mir dass das irgendwie nicht stimmen kann, denn erstens habe ich ja nun eigentlich eine Stammfunktion von y(x) und auch noch eine Unbekannte. Dann dachte ich mir dass ich vielleicht diese Stammfunktion einfach ableiten kann aber dann fällt ja die Unbekannte weg, diese ist aber notwendig für das Anfangswertproblem. Gibt es hier einen Trick was man machen kann, denn normalerweise hatten wir nur immer Aufgaben bei denen nach der Integration ein Term der Form \(y(x)=...+C\) oder so stand, und dann muss man ja einfach die Anfangswerbedingung einsetzen falls vorhanden. Aber hier weiss ich nicht ob das bis hierhin schon falsch ist oder ob man noch irgend eine kleine Überlegung benötigt um \(y(x)\) bzw. auch \(C_1\) bestimmen zu können. Vielen Dank für die Hilfe!


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-30

Hallo, du musst die linke Seite ebenfalls integrieren (und zwar nach y, nicht nach x!). Dementsprechend verändert sich die Lösung dann noch einmal. Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'DGLen 1. Ordnung' von Diophant]


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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-30

Hallo \quoteon(2021-06-30 16:33 - Diophant in Beitrag No. 1) Hallo, du musst die linke Seite ebenfalls integrieren (und zwar nach y, nicht nach x!). Demenstsprechend verändert sich die Lösung dann noch einmal. Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'DGLen 1. Ordnung' von Diophant] \quoteoff Aha also ist mein Fehler, dass \(\int y(x)dy=\frac{1}{2}y^2+C_2\) uns nicht einfach Y(x)? Liebe Grüsse


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, eine Integrationskonstante brauchst du auf der linken Seite nicht, denn die würde sich sowieso additiv mit der auf der rechten Seite verrechnen. Aber sonst ist es richtig. Dementsprechend muss man aber natürlich jetzt noch nach \(y(x)\) auflösen. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-30

Hallo Ja das hätte ich dann zu C verrechnet aber ja passt vielen Dank!! Das habe ich wirklich übersehen.


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