| |
| Autor |
  Rahmenbedingungen des Identitätssatzes |
|
Ehemaliges_Mitglied
 |  Themenstart: 2021-07-03
|
Hey😃
ich habe vor kurzem bereits eine Frage zu holomorphen Funktionen gestellt (https://www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=12923&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.com%2F) und Hier sollte man untersuchen wie viele Funktionen $f:B_1(0) \rightarrow \mathbb{C}$ existieren sodass beispielsweise $f(\frac{1}{n})=f(-\frac{1}{n})$ holomorph ist.
Nun wollte ich fragen, welche Rolle hier das $f:B_1(0) \rightarrow \mathbb{C}$ spielt und wie man die Voraussetzung ggf. abändern können, sodass der Identitätssatz nicht mehr greift und es nicht mehr nur eine eindeutige bzw. keine holomorphe Funktion, sondern mehrere gibt.
Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.
Viele Grüße
happy_hippo
|
 Profil
|
nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2074
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-03
|
Hallo,
man könnte den Identitätssatz wie folgt formulieren:
$\textbf{Satz.}$ Sei $G\subseteq \mathbb C$ ein $\textbf{Gebiet}$ und $f\colon G\to \mathbb C$ holomorph. Dann sind äquivalent:
(i) $f\equiv 0$ auf $G$
(ii) Es gibt eine offene Menge $U\subseteq G$ mit $f|_U\equiv 0$
(iii) Die Menge der Nullstellen von $f$ in $G$ hat einen Häufungspunkt in $G$
(iv) Es gibt ein $z_0\in G$ mit $f^{(n)}(z_0)=0$ für alle $n\in \mathbb N_0$
Wesentliche Voraussetzung für die Äquivalenz der Aussagen ist, dass $G$ zusammenhängend ist. Ist z.B. $G$ die Vereinigung von zwei disjunkten Kreisscheiben $B_0$ und $B_1$ und setzt man $f(z):=0$ für $z\in B_0$ und $f(z):=1$ für $z\in B_1$, so ist $f$ holomorph auf $G$ und erfüllt (ii)-(iv), aber es ist $f\not\equiv 0$ auf $G$.
Die Voraussetzung in deiner Aufgabe, dass $f$ auf $B_1(0)$ definiert ist, ist also in sofern wichtig, dass $B_1(0)$ ein Gebiet und damit zusammenhängend ist.
LG Nico
|
Profil
|
Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-03
|
Hallo nzimme10,
vielen Dank, dass du mir auch bei diesem post weiterhilfst😄
Bedeutet das, dass wenn ich nun beispielsweise bei $B_1(0)\{0}$ der Indentitätssatz dann nicht mehr greifen würde, oder?
|
Profil
|
nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2074
Wohnort: Köln
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-07-03
|
Meinst du $G:=B_1(0)\setminus\lbrace 0\rbrace$?
Warum wäre dieses $G$ denn nicht zusammenhängend? Anders gefragt: Wieso sollte dieses $G$ kein Gebiet sein?
Hast du eventuell zusammenhängend mit einfach-zusammenhängend verwechselt?
LG Nico
|
Profil
|
Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-03
|
Hey nzimme10,
bitte entschuldige meine Späte Antwort. Mir ist mittlerweile klar, dass ich ganz schön viel verwechselt habe.
Ich habe in der Zwischenzeit nochmal etwas weiter recherchiert
Vielen Dank, dass du nochmal geschrieben hast, dass ist sehr nett😄
|
Profil
|
Ehemaliges_Mitglied hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Ehemaliges_Mitglied hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
